Главной задачей теории звукового удара является определение ударных волн, порождаемых осесимметричным телом в стационарном сверхзвуковом полете.

Исходя из решения этой основной задачи, приходится тем или иным способом учитывать влияние формы тела, ускорения, искривления траектории полета и неоднородности атмосферы.

При репении основной задачи удобно работать в системе отсчета, в которой течение стационарно. Линеаризованная теория была подробно рассмотрена в § 7.5 , так что теперь можно ввести нелинейности, пользуясь методом, развитым выше для нестационарных волн. Соответствующая задача для плоского течения, рассмотренная в § 6.17, также дает вклад в этот круг идей.

Пусть скорость $U$ основного течения параллельна оси $x$, и пуеть $U(1+u)$ и $U v$ – компоненты возмущенной скорости

в $x$ – и $r$-направлении соответственно. Тогда
\[
\begin{array}{l}
u=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{x-B r} \frac{S^{\prime \prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{(x-\eta)^{2}-B^{2} r^{2}}}, \\
v=\frac{1}{2 \pi r} \int_{0}^{x-B r} \frac{S^{\prime \prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{(x-\eta)^{2}-B^{2} r^{2}}},
\end{array}
\]

где $B=\sqrt{M^{2}-1}$, а $S(x)$ – площадь поперечного сечения на расстоянии $x$ от носика тела. Возмущение сосредоточено внутри конуса Маха $x-B r=0$, образующие которого составляют угол Маха
\[
\mu_{0}=\arcsin \frac{1}{M}
\]

с направлением течения. Величина $x-B r$ является линейной характеристической переменной и соответствует выражению

Рис. 9.2. Семейство линейных характеристик при сверхзвуковом обтекании осеспмметричного тела.
$t-r / c_{0}$ при рассмотрении цилиндрических волн. На $(x, r)$-диаграмме линейные характеристики образуют семейство параллельных прямых, составляющих угол $\mu_{0}$ с осью $x$, как показано на рис. 9.2. В области ( $x-B r) / B r \ll 1$ можно использовать приближения (7.45) – (7.47). Эта область включает фронт ударной волны и основную часть удаленных областей, и именно в ней нелинейные поправки играют решающую роль. Нелинейные эффекты модифицируют характеристики и вводят ударные волны, как указано на рис. 9.3.

Следуя нашему методу введения нелинейности, заменим $x-B r$ на $\xi(x, r)$, где $\xi$ следует подобрать таким образом, чтобы кривые $\xi=$ const были достаточно близки к точным характеристикам. Модифицированные выражения для параметров течения

имеют вид
\[
\begin{array}{c}
u=-\frac{F(\xi)}{\sqrt{2 B r}}, \quad v=\frac{B F(\xi)}{\sqrt{2 B r}}, \\
\frac{p-p_{0}}{p_{0}}=\gamma M^{2} \frac{F(\xi)}{\sqrt{2 B r}}, \quad \frac{a-a_{0}}{a_{0}}=\frac{\gamma-1}{2} M^{2} \frac{F(\xi)}{\sqrt{2 B r}},
\end{array}
\]

где
\[
F(\xi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\xi} \frac{S^{\prime \prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{\xi-\eta}} .
\]

Типичная кривая $F$ была приведена на рис. 7.3. Как указывает соотношение (7.48), $F \rightarrow 0$ при $\xi \rightarrow 0$ и линейная теория

Рис. 9.3. Семейство нелинейных характеристик с ударными волнами при сверхзвуковом обтекании осесимметричного тела.
c $\xi=x-B r$ не предсказывает ударной волны. Ясно, что именно здесь нелинейная модификация сыграет свою решающую роль.

