Полные уравнения модуляций получаются в особенно простом и выразительном виде, если использовать вариационный подход, описание которого было начато в гл. 11. Сначала рассмотрим применение этого подхода к нелинейным задачам на типичном примере уравнения Клейна – Гордона. После этого станет ясным, как действовать в общем случае, и мы сможем обосновать наш метод.
В случае уравнения Клейна – Гордона периодический волновой пакет описывается формулами (14.4) – (14.5) и содержит параметры $\omega, k$ и $A$. Нужно найти уравнения, которым удовлетворяют эти параметры для медленно меняющихся волновых пакетов. Уравнение (14.1) является уравнением Эйлера для вариационного принципа
\[
\delta \iint\left\{\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}-\frac{1}{2} \varphi_{x}^{2}-V(\varphi)\right\} d x d t=0
\]
это легко проверить с помощью (11.74). Элементарное решение, соответствующее решению $\varphi=a \cos (\theta+\eta)$, используемому в линейных задачах, имеет вид $\varphi=\Psi(\theta)$. ( $К(14.5)$ можно добавить сдвиг фазы $\eta$, но в уравнениях модуляций он сокращается.) Теперь нужно вычислить лагранжиан и его среднее значение для $\varphi=$ $=\Psi(\theta)$, считая при этом $\omega, k$ и $A$ постоянными. Имеем
\[
L=1 / 2\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \Psi_{\theta}^{2}-V(\Psi),
\]
и среднее значение по одному периоду по $\theta$ равно
\[
\bar{L}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{1}{2}\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \Psi_{\theta}^{2}-V(\Psi)\right\} d \theta .
\]
В принципе функция $\Psi$ полностью известна из выражения (14.5). Однако лучше не пользоваться интегральным выражением, а обратиться непосредственно к уравнению (14.4) и выразить $\bar{L}$ через $\omega, k$ и $A$. Выделим последовательные шаги:
\[
\begin{aligned}
\bar{L} & =\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \Psi_{\theta}^{2} d \theta-A= \\
& =\frac{1}{2 \pi}\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \int_{0}^{2 \pi} \Psi_{\theta} d \Psi-A= \\
& =\frac{1}{2 \pi}\left\{2\left(\omega^{2}-k^{2}\right)\right\}^{1 / 2} \oint\{A-V(\Psi)\}^{1 / 2} d \Psi-A_{\bullet}
\end{aligned}
\]
Последний интеграл по замкнутому контуру представляет собой вполне определенную функцию от $A$, в которую $\Psi$ входит лишь как переменная интегрирования. Обозначение $\mathscr{L}(\omega, k, A)$ мы сохраняем для этой окончательной формы усредненного лагранжиана $\bar{L}$.
Когда $\omega, k, A$ являются медленно меняющимися функциями от $x$ и $t$, мы, как и ранее, постулируем усредненный вариационный принцип
\[
\delta \iint \mathscr{L}(\omega, k, A) d x d t=0 .
\]
В качестве независимых функций следует рассматривать $\theta(x, t)$ и $A(x, t)$, причем $\omega=-\theta_{t}, k=\theta_{x}$. Вариационные уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\delta A: \quad \quad \mathscr{L}_{A}=0 \text {, } \\
\delta \theta: \quad \frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{k}=0 . \\
\end{array}
\]
После того как вариации найдены, мы опять возвращаемся к переменным $\omega, k$ и $A$ и добавляем уравнение совместности
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0,
\]
получаемое исключением фазы $\theta$. Уравнения и их вывод из (14.27), конечно, такие же, как и в линейном случае с незначительным изменением, связанным с переходом от амплитудной переменной $a$ к $A$. Единственный новый элемент в нелинейной теории вычисление усредненного лагранжиана $\mathscr{L}(\omega, k, A)$.
Уравнение (14.28) приводит к функциональной зависимости между $\omega, k$ и $A$, которая не может быть ничем иным, кроме дисперсионного соотношения. Для уравнения Клейна – Гордона с $\mathscr{L}$, заданным формулой (14.26), мы убеждаемся, что оно действительно приводит к правильному результату (14.7). Система (14.28) (14.30) является точной нелинейной формой уравнений модуляций (14.18) – (14.19). Прежде чем обсудить свойства этих уравнений и их различные обобщения, обратимся теперь к обоснованию вариационного подхода.
