Для паводковых волн в реках «плотностью» в смысле общей теории, изложенной в гл. 2, служит площадь поперечного сечения реки $A(x, t)$, измеренная в точке $x$ в момент времени $t$. Если расход через это сечение равен $q(x, t)$ в единицу времени, то закон сохранения имеет вид
\[
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} A(x, t) d x+q\left(x_{1}, t\right)-q\left(x_{2}, t\right)=0,
\]

или, в дифференциальной форме,
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial q}{\partial x}=0 .
\]

Течение в реке, очевидно, настолько сложно, что любая модель для второго соотношения между $q$ и $A$ оказывается чрезвычайно приближенной и дает лишь качественные әффекты и порядок величин для скоростей распространения, волновых профилей и т. д. Однако наблюдения во время медленных изменений уровня реки все же можно использовать для установления зависимости между глуб́иной, площадью $A$ и расходом $q$. Такие наблюдения дают эмпирические кривые для функции
\[
q=Q(A, x)
\]

в стационарном потоке. Это соотношение можно объединить с уравнением (3.29) и получить первое приближение для очень медленно меняющегося нестационарного потока, а именно
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial A} \frac{\partial A}{\partial x}=-\frac{\partial Q}{\partial x} .
\]

Мы снова получили уравнение, обсуждавшееся в гл. 2, причем скорость распространения возмущений составляет
\[
c=\frac{\partial Q}{\partial A}=\frac{1}{b} \frac{\partial Q}{\partial h} .
\]
(Второе выражение содержит ширину $b$ и глубину $h$, причем $d A=b d h$.) Это формула Клайца – Седдона для паводковых волн, впервые, по-видимому, установленная Клайцем (1858 г., не опубликовано), а подробно изученная и успешно использованная Седдоном [1].

Эмпирическое соотношение (3.30) можно сопоставить с простой теоретической моделью. Это соотношение отражает равновесие между силой трения о дно реки и силой тяжести. В теоретических моделях сила трения обычно предполагается пропорциональной $v^{2}$, где $v$ – средняя скорость,
\[
v=q / A
\]

а также пропорциональной «смоченному» периметру $P$ поперечного сечения в точке $x$. Таким образом, эту силу, отнесенную к единице дтины реки, можно записать в виде $\rho_{0} C_{f} P v^{2}$, где $\rho_{0}$ плотность воды и $C_{f}$ – коэффициент трения. Сила тяжести, отнесенная к единице длины, равна $\rho_{0} g A \sin \alpha$, где $\alpha$ – угол наклона поверхности воды. Отсюда
\[
\begin{aligned}
v & =\sqrt{\frac{A}{P} \frac{g \sin \alpha}{C_{f}}}, \\
Q=v A & =\sqrt{\frac{A^{3}}{P} \frac{g \sin \alpha}{C_{f}}} .
\end{aligned}
\]

«Смоченный» периметр $P$ является функцией от $A ; C_{f}$ также может зависеть от $A$. Для щироких рек $P$ мало меняется при изменении глубины реки и может считаться постоянным. Если $C_{f}$ и $\alpha$ также принимаются постоянными, то из равенств (3.33) следует закон ЈШези
\[
v \propto A^{1 / 2}, \quad Q \sim A^{3 / 2} .
\]

Тогда скорость распространения возмущения определяется как
\[
c=\frac{d}{d A}(v A)=v+A \frac{d v}{d A}=\frac{3}{2} v .
\]

В более общем случае $P$ и $C_{f}$ представляют собой функции от $A$ и степенной закон зависимости для них дает $v \propto A^{n}, Q \propto A^{1+n}$ c другим показателем степени $n$. Например, для треугольного поперечного сечения $P \propto A^{1 / 2}$ и $n=\frac{1}{4}$; закон Манинга $C_{f} \propto s$ i $A^{-1 / 3}$ щриводит к $n=2 / 3$. Для всех этих степенных законов скорость распространения возмущения равна
\[
c=(1+n) v .
\]

Как и следовало ожидать, паводковые волны перемещаются быстрее, чем вода, но их скорость распространения не может намного превышать скорость воды.