Точные уравнения для безвихревого осесимметричного течения такие же, как и уравнения для плоского течения (6.158) (6.159), только $у$ заменено на $r$ и в уравнение (6.158) добавлен член $-a^{2} v / r$. Поскольку производные высшего порядка остались без изменения, характеристические направления все еще соответствуют углам $\theta \pm \mu$, где $\theta$ определяет направление течения, а $\mu$ – точный угол Маха, причем $\mu=\operatorname{arc} \sin a / q$. В соответствии с этим на кривой $\xi=$ const
\[
\frac{d x}{d r}=\operatorname{ctg}(\mu+\theta) \text {. }
\]

Так же как и в задаче для нестационарных волн, достаточно использовать приближение первого порядка теории возмущений, и мы положим
\[
\frac{\partial x}{\partial r}=\operatorname{ctg} \mu_{0}-\left(\mu-\mu_{0}+\theta\right) \operatorname{cosec}^{2} \mu_{0} .
\]

$\mathrm{C}$ точностью того же порядка
\[
\theta \simeq v, \quad \mu-\mu_{0} \simeq \frac{a_{0}}{U}\left(\frac{a-a_{0}}{a_{0}}-u\right) \sec \mu_{0},
\]

откуда
\[
\frac{\partial x}{\partial r}=B-\frac{! M^{2}}{B}\left(\frac{a-a_{0}}{a_{0}}-u\right)-M^{2} v .
\]

Подставляя выражения (9.67) и (9.68) для параметров течения, получаем
\[
\frac{\partial x}{\partial r}=B-\frac{(\gamma+1) M^{4}}{(2 B)^{3 / 2}} \frac{F(\xi)}{r^{1 / 2}},
\]

так что
\[
x=B r-k F(\xi) r^{1 / 2}+\xi,
\]

где
\[
k=\frac{(\gamma+1) M^{4}}{2^{1 / 2} B^{3 / 2}} .
\]

Нелинейная модификадия решения в области $\xi / B r \ll 1$ дается соотношениями (9.67), (9.68) и (9.70).
Ударные волны
Если $F^{\prime}(\xi)>0$, то характеристики накладываются и вовникает ударная волна. Как было указано выше, для тела конечных размеров
\[
\int_{0}^{\infty} F(\xi) d \xi=0,
\]

так что в общем случае существуют две такие области и две ударные волны. Аналогом равенства (9.28) является утверждение, что наклон ударной волны равен среднему арифметическому наклонов характеристик на обеих сторонах, а ударная волна строится совершенно так же. Если ударная волна описывается уравнением
\[
x=B r-G(r),
\]

то имеем
\[
G(r)=k F\left(\xi_{1}\right) r^{1 / 2}-\xi_{1}=k F\left(\xi_{2}\right) r^{1 / 2}-\xi_{2},
\]

где
\[
\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{1}\right)+F\left(\xi_{2}\right)\right\}\left(\xi_{2}-\xi_{1}\right)=\int_{\xi_{1}}^{\xi_{2}} F(\xi) d \xi .
\]

Для первой ударной волны, перед которой находится невозмуценное течение, $F\left(\xi_{1}\right)=0$ и $\xi_{1}$ можно исключить из рассмотрения.

Тогда, опустив индекс у $\xi_{2}$, получим соотношения
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} k F^{2}(\xi) r^{1 / 2} & =\int_{0}^{\xi} F\left(\xi^{\prime}\right) d \xi^{\prime}, \\
x & =B r-k F(\xi) r^{1 / 2}+\xi,
\end{aligned}
\]

определяющие ударную волну. Параметры течения непосредственно за ударной волной даются равенствами (9.67) и (9.68), где $\xi(r)$ определяется из (9.72).
Обтекание тонкого конуса
Для конуеа с углом полураствора $\varepsilon$ площадь $S(x)=\pi \varepsilon^{2} x^{2}$ и функция $F$, определяемая по формуле (9.69), принимает вид
\[
F(\xi)=2 \varepsilon^{2} \xi^{1 / 2} .
\]

В этом случае соотношение (9.72) между $\xi$ и $r$ для точек ударной волны записывается так:
\[
\xi^{1 / 2}=\frac{3}{2} k \varepsilon^{2} r^{1 / 2},
\]

а уравнение ударной волны (9.73) сводится к следующему:
\[
x=B r-\frac{3}{4} k^{2} \varepsilon^{4} r .
\]

Это соответствует конической ударной волне с углом полураствора
\[
\mu_{0}+\frac{3}{8} \frac{(\gamma+1)^{2} M^{6}}{2\left(M^{2}-1\right)^{3 / 2}} \varepsilon^{4} .
\]

