Для согласования с оригинальными работами при изложении теории мы временно положим
\[
u=-\frac{\sigma}{6} \eta
\]

тогда уравнение примет вид
\[
u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0 .
\]

По аналогии с уравнением Бюргерса популярным первым шагом при построении решений является подстановка
\[
u \propto \frac{\psi_{x x}}{\psi},
\]

но одна она далеко не уведет. Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1] продвинулись дальше, положив
\[
u=\frac{\psi_{x x}}{\psi}+\lambda
\]

и заметив, что это равенство можно записать как приведенное уравнение Шредингера
\[
\psi_{x x}+(\lambda-u) \psi=0 .
\]

Предположительно в этот момент акценты сместились и (17.27) стали рассматривать не как преобразование, упрощающее уравнение для $\psi$, а скорее как ассоциированную задачу рассеяния, при помощи которой информацию о $\psi$ можно использовать для предсказания свойств функции $u$. С этой точки зрения волновой профиль $u(x, t)$ представляет собой рассеивающий потенциал. Время $t$ фигурирует как параметр; для каждого значения $t$ существует своя задача рассеяния. Этот временно́й параметр совершенно отличен от времени $\tau$, которое можно было бы восстановить в приведенном волновом уравнении (17.27) подстановкой $\varphi(x, \tau, t)=\psi(x, t) \times$ $\times \exp (i \sqrt{\lambda} \tau)$, получив
\[
\varphi_{x x}-\varphi_{\tau \tau}-u(x, t) \varphi=0 .
\]

В дальнейшем мы вернемся к уравнению (17.28), а пока примем приведенный вариант (17.27).

Для использования равенства (17.27) необходимо при помощи (17.26) найти уравнение для $\psi$. Поскольку значения параметра $\lambda$ должны принадлежать спектру задачи рассеяния (17.27), а задача меняется с изменением $t$, первоначально следует считать $\lambda$ функцией от $t$. Подставив (17.27) в (17.26), после ряда хитроумных преобразований находим, что уравнение можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\psi^{2} \frac{d \lambda}{d t}+\frac{\partial}{\partial x}\left\{\psi Q_{x}-\psi_{x} Q\right\}=0, \\
Q=\psi_{t}+\psi_{x x x}-3(u+\lambda) \psi_{x} .
\end{array}
\]

Ограничимся теперь рассмотрением решений уравнения (17.26), которые при $|x| \rightarrow \infty$ достаточно быстро стремятся к нулю. При этих условиях спектр задачи (17.27) дискретен при $\lambda<0$

и непрерывен при $\lambda>0$. Для дискретных собственных значений $\lambda_{n}=-x_{n}^{2}$ соответствующие собственные функции $\psi_{n}$ удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\left|\psi_{n}\right| \rightarrow 0, \quad|x| \rightarrow 0 \\
0<\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{2} d x<\infty .
\end{array}
\]

Следовательно, интегрируя (17.29) от $-\infty$ до $\infty$, устанавливаем, что $\lambda_{n}$ не зависит от $t$. Для непрерывного спектра будем считать $\lambda>0$ не зависящим от $t$ и рассмотрим поведение $\psi$ при изменении $t$. В любом случае из (17.29) с $d \lambda / d t=0$ находим, что
\[
Q \equiv \psi_{t}+\psi_{x x x}-3(u+\lambda) \psi_{x}=C \psi,
\]

где $C$ не зависит от $x$. Мы теперь знаем, тто эволюция любого решения $\psi$ уравнения (17.27) при фиксированном параметре $\lambda$ описывается уравнением (17.31). При исследовании задачи на собственные значения (17.27) удобно положить $\lambda=\mu^{2}$ и работать с функцией $\%$, удовлетворяющей уравнению (17.27) и условию
\[
\chi \sim e^{i \mu x}, \quad \operatorname{Im} \mu \geqslant 0 \text { при } x \rightarrow+\infty .
\]

Для того чтобы эта функция, введенная, скажем, для $t=0$, сохраняла одну и ту же нормировку (17.32) для всех $t$, потребуем, чтобы выражение (17.32) было асимптотическим решением уравнения (17.31) для всех $t$. Это отвечает выбору $C=-4 i \mu^{3}$, и наша система уравнений принимает вид
\[
\begin{aligned}
\psi_{x x}+\left(\mu^{2}-u\right) \psi & =0, \\
\psi_{t}+\psi_{x x x}-3\left(u+\mu^{2}\right) \psi_{x}+4 i \mu^{3} \psi & =0 .
\end{aligned}
\]

Теперь мы должны объяснить, как эта любопытная формулировка позволяет вычислить $u(x, t)$.