Седдон обрацает эти вычисления и использует свои наблюдения за скоростью распространения возмущения для определения эффективного сечения русла, т. е. зависимости $P$ от $A$. Это ценная идея для всех задач о кинематических волнах: использовать наблюдения за скоростью распространения $c$ для установления зависимости между $q$ и $\rho$.

Если опустить зависимость $Q$ от $x$, то уравпение (3.31) сводится к
\[
A_{t}+c(A) A_{x}=0
\]

и можно использовать общее решение из гл. 2 с разрывами, на которых выполняется условие
\[
U=\frac{q_{2}-q_{1}}{A_{2}-A_{1}} .
\]

Для степенных законов, предложенных выше (и подтверждаемых наблюдениями), $c(A)$ – возрастающая функция от $A$; следовательно, волны, связанные с возрастанием высоты поверхности, опрокидываются вперед и разрыв несет увеличение высоты, так что $A_{2}>A_{1}$.
Эффекты высшего порядка
Как и в других рассмотренных примерах, уточнение вида связи между $q$ и $A$ в соотношении (3.30) затрагивает производные высших порядков. В нестационарном потоке сила трения и сила тяжести не уравновешиваются полностью и их разность пропорцио-

нальна ускорению жидкости; разница между наклоном поверхности воды и наклоном дна также влияет на результат.

Полезно записать уравнения в форме законов сохранения так, чтобы при необходимости можно было вывести надлежащие условия на разрывах. Для простоты рассмотрим случай широкого прямоугольного канала с постоянным уклоном $\alpha$, а в качестве основных переменных вместо $A$ и $q$ будем использовать глубину $h$ и среднюю скорость $v$. Тогда закон сохранения количества жидкости можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} h d x+[h v]_{x_{2}}^{x_{1}}=0 .
\]

Для формулировки закона сохранения импульса требуется некоторая дополнительная информация. Соответствующее уравнепие гидравлики имеет вид
\[
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} h v d x+\left[h v^{2}\right]_{x_{2}}^{x_{1}}+\left[\frac{1}{2} g h^{2} \cos \alpha\right]_{x_{2}}^{x_{1}}=\int_{x_{2}}^{x_{1}} g h \sin \alpha d x-\int_{x_{2}}^{x_{1}} C_{f} v^{2} d x .
\]

С точностью до общих множителей $\rho_{0}$ (постоянная плотность воды) и $b$ (ширина канала), на которые мы сократили, пять членов этого уравнения соответственно обозначают: 1) скорость возрастания импульса на участке $x_{2}<x<x_{1}$,2) суммарный перенос импульса через сечения $x_{1}$ и $x_{2}, 3$ ) суммарную полную силу давления, действующую на сечения $x_{1}$ и $x_{2}, 4$ ) составляющую силы тяжести вдоль уклона и 5) силу трения о дно.

Рассмотрим подробнее член, описывающий давление. В гидравлике зависимость скорости от координаты $y$, нормальной ко дну, исключается усреднением, так что $v=v(x, t)$, и ускорением жидкости вдоль $y$ пренебрегают. Последнее предположение означает, что давление удовлетворяет гидростатическому закону

Отсюда
\[
\frac{\partial p}{\partial y}=-\rho_{0} g \cos \alpha .
\]
\[
p-p_{0}=(h-y) \rho_{0} g \cos \alpha,
\]

и полный вклад возмущения давления, проинтегрированного по поперечному сечению реки, равен
\[
b \int_{0}^{h}\left(p-p_{0}\right) d y=1 / 2 h^{2} \rho_{0} g b \cos \alpha
\]

последнее выражение и определяет третий член в (3.35).
Уравнения (3.34) и (3.35) представляют собой два закона сохранения для $h$ и $v$. Если $h$ и $v$ предполагаются непрерывно диффе-

ренцируемыми, то можно перейти к пределу $x_{1}-x_{2} \rightarrow 0$ и получить уравнения в частных производных для $h$ и $v$. Дэя упрощения получающихся выражений обозначим $g^{\prime}=g \cos \alpha$ и уклон $S=\operatorname{tg} \alpha$. Тогда уравнения для $h$ п $v$ примут вид
\[
\begin{array}{l}
h_{t}+(h v)_{x}=0, \\
(h v)_{t}+\left(h v^{2}+1 / 2 g^{\prime} h^{2}\right)_{x}=g^{\prime} h S-C_{f} v^{2} . \\
\end{array}
\]

