На прямой $x=\sqrt{g h_{0}} t$ правильное асимптотическое поведение можно найти при помощи обобщенного метода стационарной фазы $(11.26)$, поскольку в нашем случае $W^{m}(0)
eq 0$. Если значение $F(0)$ конечно и отлично от нуля, то этот метод дает убывание амплитуды
\[
\eta \propto t^{-1 / 3}
\]

взамен убывания $\eta \propto t^{-\mathbf{1 / 2}}$ вдали от фронта. Поскольку
\[
F(0)=\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \eta_{0}(x) d x
\]

эти рассуждения применимы, когда полное исходное возвышение конечно и отлично от нуля.

Однако хотелось бы иметь решение, дающее равномерное приближение во всей переходной области. Его можно получить, заметив, что вся переходная область соответствует малым значениям $k$. Как выражение (13.34) для малых $k$, так и условие (13.36) для $k=0$ можно получить, разложив показатель әкспоненты в интеграле Фурье около $x=0$, а не около стационарной точки, и сохранив члены до третьей степени по $x$ включительно. Согласно (13.26),
\[
W(x) \sim c_{0} x-\gamma x^{3}+\ldots,
\]

где
\[
c_{0}=\sqrt{g h_{0}}, \quad \gamma=\frac{1}{6} h_{0}^{2} \sqrt{g h_{0}} .
\]

Таким образом, для головной части движущейся вправо волны мы полагаем
\[
\eta \sim \int_{-\infty}^{\infty} F(x) \exp \left\{i x\left(x-c_{0} t\right)+i \gamma x^{3} t\right\} d x .
\]

Корректно также разложить в ряд Тейлора функцию $F(x)$ и сохранить только первый член. Еслиянтеграл $\left[, \int_{-\infty}^{\infty} \eta_{0}(x) d x\right.$ конечен и выбран равным единице, то этот первый член, $F(0)$, равен $1 /(4 \pi)$ и решение имеет вид
\[
\eta \sim \eta_{f}=\frac{1}{4 \pi} \int_{i-\infty}^{\infty} \exp \left\{i x\left(x-c_{0} t\right)+i \gamma x^{3} t\right\} d x .
\]

Последний интеграл заменой переменных $s=(3 \gamma t)^{1 / 3} \chi$ можно свести к обычному внтегралу Эйри
\[
\operatorname{Ai}(z)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{i\left(s z+\frac{1}{3} s^{3}\right)\right\} d s=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos \left(s z+\frac{1}{3} s^{3}\right) d s .
\]

Тогда получим
\[
\eta_{f}=\frac{1}{2(3 \gamma t)^{1 / 3}} \text { Ai }\left\{\frac{x-c_{0} t}{(3 \gamma t)^{1 / 3}}\right\}
\]

График функции Эйри $\mathrm{Ai}(z)$ схематически изображен на рис. 13.2. Она имеет следующее асимштотическое поведение:
\[
\operatorname{Ai}(z) \sim\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} z^{-1 / 4} \exp \left(-\frac{2}{3} z^{3 / 2}\right), & z \rightarrow+\infty, \\
\frac{1}{\sqrt{\pi}}|z|^{-1 / 4} \sin \left(\frac{2}{3}|z|^{3 / 2}+\frac{\pi}{4}\right), & z \rightarrow-\infty .
\end{array}\right.
\]

Отсюда видно, что $\eta_{f}$ экспоненциально убывает впереди волнового фронта $x=c_{0} t$ и становится осциллирующей за ним. На самой прямой $x=c_{0} t$ имеем $\eta_{f} \propto t^{-1 / 3}$, что согласуется с (13.36). Переходная область расположена вблизи прямой $x=c_{0} t$ и имеет ширину, пропорциональную $(\gamma t)^{1 / 3}$. Вдали от переходной области при $\left(x-c_{0} t\right) /(3 \gamma t)^{1 / 3} \rightarrow-\infty$
\[
\eta_{f} \sim(4 \pi)^{-1 / 2}\left\{3 \gamma t\left(c_{0} t-x\right)\right\}^{-1 / 4} \sin \left\{\frac{2}{3} \frac{\left(c_{0} t-x\right)^{3 / 2}}{(3 \gamma t)^{1 / 2}}+\frac{\pi}{4}\right\} .
\]

Можно проверить, что это согласуется с (13.34) – (13.35).
Если $F(x) \sim F_{n} x^{n}, \quad n$ – некоторое целое число, при $x \rightarrow 0$, то решение (13.40) можно выразить через $\eta_{f}$, взяв соответствующее число производных по $x$, если $n>0$, или соответствующее число интегралов по $x$, если $n<0$. Например, решение для ступеньки
\[
\eta_{0}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & x>0, \\
1, & x<0
\end{array}\right.
\]

имеет асимптотику
\[
\begin{array}{c}
\eta \sim \int_{x}^{\infty} \eta_{f}(x) d x=\frac{1}{2} \int_{z}^{\infty} \mathrm{Ai}(s) d s, \\
z=\frac{x-c_{0} t}{(3 \gamma t)^{1 / 3}} .
\end{array}
\]

Функция Эйри обладает следующим свойством:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{Ai}(s) d s=1 .
\]

Множитель $1 / 2$ появляется в формулах (13.42) и (13.44) потому, что они описывают только волны, движущиеся вправо; учет волн, движущихся влево, обеспечивает выполнение полного начального условия.

Эти асимптотические представления можно вывести проще, заметив, что дисперсионное соотношөние (13.38) соответствует уравнению
\[
\eta_{t}+c_{0} \eta_{x}+\gamma \eta_{x x x}=0 .
\]

Мы решаем это уравнение для $\eta_{0}(x)=1 / 2 \delta(x)$ в (13.42) и для $\eta_{0}(x)=1 / 2 H(-x)$ в (13.44). Решения принадлежат к семейству автомодельных решений
\[
\eta=(3 \gamma t)^{-m} f_{m}(z), \quad z=\frac{\left(x-c_{0} t\right)}{(3 \gamma t)^{1 / 3}}
\]

После подстановки функцию $f_{m}(z)$ легко связать с уравнением Эйри
\[
\operatorname{Ai}^{\prime \prime}(z)=z \mathrm{Ai}(z)
\]

и построить решения.
Уравнение (13.45) является линеаризованным уравнением Кортевега – де Фриза, которое будет играть важную роль ниже. Можно отметить, что для любого дисперсионного соотношения с разложением вида (13.38) длинные волны в линейной теории описываются уравнением (13.45) и применимы решения (13.42) и (13.44).

Можно указать также на одно ограничение применимости линейной теории. В формуле (13.42) амплитуды первых нескольких гребней убывают как $t^{-1 / 3}$, в то время как дисперсионные эффекты (пропорциональные квадрату длины волны) убывают как $t^{-2 / 3}$. Таким образом, в окончательной стадии нелинейные эффекты постепенно становятся столь же важными, что и дисперсия.

При соответствующих условиях существуют промежуточная область, в которой применима асимптотическая линейная теория. Из-за нелинейных әффектов в уравнение (13.45) должен войти дополнительный член, пропорциональный $\eta \eta_{x}$. При этом уравнение превращается в полное уравнение Кортевега – де Фриза, и мы увидим впоследствии, что затухание со временем прекращается и образуется ряд уединенных волн. Неравномерность приближения линейной теории вблизи фронта волнового пакета аналогична общей ситуации для гиперболических уравнений, рассмотренной в гл. 2.