Метод опирается на утверждение, что рассеивающий потенциал $u$ в (17.33) можно построить, зная коэффициент отражения для волн, приходящих из $x=+\infty$, и располагая некоторой информацией о точечном спектре. Это обратная задача рассеяния; в первоначальной постановке задача состояла в определении неизвестного рассеивателя по его отражательным свойствам. В данном контексте необходимая информация о решениях $\psi$ определяется не из эксперимента, а из второго уравнения (17.34). Для определенности рассмотрим задачу о нахождении $u(x, t), t>0$ по заданной функции $u(x, 0)$. Процедура состоит в следующем. Для данной функции $u(x, 0)$ сначала решаем задачу на собственные значения (17.33) и определяем дискретные собственные значения $\mu=i \chi_{n}$, соответствующие собственные функции $\psi_{n}$ и коэффициент отражения $\beta$ для падающих волн. Собственные функции

можно выбрать в виде
\[
\psi_{n}(x)=\chi\left(i \varkappa_{n}, x\right),
\]

где $\chi$ конкретизируется условием (17.32); кроме того, вводятся нормировочные коэффициенты
\[
\gamma_{n}=\left\{\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{2} d x\right\}^{-1} .
\]

Рассмотрим теперь коэффициент отражения $\beta$. Пусть $\Psi$-решение уравнения (17.33) с начальным распределением $u(x, 0)$, имеющее следующее поведение на $\pm \infty$ :
\[
\Psi(k, x) \sim\left\{\begin{array}{ll}
e^{-i k x}+\beta(k) e^{i k x}, & x \rightarrow-\infty, \\
\alpha(k) e^{-i k x}, & x \rightarrow-\infty,
\end{array}\right.
\]

где $k$ – положительное число: Отсюда определяются коэффициент отражения $\beta(k)$ и коэффициент прохождения $\alpha(k)$. В этом состоит прямая задача рассеяния: найти $\chi_{n}, \gamma_{n}$ и $\beta(k)$ для данного потенциала $u(x, 0)$. Обратная задача состоит в определении $u(x, 0)$ по известным $x_{n}, \gamma_{n}$ и $\beta(k)$.

Обратимся теперь к эволюции этих решений во времени. Мы знаем, что величины $x_{n}$ остаются неизменными. В силу (17.34) и (17.33), имеем
\[
\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{\infty} \chi^{2} d x=\left[-2 \chi \chi_{x x}+4 \chi_{x}^{2}+6 \mu^{2} \chi^{2}\right]_{-\infty}^{+\infty}-8 i \mu^{3} \int_{-\infty}^{\infty} \chi^{2} d x .
\]

Для собственных функций $\mu=i \chi_{n}$ и $\psi_{n}(x, t)=\chi\left(x, t, i \chi_{n}\right) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \pm \infty$; следовательно, нормировочные коәффициенты равны
\[
c_{n}(t)=\left\{\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{2} d x\right\}^{-1}=\gamma_{n} e^{8 x_{n}^{3} t} .
\]

Решение $\Psi(k, x, t)$ задачи рассеяния будет вести себя как
\[
\Psi(k, x, t) \sim f(k, t) e^{-i k x}+g(k, t) e^{i k x}, x \rightarrow \infty,
\]

причем это выражение должно быть асимптотическим решением уравнения (17.34) с $\mu=k$. Подстановка убеждает, что
\[
f(k, t)=e^{-8 i k^{3} t}, \quad g(k, t)=\beta .
\]

Коэффициент отражения равен
\[
b(k, t)=\frac{g(k, t)}{f(k, t)}=\beta(k) e^{8 i k^{3} t} .
\]

Обратная теория рассеяния позволяет восстановить $u(x, t)$ по $x_{n}, \quad c_{n}(t), \quad b(k, t)$.

Короче говоря, прямая задача рассеяния для $u(x, 0)$ определяет $\chi_{n}, c_{n}(0), b(k, 0)$; уравнение (17.34) определяет эволюцию во времени; обратная задача определяет по этим величинам $u(x, t)$.

