Ранее отмечалось, что нелинейные уравнения мелкой воды, пренебрегающие дисперсией, приводят к опрокидыванию типично гиперболического характера с образованием вертикального наклона и многозначного профиля. Кажется ясным, что член с третьей производной в уравнении Кортевега — де Фриза помешает возникновению этого явления. Но так или иначе приближение длинных волн, для которого были выведены оба эти уравнения, в рассматриваемой ситуации несправедливо. Первое уравнение описывает опрокидывающиеся волны, и хотелось бы учесть в этом уравнении эффекты дисперсии. Однако добавка, соответствующая уравнению Кортевега — де Фриза, является слишком сильной для коротких волн. Это ясно из сравнения выражения (13.94) с полным дисперсионным соотношением, когда $\left(x h_{0}\right)^{2}$ становится большим.

С другой стороны, дисперсия, включенная в уравнение Кортевега — де Фриза, приводит к появлению уединенных и периодических волн, отсутствующих в теории мелкой воды. Для этих решений, однако, уравнение Кортевега — де Фриза не может описывать наблюдаемое симметричное «заострение» гребней с образованием конечного угла на гребне. Опять можно утверждать, что это мелкомасштабное явление, в котором важную роль играют коротковолновые компоненты, и предположение $\left(x h_{0}\right)^{2} \ll 1$ более несправедливо. Несомненно, это комбинируется с дополнительными нелинейными эфффектами.

Волны Стокса включают полные дисперсионные эффекты $\omega_{0}^{2}=$ $=g \chi$ th $x h_{0}$, но, будучи ограничены малой амплитудой, не дают ни уединенных волн, ни заострения.

Хотя как опрокидывание, так и заострение, а также критерий возникновения обоих явлений вне всякого сомнения содержатся в уравнениях точной потенциальной теории, хотелось бы иметь более простое математическое уравнение, включающее все эти явления. В свете предыдущих замечаний, по-видимому, необходимо включить по крайней мере «опрокидывающий оператор» теории мелкой воды и полное дисперсионное соотношение линейной теории. Далее, как было указано при выводе уравнения (13.99), в теории мелкой воды опрокидывание описывается уравнением
\[
\eta_{t}+c_{0} \eta_{x}+\frac{3 c_{0}}{2 h_{0}} \eta \eta_{x}=0 .
\]

С другой стороны, линейное уравнение, соответствующее произвольному линейному дисперсионному соотношению
\[
\frac{\omega}{x}=c(x),
\]

согласно (11.12), имеет вид
\[
\eta_{t}+\int_{-\infty}^{\infty} K(x-\xi) \eta_{\xi}(\xi, t) d \xi=0
\]

где
\[
K(x)=\frac{1 !}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} c(x) e^{i x x} d x .
\]

Эти два уравнения можно объединить в следующее:
\[
\eta_{t}+\frac{3 c_{0}}{2 h_{0}} \eta_{x}+\int_{-\infty}^{\infty} K_{\boldsymbol{j}}(x-\xi) \eta_{\xi}(\xi, t) d \xi=0 .
\]

Для уравнения Кортевега-де Фриза
\[
c(x)=c_{0}-\gamma x^{2}, \quad K(x)=c_{0} \delta(x)+\gamma \delta^{\prime \prime}(x) \cdot \dot{\jmath}
\]

Рассмотрим теперь уточненный вариант
\[
\begin{aligned}
c(x) & =\left(\frac{g}{\chi} \operatorname{th} x h_{0}\right)^{1 / 2}, \\
K_{g}(x) & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{g}{\chi} \operatorname{th} x h_{0}\right)^{1 / 2} e^{i \kappa x} d x .
\end{aligned}
\]

Здесь полная линейная дисперсия комбинируется с длинноволновой нелинейностью. В терминах параметров $\alpha$ и $\beta$ из $\$ 13.11$ дело обстоит так: мы сохраняем члены всех порядков по $\beta$ и нелинейный член, пропорциональный $\alpha$, пренебрегая всеми высшими степенями $\alpha$ и всеми смешанными членами. Фактически мы могли бы сохранить члены всех порядков но $\alpha$, взяв нелинейный оператор из (13.97) и использовав комбинированное уравнение
\[
\eta_{t}+\left\{3 \sqrt{g\left(h_{0}+\eta\right)}-2 \sqrt{g h_{0}}\right\} \eta_{x}+\int_{-\infty}^{\infty} K(x-\xi) \eta_{\xi}(\xi, t) d \xi=0 ;
\]