Используя первое уравнение для упрощения второго, получим эквивалентную систему
\[
\begin{array}{l}
h_{t}+v h_{x}+h v_{x}=0, \\
v_{t}+v v_{x}+g^{\prime} h_{x}=g^{\prime} S-C_{f} \frac{v^{2}}{h} .
\end{array}
\]

В приближении кинематических волн пренеорегают левой частью второго уравнения (3.37), что дает
\[
h_{t}+(h v)_{x}=0, \quad v=\left(\frac{g^{\prime} S}{C_{j}}\right)^{1 / 2} h^{1 / 2} .
\]

В этой кинематической теории на разрыве должно выполняться условие
\[
U=\frac{v_{2} h_{2}-v_{1} h_{1}}{h_{2}-h_{1}} .
\]

Устойчивость; катяциеся волны
Выясним теперь, тто следует из наличия дополнительных членов в (3.37). Для простоты будем считать $S$ и $C_{f}$ постоянными. Как и в задаче о потоке транспорта, рассмотрим сначала линеаризованную форму уравнений для малых возмущений стационарного состояния $v=v_{0}, h=h_{0}$, где

Полагая
\[
C_{f} \frac{v_{0}^{2}}{h_{0}}=g^{\prime} S .
\]
\[
v=v_{0}+w, \quad h=h_{0}+\eta
\]

и пренебрегая всеми членами, кроме членов первого порядка по $w$ и $\eta$, получаем
\[
\begin{aligned}
\eta_{t}+v_{0} \eta_{x}+h_{0} w_{x} & =0, \\
w_{t}+v_{0} w_{x}+g^{\prime} \eta_{x}+g^{\prime} S\left(\frac{2 w}{v_{0}}-\frac{\eta}{h_{0}}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Исключив $w$, приходим к уравнению для $\eta$
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{+} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{-} \frac{\partial}{\partial x}\right) \eta+\frac{2 g^{\prime} S}{v_{0}}\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial}{\partial x}\right) \eta=0,
\]

где
\[
c_{+}=v_{0}+\sqrt{g^{\prime} h_{0}}, \quad c_{-}=v_{0}-\sqrt{g^{\prime} h_{0}}, \quad c_{0}=3 v_{0} / 2 .
\]

Уравнение (3.41) имеет такой же вид, как и рассмотренное выше уравнение (3.9), с соответствующим изменением выражений для $c_{+}$и $c_{-}$. Следовательно, условие устойчивости имеет вид
\[
c_{-}<c_{0}<c_{+}
\]

эти же неравенства являются критерием того, что в прибллижении
\[
\frac{\partial \eta}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial \eta}{\partial x}=0
\]

не нарушается условие на характеристики. Уравнение (3.44) является, конечно, линеаризацией уравнения (3.38).

Используя (3.42), условие устойчивости можно записать в виде $v_{0}<2 \sqrt{g^{\prime} h_{0}}$, или – с учетом $(3.40)$ – в виде $S<4 C_{f}$. Для рек $v_{0}$ обычно значительно меньше, чем $\sqrt{g^{\prime} h_{0}}$, но для водосливов плотин и других искусственных водоводов $v_{0}$ часто превосходит эту критическую величину. Результирующий поток не
Рис. 3.7. Катящиеся волны.

обязательно является полностью хаотическим и лишенным какойлибо структуры. При благоприятных условиях он принпмает вид «катящихся волн», изображенных на рис. 3.7 и образованных периодическими разрывными борами, разделенными гладкими профилями. Первые данные наблюдений и фотографии этого явления были получены Корнишем в 1905 г. и прекрасно описаны в классической книге Корниш [1], суммирующей его наблюдения за волнами на песке и на воде. Наиболее характерные данные относятся к каменному водоводу в Альпах (Грюнбах, Мерлиген) с уклоном 1 к 14. В случае когда средняя глубина составляла приблизительно 3 дюйма ${ }^{1}$ ), средняя скорость течения оценивалась

1) Один дюйм равен примерно 2,54 см.- Прим. перев.