Основная трудность, несомненно, состоит в решении обратной задачи. Это позволяет сделать известная статья Гельфанда и Јевитана [1] и ее различные обобщения. Их статья написана в терминах определения рассеивающего потенциала $u$ по спектральной функции $\rho(\lambda)$, имеющей разрывы со скачками $c_{n}$ в дискретных собственных значениях $\lambda=-x_{n}^{2}$ и непрерывный спектр $0<\lambda<$ $<\infty$, связанный с $b$. Кэй и Мозес [1], а также Марченко [1] разработали непосредственный способ восстановления $u(x, t)$ по $x_{n}, c_{n}, b$; исчерпывающий обзор дан Фаддеевым [1]. Результат состоит в том, что
\[
u(x, t)=-2 \frac{d}{d x} K(x, x, t),
\]

где функция $K(x, y, t)$ удовлетворяет линейному интегральному уравнению
\[
K(x, y, t)+B(x+y, t)+\int_{x}^{\infty} K(x, z, t) B(z+y, t) d z=0, \quad y>x,
\]

в котором
\[
\begin{array}{l}
B(x+y, t)=\sum c_{n}(t) \exp \left\{-x_{n}(x+y)\right\}+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} b(k, t) \exp \{i k(x+y)\} d k= \\
=\sum \gamma_{n} \exp \left\{-x_{n}(x+y)+8 x_{n}^{3} t\right\}+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \beta(k) \exp \left\{i k(x+y)+8 i k^{3} t\right\} d k ;
\end{array}
\]

начальная функция $u(x, 0)$ определяет соответствующие параметры $\varkappa_{n}, \gamma_{n}, \beta(k)$.

Вывод соотношений (17.35) – (17.37) с помощью спектрального подхода требует более глубокого рассмотрения, чем здесь уместно. Но Баланис [1] показал ${ }^{1}$ ), что, по крайней мере формально,
1) Этот подход хорошо известен в теории рассеяния. Обобщения, включающие некоторые многомерные задачи, можно найти в работе В. Е. Захарова и А. Б. Шабата, Функц. анализ и его приложения, 8 (1974), вып. 3, 43-53.- IIрим. ред.

результаты можно цолучить, работая с «неприведенным» уравнением (17.28) и восстанавливая потенциал $u(x, t)$ по его отражающим свойствам для падающей волны типа $\delta$-функции, а не для падающей периодической волны. По существу идея состоит в том, что работать следует во временно́й области, а не в частотной. Этот подход к обратной задаче рассеяния позволяет до некоторой степени упростить изложение метода.
Альтернативная версия
Будем считать уравнения (17.33) и (17.34) преобразованиями Фурье уравнений
\[
\begin{aligned}
\varphi_{x x}-\varphi_{\tau \tau}-u \varphi & =0, \\
\varphi_{t}+\varphi_{x x x}-3 u \varphi_{x}+3 \varphi_{x \tau \tau}-4 \varphi_{\tau \tau \tau} & =0,
\end{aligned}
\]

связывающих функцию $u(x ; t)$ с функцией $\varphi(x, \tau ; t)$, где
\[
\varphi(x, \tau ; t)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, \mu ; t) e^{i \mu \tau} d \mu .
\]

Эту систему уравнений можно записать более симметрично:
\[
\begin{array}{r}
M \varphi \equiv \varphi_{x x}-\varphi_{\tau \tau}-u \varphi=0, \\
N \varphi \equiv \varphi_{t}+\partial^{3} \varphi-3 u \partial \varphi=0 ;
\end{array}
\]

при этом
\[
\partial \equiv \frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial \tau} .
\]

Элементарные выкладки показывают, что
\[
(N M-M N) \varphi=-\left(u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}\right) \varphi+3 u_{x} M \varphi .
\]

Следовательно, из уравнений (17.38)-(17.39) следует уравнение Кортевега – де Фриза, и мы имеем прямые основания для их введения. Далее мы будем действовать по аналогии с предыдущим подходом. Согласно версии Баланиса обратной задачи рассеяния в $(x, \tau)$-плоскости, поведение функции $\varphi$ при $x \rightarrow+\infty$ определяет рассеивающий потенциал $u$ в (17.38). Эволюция $\varphi$ при росте $t$ определяется уравнением (17.39).