Интенсивность ударной волны находится из (9.68):
\[
\frac{p-p_{0}}{p_{0}}=\frac{3 \gamma(\gamma+1) \boldsymbol{M}^{6}}{2\left(M^{2}-1\right)} \varepsilon^{4} .
\]

Для конуса из соображений размерности следует, что точное решение является автомодельным и параметры течения зависят только от $r / x$. Тогда точные нелинейные уравнения сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и интегрируются численно. Это знаменитое решение Тейлора – Макколла [1], которое явилось вехой в развитии теории сверхзвуковых течений. Выражения (9.74) и (9.75) были выведены для тонких конусов в рамках автомодельной теории Лайтхиллом [2]. Они являются основой для денной проверки результатов более общего подхода для тонких тел. Численные результаты показывают, что выражения (9.74) и (9.75) представляют собой очень хоротие приближения для конусов с углами полураствора до $10^{\circ}$ и чисел Маха в интервале примерно от 1,1 до 3,0 .

Для тонких тел произвольной формы указанные формулы определяют первоначальное поведение ударной волны. Следует отметить, что в то время, как возмущения около тела имеют порядок $O\left(\varepsilon^{2}\right)$, интенсивность ударной волны является величиной порядка $O\left(\varepsilon^{k}\right)$. Это в известном смысле объясняет отсутствие ударных волн в линейной теории.
Поведение ударной волны на больших расстояниях от тела конечных размеров
Согласно (9.72), для точек на ударной волне $\xi \rightarrow \xi_{0}$ при $r \rightarrow \infty$, причем $F\left(\xi_{0}\right)=0$. Тогда вместо (9.72) имеем асимптотическое соотношение
\[
F(\xi) \sim\left\{\frac{2}{k} \int_{0}^{\xi_{0}} F\left(\xi^{\prime}\right) d \xi^{\prime}\right\}^{1 / 2} r^{-1 / 4} .
\]

Уравнение ударной волны асимптотически переходит в
\[
x \sim B r-\left\{2 k \int_{0}^{\xi_{0}} F(\xi) d \xi\right\} r^{1 / 4}-\xi_{0}
\]

а интенсивность ударной волны определяется так:
\[
\begin{aligned}
\frac{p-p_{0}}{p_{0}} & \sim \frac{\gamma M^{2}}{(2 B)^{1 / 2}}\left\{\frac{2}{k} \int_{0}^{\xi_{0}} F(\xi) d \xi\right\}^{1 / 2} r^{-3 / 4}= \\
& =\frac{2^{1 / 4} \gamma}{(\gamma+1)^{1 / 2}}\left(M^{2}-1\right)^{1 / 8}\left\{\int_{0}^{\xi_{0}} F(\xi) d \xi\right\}^{1 / 2} r^{-3 / 4} .
\end{aligned}
\]

Это наиболее важная формула в исследованиях звукового удара. Она показывает, что интенсивность звукового удара у поверхности Земли очень слабо зависит от числа Маха, изменяется с расстоянием как $r^{-3 / 4}$ и зависит от формы тела за счет множителя
\[
K=\left\{\int_{0}^{\xi 0} F(\xi) d \xi\right\}^{1 / 2} .
\]

Если длина тела равна $l$, а относительная толщина $\delta$ представляет собой отношение максимального диаметра к длине, то множитель $K \sim \delta l^{3 / 4}$. Для тела, форма которого определяется уравнениями
\[
R(x)=\left\{\begin{array}{lc}
\delta l\left\{1-\left(1-\frac{x}{l}\right)^{3}\right\}, & 0 \leqslant x \leqslant l, \\
\delta l, & l \leqslant x .
\end{array}\right.
\]

находим $K=1,04 \delta l^{3 / 4}$.