в 10 футов в секунду, а вся картина катящихся волн двигалась вниз со средней скоростью 13,5 футов в секунду. Для этих данных число Фруда $v_{0} / \sqrt{g^{\prime} h_{0}}$ равняется 5,6 , что значительно превосходит критическое значение 2 . Эти результаты дают также $S / C_{f}=12,5$ и приводят к $C_{f} \approx 0,006$.

Джеффрис [1] ввел в рассмотрение условие неустойчивости и отметил, что для гладких цементных каналов (в которых он проводил эксперименты) коэффициент трения $C_{f} \approx 0,0025$. Это значение для $C_{f}$ согласуется с общепринятым. Для такого коэффициента трения однородный поток должен становиться неустойчивым, когда уклон $S$ превосходит 1 к 100. Джеффрис припел к выводу, что его эксперименты по возбуждению катящихся волн неубедительны, и считал, что требовались более длинные каналы с уклонами, зачительно превосходящими 1 к 100. Значительно позже Дресстер [1] вернулся к этой задаче и показал, как построить нелинейные решения уравнения (3.36) с подходящими условиями на разрыве, описывающие катящиеся волны. Подробности будут указаны ниже после рассмотрения вопроса о стационарном волновом профиле в устойчивом случае.

Моноклинальная паводковая волна

Структура ударных волн, возникающих в кинематической теории (формулы (3.38) и (3.39)), особенно важна в задаче о паводковых волнах, поскольку в действительности ударная волна имеет толщину порядка 50 миль! Как обычно, для ее определения необ-ходимо найти решения со стационарными профилями в более подробном описании, которое в данном случае обеспечивается уравнениями (3.37). Будем искать решения, для которых
\[
h=h(X), v=v(X), X=x-U t .
\]

Тогда уравнения (3.37) принимают вид
\[
\begin{aligned}
(v-U) \frac{d v}{d X}+g^{\prime} \frac{d h}{d X} & =g^{\prime} S-C_{f} \frac{v^{2}}{h}, \\
h(U-v) & =B,
\end{aligned}
\]

где уравнение (3.46) получено интегрированием уравнения неразрывности, а $B$ – постоянная интегрирования. Однородные состояния $\left(h_{1}, v_{1}\right.$ ) цри $X=\infty$ и $\left(h_{2}, v_{2}\right)$ при $X=-\infty$ удовлетворяют равенствам
\[
\begin{array}{c}
g^{\prime} S-C_{f} \frac{v_{1}^{2}}{h_{1}}=g^{\prime} S-C_{f} \frac{v_{2}^{2}}{h_{2}}=0, \\
h_{1}\left(U-v_{1}\right)=h_{2}\left(U-v_{2}\right)=B .
\end{array}
\]

Выразив все характеризующие поток постоянные через $h_{1}$ и $h_{2}$,

получим
\[
\begin{array}{c}
v_{1}^{2}=\frac{S}{C_{f}} g^{\prime} h_{1}, \quad v_{2}^{2}=\frac{S}{C_{f}} g^{\prime} h_{2}, \\
B=\left(\frac{v_{2}-v_{1}}{h_{2}-h_{1}}\right) h_{1} h_{2}=\left(\frac{g^{\prime} S}{C_{f}}\right)^{1 / 2} \frac{h_{1} h_{2}}{h_{1}^{1 / 2}-h_{2}^{1 / 2}}, \\
U=\frac{v_{2} h_{2}-v_{1} h_{1}}{h_{2}-h_{1}}=\left(\frac{g^{\prime} S}{C_{f}}\right)^{1 / 2} \frac{h_{2}^{3 / 2}-h_{1}^{3 / 2}}{h_{2}-h_{1}} .
\end{array}
\]

Іоследнее из этих равенств в точности совладает с условием на разрыве в кинематической теории – с равенством (3.39). Это естественно, и следует ожидать, что решения уравнений (3.45) и (3.46) будут описывать структуру таких кинематических ударных волн.