Приведем рассуждения Баланиса для уравнения (17.38), не выделяя пока параметр $t$. Рассмотрим волну $\varphi=\delta(x+\tau)$, приходящую из $x=+\infty$, и обозначим отраженную волну через $B(x-\tau)$. Таким образом,
\[
\varphi \sim \varphi_{\infty}=\delta(x+\tau)+B(x-\tau) \text { при } x \rightarrow+\infty .
\]

Предположим, что соответствующее полное решение уравнения (17.38) можно записать как
\[
\varphi(x, \tau)=\varphi_{\infty}(x, \tau)+\int_{\lfloor x}^{\infty} K(x, \xi) \varphi_{\infty}(\xi, \tau) d \xi .
\]
(Это эквивалентно решающему шагу в методе Гельфанда- Левитана.) Непосредственной подстановкой в (17.38) проверяем, что такое решение существует при условии, что
\[
\begin{array}{c}
K_{\xi \xi}-K_{x x}+u(x) K=0, \quad \xi>x, \\
u(x)=-2 \frac{d}{d x} K(x, x), \\
K, K_{\xi} \rightarrow 0, \quad \xi \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Это корректно поставленная задача, и, следовательно, $K$ сущест вует. В силу гиперболичности волнового уравнения (17.38), $\varphi$ должна обращаться в нуль при $x+\tau<0$. Отсюда
\[
\varphi_{\infty}(x, \tau)+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) \varphi_{\infty}(\xi, \tau) d \xi=0, \quad x+\tau<0 .
\]

Подставив это выражение для $\varphi_{\infty}$ в (17.40), получим
\[
B(x-\tau)+K(x,-\tau)+\int_{x}^{\infty} K(x, \xi) B(\xi-\tau) d \xi=0, \quad x+\tau<0 .
\]

При $\tau=-y$ это совпадает с уравнением Гельфанда – Левитана (17.36).

Чтобы использовать эти результаты для решения уравнения Кортевега – де Фриза, заметим, что эволюция функции $B$ при росте $t$ определяется уравнением (17.39). Но при $x \rightarrow+\infty, u \rightarrow 0$, следовательнс, $B$ удовлетворяет соотношениям
\[
\begin{aligned}
B_{x x}-B_{\tau \tau} & =0, \\
B_{t}+\partial^{3} B & =0 .
\end{aligned}
\]

При $t=0$ функция $B$ определяется по прямой задаче рассеяния для (17.38) с $u(x, 0)$ и имеет вид
\[
B(x-\tau)=\sum \gamma_{n} \exp \left\{-x_{n}(x-\tau)\right\}+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \beta(k) \exp \{i k(x-\tau)\} d k .
\]

Решением уравнений (17.43) при $t>0$ является
\[
\begin{aligned}
B(x-\tau, t)=\sum \gamma_{n} \exp \left\{-x_{n}(x-\tau)+8 x_{n}^{3} t\right\}+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \beta(k) \exp \left\{i k(x-\tau)+8 i k^{3} t\right\} d k .
\end{aligned}
\]

При $\tau=-y$ это опять совнадает с (17.37).
Эта версия не только позволяет быстрее получить конечный результат. Она заменяет довольно неуклюжее уравнение (17.34) более симметричным уравнением (17.39) и более четко приводит к простой линейной задаче (17.43). Основной дисперсионный оператор
\[
\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}
\]

фигурирует и в (17.39), и в (17.43), но только в более общей форме
\[
\frac{\partial}{\partial t}+\left(\frac{\partial}{\partial \cdot}-\frac{\partial}{\partial \tau}\right)^{3} \text {. }
\]

Эта обобщенная форма позволяет понять, откуда появляется множитель 8 в содержащем $t$ члене выражения (17.37).

Мы будем называть выражения (17.35)-(17.37) решением, хотя в общем случае с линейным интегральным уравнением (17.36) трудно иметь дело. Однако из него можно получить некоторые результаты. Во-первых, в частном случае $\beta(k)=0$ уравнение решается в явном виде и дает взаимодействие уединенных волн, обсуждавшееся в предыдущем параграфе; каждое дискретное собственное значение отвечает уединенной волне. Во-вторых, набор уединенных волн, в конце концов возникающих из произвольного начального распределения $u(x, 0)$, можно определить по его спектру. В-третьих, можно показать (Сегюр [1]) ${ }^{1}$ ), что при $t \rightarrow \infty$ вклад непрерывного спектра в $u(x, t)$ убывает как $t^{-2 / 3}$. Первые два вопроса будут рассматриваться в следующих параграфах.