Асимптотический волновой профиль имеет форму уравновепенной $N$-волны. В области между ударными волнами $\xi \sim \xi_{0}$, $F(\xi) \sim 0$, так что, согласно (9.70),
\[
F(\xi) \sim \frac{B r-x+\xi_{0}}{k r^{1 / 2}},
\]

и, в силу (9.68) и (9.71), отношение давлений равно
\[
\frac{p-p_{0}}{p_{0}} \sim \frac{\gamma}{\gamma+1} \frac{\left(M^{2}-1\right)^{1 / 2}}{M^{2}} \frac{\left(B r-x+\xi_{0}\right)}{r} .
\]

Течение за задней ударной волной не является невозмущенным, но в нем возмущения имеют порядок меньший, чем для $N$-волны. Эти и другие детали можно найти в работе автора (Уизем [3]).
Обобщения теории
Может показаться, что осесимметричные тела существенно отличаются от реального летательного аппарата, но известно, что на больших расстояниях от тела конечных размеров поле течения для любого направления можно представить как течение, вызванное эквивалентным телом вращения. Это значит, что выражения (9.67) – (9.69) применимы для любого направления, но каждому направлению будет соответствовать своя функция $F$. В линейной теории, с которой мы начинаем, вклады от фюзеляжа, крыльев, распределения подъемной силы и т. д. можно учитывать по отдельности и результирующая функция $F$ для каждого направления получается суммированием всех этих вкладов. Затем эта функция $F$ подставляется в формулы для нелинейного peшения.

Объемный вклад связан с распределением площади поперечного сечения $S(x)$, где в соответствии со сверхзвуковым правилом площадей плоскости образуют разрезы под углом к потоку. Детали этого метода и нелинейные результаты приведены в статье автора (Уизем [5]). Когда учитываются различные выступы, такие, как крылья, производная $S^{\prime}(x)$ становится разрывной и следует соответствующим образом изменить выражение (9.69) (Уизем [3]).

Эффекты распределения подъемной силы имеют такую же важность, как и объемные эффекты. В линейной теории распределение подъемной силы $L(x)$ дает вклад

в потенциал скорости, где $\widetilde{\omega}$ – угол между направленной вниз вертикалью и меридиональной плоскостью, проходящей через

траекторию полета. В области $(x-B r) / B r \ll 1$ это выражение можно анпроксимировать так же, как и выше, и возмущения снова даются формулами (9.67) – (9.68), в которых следует положить
\[
F(\xi)=\frac{1}{2 \pi} \frac{B \cos \tilde{\omega}}{\rho_{0} U^{2}} \int_{0}^{\xi} \frac{L^{\prime}(\eta)}{\sqrt{\xi-\eta}} d \eta .
\]

Это интересная иллюстрация понятия «эквивалентного тела» для асимметричных распределений. Следует отметить, что приближения (9.67) – (9.68) справедливы при $\xi / B r \ll 1$ и их достаточно для определения ударной волны. Однако распределение давления за основной $N$-волной дает важный вклад в общую подъемную силу, переданную на Землю. Полное выражение имеет вид (9.81), и если потребуется подробная формула для учета подъемной силы, то следует использовать нелинейную модификацию формулы (9.81). Это иногда вызывало недоразумения в литературе, где указывалось, что распределение давления, полученное из равенств (9.68), при интегрировании по поверхности Земли не дает полной подъемной силы $\int_{0}^{\infty} L(x) d x$. Следует иметь в виду, что выражение (9.68) применимо только в области основной $N$-волны, а формула, выведенная из (9.81), суммирует все возмущения и дает полную подъемную силу.

Обобщения на тела, движущиеся с ускорением, и на неоднородные атмосферы (последнее всегда важно в реальной ситуации) можно до ,некоторой степени провести аналитически. Здесь теория существенно опирается на геометрическую акустику (см. Фридман, Кейн и Синьялла [1] и цитируемую там литературу). Дальнейшие исследования и результаты сравнения с данными испытаний в аәродинамической трубе и с данными наблюдений описаны в серии обзорных статей, опубликованных в Journal of the Acoustical Society of America за 1965 г. Подробные сравнения были проведены различными правительственными лабораториями и авиационными компаниями. (Популярный отчет, доступный для неспециалиста и содержащий ряд интересных сопоставлений теории с практикой, представлен в Boeing Document D6A10598-1.), Выводы, по-видимому, состоят в том, что теория дает хорошие результаты и ценный подход к чрезвычайно сложным практическим задачам.