После исключения $v$ из уравнений (3.45) и (3.46) уравнение д.тя $h(X)$ принимает вид
\[
\frac{d h}{d X}=-\frac{(B-U h)^{2} C_{f}^{\prime}-g^{\prime} h^{3} S}{g^{\prime} h^{3}-B^{2}} .
\]

Поскольку числитель должен обращаться в нуль при $h=h_{1}$ и $h=h_{2}$, эти величины должны быть корнями кубического уравнения. Тогда третий корень равен
\[
H=\frac{C_{f}}{S} \frac{B^{2}}{g^{\prime} h_{1} h_{2}}=\frac{h_{1} h_{2}}{\left(h_{1}^{1 / 2}+h_{2}^{1 / 2}\right)^{2}} .
\]

Поскольку $H<h_{1}, h_{2}$ и решение $h$ принимает значения в интервале между $h_{1}$ и $h_{2}$, в рассматриваемом решении этот третий корень $h=H$ никогда не реализуется.
Теперь уравнение (3.50) можно переписать в виде
\[
\frac{d h}{d X}=-S \frac{\left(h_{2}-h\right)\left(h-h_{1}\right)(h-H)}{h^{3}-B^{2} / g^{\prime}},
\]

и поведение решения определяется знаком знаменателя $h^{3}-B^{2} / g^{\prime}$ и соответствующим возможным изменением этого знака на профиле. В силу равенства (3.46), имеем
\[
g^{\prime} h^{3}-B^{2}=g^{\prime} h^{3}-(U-v)^{2} h^{2}=h^{2}\left\{g^{\prime} h-(U-v)^{2}\right\} ;
\]

знак этого выражения зависит от того, какое из неравенств $U s v+\sqrt{g^{\prime} h}$ справедливо. (Из (3.48) следует, что $B>0$, откуда, в силу (3.46), $U>v$, так что $U$ всегда больше, чем $v-\sqrt{g^{\prime} h}$.)
Когда $h_{2} \rightarrow h_{1}$, из (3.49) следует, что
\[
U \rightarrow \frac{3}{2}\left(\frac{g^{\prime} S}{C_{f}}\right)^{1 / 2} h_{1}^{1 / 2}=\frac{3}{2} v_{1} .
\]

В устойчивом случае $3 / 2 v_{1}<v_{1}+\sqrt{g^{\prime} h_{1}}$, поәтому в случае слабых волн для интегральной кривой уравнения (3.51) при $h=h_{1}$, $X=\infty$ знаменатель в (3.51) отрицателен. В соответствии с этим $h_{\mathrm{X}}>0, h$ возрастает, $g^{\prime} h^{3}-B^{2}$ остается положительным и полу-

чается гладкий профиль, изображенный на рис. 3.8. Это так называемая моноклинальная паводковая волна. Тот факт, что для этого профиля необходимо условие $h_{2}>h_{1}$, согласуется с тенденцией к опрокидыванию кинематических волн, поскольку в данной задаче $c^{\prime}(h)>0$. Гладкий профиль такого типа может
Рне. 3.8. Структура моноклинальной паводковой волны.

существовать, когда скорость распространения ударной волны лежит в интервале
\[
3 / 2 v_{1}<U<v_{1}+\sqrt{g^{\prime} h_{1}}
\]

Учитывая равенства (3.47) и (3.49), легко показать, что это эквпвалентно выполнению неравенств
\[
1<\left(\frac{h_{2}}{h_{1}}\right)^{1 / 2}<\frac{1+\left\{1+4\left(S / C_{f}\right)^{1 / 2}\right\}^{1 / 2}}{2\left(S / C_{f}\right)^{1 / 2}} .
\]

Однако неравенства (3.52) больше отвечают существу дела в силу физической интерпретации скоростей. Ударная волна распростра-

Рис. 3.9. Структура моноклинальной паводконой волны с внутренним разрывом.

няется быстрее, чем волны низшего порядка, но медленнее, чем волны высшего порядка перед ней.
Если
\[
v_{1}+\sqrt{g^{\prime} h_{1}}<U<v_{2}+\sqrt{g^{\prime} h_{2}},
\]

то знаменатель в (3.51) меняет на профиле знак и интегральная кривая поворачивает назад (рис. 3.9). Однозначный профиль получается введением соответствующего разрыва, как шоказано на этом рисунке. В отличие от случая потока транспорта основные законы сохранения в интегральной форме (3.34) и (3.35) известны и справедливы как для непрерывных, так и для разрывных решений. Применяя к ним процедуру, описанную в § 2.3, получаем следующие условия на расположенном в точке $x=s(t)$ разрыве ${ }^{1}$ ):
\[
\begin{array}{r}
-\dot{s}[h]+[h v]=0, \\
-\dot{s}[h v]+\left[h v^{2}+1 /{ }_{2} g^{\prime} h^{2}\right]=0 .
\end{array}
\]

