Для модулированного волнового пакета член $\beta x-\gamma t$ в (16.68) следует заменить на псевдофазу $\psi(x, t)$, а $\gamma, \beta$ определить равенствами
\[
\gamma=-\psi_{t}, \beta=\psi_{x},
\]

точно так же, как $k x-\omega t$ заменяется на фазу $\theta(x, t)$ (см. § 14.7). Усредненный вариационный принцип
\[
\delta \iint \mathscr{L}(\omega, k, E ; \gamma, \beta, h) d x d t=0
\]

для вариаций $\delta E, \delta \theta, \delta h, \delta \psi$ дает
\[
\begin{array}{l}
\delta E: \mathscr{L}_{E}=0, \\
\delta \theta: \frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial x} \mathscr{L}_{k}=0, \quad \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0, \\
\delta h: \mathscr{L}_{h}=0, \\
\delta \psi: \frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\gamma}-\frac{\partial}{\partial x} \mathscr{L}_{\beta}=0, \quad \frac{\partial \beta}{\partial t}+\frac{\partial \gamma}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

Дисперсионное соотношение $\mathscr{L}_{E}=0$ дает
\[
\frac{(\omega-\beta k)^{2}}{g k \operatorname{th} k h}=1+\frac{9 T_{0}^{4}-10 T_{0}^{2}+9}{4 T_{0}^{4}} \frac{k^{2} E}{\rho g}+O\left(E^{2}\right),
\]

что согласуется с формулой (13.123). Родственное соотношение $\mathscr{L}_{h}=0$ дает
\[
\gamma=\frac{1}{2} \beta^{2}+g h+\frac{1}{2}\left(\frac{1-T_{0}^{2}}{T_{0}}\right) \frac{k E}{\rho}+O\left(E^{2}\right) .
\]

Поскольку $\gamma=-\psi_{t}, \beta=\psi_{x}$, это уравнение типа Бернулли для потенциала усредненного течения $\psi$, модифицированное волновым вкладом, пропорциональным $a^{2}$. В таких соотношениях, по-

видимому, удобно выразить коэффициенты, зависящие от $T_{0}$, через
\[
\begin{array}{l}
\omega_{0}(k)=\left(g k \operatorname{th} k h_{0}\right)^{1 / 2}, \quad c_{0}(k)=\left(g k^{-1} \text { th } k h_{0}\right)^{1 / 2}, \\
C_{0}(k)=\frac{1}{2} c_{0}(k)\left\{1+-\frac{2 k h_{0}}{\operatorname{sh} 2 k h_{0}}\right\},
\end{array}
\]
т. е. через линейные значения для волн, распространяющихся по спокойной воде глубиной $h_{0}$. Имеем
\[
\gamma=\frac{1}{2} \beta^{2}+g h+\frac{1}{2}\left(\frac{2 C_{0}}{c_{0}}-1\right) \frac{E}{\rho h_{0}}+O\left(E^{2}\right) .
\]