В этом случае соотношение (17.37) можно записать в виде
\[
B(x+y)=\sum g_{n}(x) h_{n}(y),
\]

где не указана явная зависимость от $t$. Множитель $\exp \left(8 x_{n}^{3} t\right)$ можно либо включить в $g_{n}$ или $h_{n}$, либо распределить между әтими сомножителями. Тогда решение уравнения (17.36) можно искать в виде
\[
K(x, y)=\sum w_{n}(x) h_{n}(y)
\]

что дает
\[
w_{m}(x)+g_{m}(x)+\sum_{n} w_{n}(x) \int_{x}^{\infty} g_{m}(z) h_{n}(z) d z=0 .
\]

Пусть матрица $P(x)$ определена равенствами
\[
P_{m n}(x)=\delta_{m n}+\int_{x}^{\infty} g_{m}(z) h_{n}(z) d z,
\]

и пусть $f, g$ и $h$ – векторы-столбцы с компонентами $f_{m}, g_{m}$ и $h_{m}$; тогда имеем
\[
w(x)=-P^{-1}(x) g(x)
\]

и
\[
K(x, x)=h^{T}(x) w(x)=-h^{T}(x) P^{-1}(x) g(x) .
\]

Поскольку
\[
\frac{d}{d x} P_{m n}(x)=-g_{m}(x) h_{n}(x),
\]

решение $K(x, x)$ можно представить как
\[
K(x, x)=\operatorname{Tr}\left\{P^{-1} \frac{d P}{d x}\right\}=\sum_{n} \sum_{m} \frac{\mathscr{P}_{m l}}{|P|} \cdot \frac{d P_{m n}}{d x}=\frac{1}{|P|} \frac{d}{d x}|P|,
\]

где $|P|$ – определитель матрицы $P$, а $\mathscr{P}_{m l}$ – алгебраическое дополнение элемента $P_{m l}$. Следовательно,
\[
u=-2 \frac{d}{d x} K(x, x)=-2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln |P| .
\]

Так как $u=-\sigma \eta / 6$, это совпадает с (17.6), и осталось проверить, что $|P|$ совпадает с функцией $F$, определенной в (17.19)-(17.20).

Существуют различные способы получить одно и то же выражение для $u$. Если мы в формуле (17.37) для $B$ положим
\[
g_{m}(x)=\gamma_{m} \exp \left(-x_{m} x+8 x_{m}^{3} t\right), \quad h_{n}(x)=\exp \left(-\varkappa_{n} x\right),
\]

то получим
\[
P_{m n}=\delta_{m n}+\frac{\gamma_{m} \exp \left\{-\left(x_{m}+x_{n}\right) x+8 x_{m}^{3} t\right\}}{x_{m}+x_{n}} .
\]

Экспоненциальные множители можно вносить в определитель (или не вносить в него), так как это не влияет на окончательное выражение для $u ; \ln |P|$ преобразует их в аддитивные члены, линейные по $x$, которые исключаются двукратным дифференцированием, фигурирующим в определении $u$. Следовательно, если каждый столбец матрищы $P$ умножить на $e^{x_{n} x}$, а каждую строку – на $e^{x^{2}} m^{x}$, то получится эквивалентное выражение
\[
|P| \infty\left|\delta_{m n}+\frac{\gamma_{m} \exp \left(-2 x_{m} x+8 x_{m}^{3} t\right)}{x_{m}+x_{n}}\right|,
\]

которое согласуется с (17.20) при условии, что
\[
\alpha_{m}=2 x_{m}, \gamma_{m}=\alpha_{m} \exp \left(\alpha_{m} s_{m}\right) .
\]

Симметричная форма $P$ получается при
\[
g_{m}(x)=h_{m}(x)=\gamma_{m}^{1 / 2} \exp \left(-\chi_{m} x+4 \chi_{m}^{3} t\right)
\]

и приводит к
\[
P_{m n}=\delta_{m n}+\frac{\left(\gamma_{m} \gamma_{n}\right)^{1 / 2}}{\varkappa_{m}+\varkappa_{n}} \exp \left\{-\left(x_{m}+\varkappa_{n}\right) x+4\left(\boldsymbol{x}_{m}^{3}+x_{n}^{3}\right) t\right\} .
\]