Следует специально отметить, что правая часть равенства (3.35) не дает вклада в пределе $x_{1} \rightarrow x_{2}$. Эти условия на разрыве следует рассматривать совместно с уравнениями (3.36) так же, как условие (3.39) рассматривается совместно с уравнением (3.38). Следует быть осторожным при объединении уравнений и условий на разрыве на каждом уровне описания. При изменении уровня описания меняется число как уравнений, так и условий на разрыве. Разрывы, описываемые условиями (3.53) и (3.54), реально проявляются как турбулентные боры, известные в теории волн на воде как «гидравлические прыжки» или буруны на отмели.

В данном случае необходимо построить разрыв, удовлетворяющий условиям (3.53) и (3.54), для решения уравнения (3.36) со стационарным профилем; ясно, что скорость разрыва так же равна $U$. В силу (3.46), для любого разрыва между ветвями профиля (включая прямые $h=h_{1}$ и $h=h_{2}$ как возможные решения уравнения (3.51)) выражение $h(U-v)$ автоматически будет непрерывным и условие (3.53) будет выполненным. Второе требование (3.54) определяет положение этого разрыва. Для выполнения условия (3.54) требуется, чтобы выражение
\[
h v(v-U)+1 / 2 g^{\prime} h^{2}
\]

было непрерывным. В силу (3.46), это эквивалентно непрерывности выражения
\[
\frac{B^{2}}{h}+\frac{1}{2} g^{\prime} h \text {. }
\]

Если разрыв выбирается таким, чтобы профиль изменялся от $h=h_{1}$ до $h=h^{*}$ на верхней ветви, как показано на рис. 3.9 , то это требование принимает вид
\[
\frac{B^{2}}{h^{*}}+\frac{1}{2} g^{\prime} h^{* 2}=\frac{B^{2}}{h_{1}}+\frac{1}{2} g^{\prime} h_{1}^{2}, \text { или } \quad \frac{h^{*}}{h_{1}}=\frac{\left\{1+8 B^{2} / g^{\prime} h_{1}^{3}\right\}^{1 / 2}-1}{2} .
\]
1) Для завершения решения данной физической задачи здесь нам требуются математические результаты, которые будут установлены ниже (в гл. 5 и 10). Однако представляется более удобным использовать их здесь с минпмумом пояснений, чем откладывать полное решение задачи.

Используя соотношения (3.48), последнее равенство можно переписать в терминах $h_{1}$ и $h_{2}$. Можно проверить, что указанный выбор согласуется со следующими требованиями: 1) $g^{\prime} h^{* 3}-B^{2}>0$, так что $h=h^{*}$ на верхней ветви, и 2) $h^{*}<h_{2}$, если $S<4 C_{j}$.

Окончательный вывод, таким образом, состоит в том, что первоначальный разрыв кинематической теории (равенства (3.38) и (3.39)) при более подробном описании (3.36) переходит в гладкий профиль, если выполняются неравенства (3.52). Для более сильных ударных волн, нарушающих условия (3.52), остается разрыв, отвечающий разрыву в решении уравнений (3.36). Дальнейшее выяснение важности неравенств (3.52) будет проведено (см. гл. 10) после подробного изложения теории характеристик и разрывов для систем высших порядков.

Упоминавшиеся выше катящиеся волны получаются объединением гладких участков, удовлетворяющих уравнению (3.50), с разрывными борами, удовлетворяющими условиям (3.53) и (3.54). Можно показать, что выражение $g^{\prime} h^{3}-B^{2}$ должно менять знак на профиле, но гладкие части сохраняются монотонными требованием, чтобы числитель в (3.50) также обращался в нуль при критическом значении глубины. Это требование связывает два параметра $B$ и $U$, один из которых можно считать основным в семействе решений и связать с величиной расхода. Дальнейшие детали можно найти в статье Дресслера [1].