В этом случае соотношение (17.37) можно записать в виде
$$B(x+y)=\sum g_n(x)h_n(y),$$

где не указана явная зависимость от $t$. Множитель $\exp \left(8x_n^{3}t\right)$ можно либо включить в $g_n$ или $h_n$, либо распределить между әтими сомножителями. Тогда решение уравнения (17.36) можно искать в виде
$$K(x,y)=\sum w_n(x)h_n(y)$$

что дает
$$w_m(x)+g_m(x)+\sum _n{w}_n(x){\int }_x^{\mathrm{\infty }}{g}_m(z)h_n(z)dz=0.$$

Пусть матрица $P(x)$ определена равенствами
$$P_{mn}(x)={\delta }_{mn}+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}{g}_m(z)h_n(z)dz,$$

и пусть $f,g$ и $h$ — векторы-столбцы с компонентами $f_m,g_m$ и $h_m$; тогда имеем
$$w(x)=-P^{-1}(x)g(x)$$

и
$$K(x,x)=h^T(x)w(x)=-h^T(x)P^{-1}(x)g(x).$$

Поскольку
$$\frac{d}{dx}{P}_{mn}(x)=-g_m(x)h_n(x),$$

решение $K(x,x)$ можно представить как
$$K(x,x)=\mathrm{Tr}\left\{P^{-1}\frac{dP}{dx}\right\}=\sum _n\sum _m\frac{{\mathcal{P}}_{ml}}{|P|}\cdot \frac{d{P}_{mn}}{dx}=\frac{1}{|P|}\frac{d}{dx}|P|,$$

где $|P|$ — определитель матрицы $P$, а ${\mathcal{P}}_{ml}$ — алгебраическое дополнение элемента $P_{ml}$. Следовательно,
$$u=-2\frac{d}{dx}K(x,x)=-2\frac{d^2}{d{x}^2}\ln |P|.$$

Так как $u=-\sigma \eta /6$, это совпадает с (17.6), и осталось проверить, что $|P|$ совпадает с функцией $F$, определенной в (17.19)-(17.20).

Существуют различные способы получить одно и то же выражение для $u$. Если мы в формуле (17.37) для $B$ положим
$$g_m(x)={\gamma }_m\exp (-x_{m}x+8x_m^{3}t),h_n(x)=\exp (-{\varkappa }_{n}x),$$

то получим
$$P_{mn}={\delta }_{mn}+\frac{{\gamma }_m\exp \{-(x_m+x_n)x+8x_m^{3}t\}}{x_m+x_n}.$$

Экспоненциальные множители можно вносить в определитель (или не вносить в него), так как это не влияет на окончательное выражение для $u;\ln |P|$ преобразует их в аддитивные члены, линейные по $x$, которые исключаются двукратным дифференцированием, фигурирующим в определении $u$. Следовательно, если каждый столбец матрищы $P$ умножить на $e^{x_{n}x}$, а каждую строку — на $e^{x^2}{m}^x$, то получится эквивалентное выражение
$$|P|\mathrm{\infty }|{\delta }_{mn}+\frac{{\gamma }_m\exp (-2x_{m}x+8x_m^{3}t)}{x_m+x_n}|,$$

которое согласуется с (17.20) при условии, что
$${\alpha }_m=2x_m,{\gamma }_m={\alpha }_m\exp \left({\alpha }_m{s}_m\right).$$

Симметричная форма $P$ получается при
$$g_m(x)=h_m(x)={\gamma }_m^{1/2}\exp (-{\chi }_{m}x+4{\chi }_m^{3}t)$$

и приводит к
$$P_{mn}={\delta }_{mn}+\frac{{\left({\gamma }_m{\gamma }_n\right)}^{1/2}}{{\varkappa }_m+{\varkappa }_n}\exp \{-(x_m+{\varkappa }_n)x+4({\mathit{x}}_m^3+x_n^3)t\}.$$