однако выигрыш, по-видимому, не оправдывает дополнительного усложнения. Стандартными методами легко показать, что функция $K_{g}$ с $g=1$ и $h_{0}=1$ обладает следующими свойствами:
\[
\begin{aligned}
K_{g}(x) & =K_{g}(-x), \\
K_{g}(x) & \sim(2 \pi x)^{-1 / 2} \quad \text { при } \quad x \rightarrow 0 \\
K_{g}(x) & \sim\left(\frac{1}{2} \pi^{2} x\right)^{-1 / 2} e^{-\pi x / 2} \quad \text { при } x \rightarrow \infty, \\
\int_{-\infty}^{\infty} K_{g}(x) d x & =1 .
\end{aligned}
\]

Дисперсионный член теперь стал умереннее, поскольку $K_{g}(x)$ не содержит $\delta$-функций. Очевидно, поведение функции $c(x)$ при больших $x$ определяет поведение функции $K(x)$ при малых $x$; изменение поведения при больших волновых числах заменяет $\delta^{\prime \prime}(x)$ на $x^{-1 / 2}$ при $x \rightarrow 0$. Анализ полученного нелинейного интегрального уравнения довольно труден, и уравнение с $K=K_{g}$ еще полностью не изучено. Но вопрос был поставлен в более общей формулировке: математические уравнения какого вида могут описывать волны, как заостряющиеся, так и опрокидывающиеся? Можно показать, что уравнение (13.128) описывает такие волны для некоторых довольно простых функций $K(x)$. Это позволяет рассчитывать на положительный ответ для $K=K_{g}$.

Решения со стационарными профилями уравнения (13.128) получаются, как обычно, рассмотрением решений вида $\eta=\eta(X)$, $X=x-U t$. В нормированных переменных, соответствующих выбору $g=h_{0}=1$, имеем $(y=\xi-U t)$
\[
\left(U-\frac{13}{2} \eta\right) \eta^{\prime}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} K(X-y)_{0}^{*} \eta^{\prime}(y) d y .
\]

Возможность заострения связана с возникновением разрыва производной $\eta^{\prime}$ при $\eta=2 U / 3$ и это, по существу, дает соотношение между скоростью и амплитудой для волны наибольшей высоты. Интегрируя уравнение, получаем
\[
A+U \eta-\frac{3}{4} \eta^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} K(X-y)^{\prime} \eta^{\prime}(y) d y .
\]

Волны Стокса для случая малой амплитуды можно найти, исходя из линейного решения, и кажется разумным предположить, что критическая высота действительно достигается при $\eta=2 U / 3$. Если $K(X)$ ведет себя как $|X|^{p}$ при $X \rightarrow 0$, а $\eta(X)$ имеет при $X \rightarrow 0$ вид $2 U / 3-|X|^{q}$, то исследование уравнения (13.132) показывает, что
\[
2 q-1=p+q,
\]

откуда $q=p+1$. В соответствии с этим при $K=K_{g}$ гребень будет заостряться с $\eta \sim 2 / 3 U-|X|^{1 / 2}$. Конечно, было бы наивно надеяться, что в этой упрощенной модели получится тонкий результат Стокса — угол, равный $120^{\circ}$.

Хотя это все, что можно получить для случая $K=K_{g}$, можно продвинуться дальше, если рассмотреть приближенное ядро. Прием, часто используемый в интегральных уравнениях такого вида, состоит в аппроксимации данного ядра функцией
\[
K_{0}(x)=\mu e^{-v|x|},
\]

или рядом таких әкспонент. Ядро $K_{0}(x)$ является функцией Грина для оператора $d^{2} / d x^{2}-v^{2}$, поэтому, применяя этот оператор к обеим частям равенства (13.133), можно исключить интеграл. Мы не можем уловить поведение функции $K_{g}(x)$ при $x \rightarrow 0$, но, положив $v=\pi / 2$, достаточно хорошо опишем поведение при $x \rightarrow \infty$, а затем выберем $\mu$ таким образом, чтобы
\[
\int_{-\infty}^{[\infty} K_{0}(x) d x=\frac{2 \mu}{v}=1,
\]
т. е. $\mu=\pi / 4, v=\pi / 2$. Поскольку
\[
\frac{d^{2} K_{0}(x)}{d x^{2}}-v^{2} K_{0}(x)=-v^{2} \delta(x),
\]

уравнение (13.133) переходит в следующее:
\[
\left(\frac{d^{2}}{d X^{2}}-v^{2}\right)\left(A+U \eta-{ }^{3} / 4 \eta^{2}\right)=-v^{2} \eta .
\]

После элементарного интегрирования получаем
\[
\left(U-\frac{3}{2} \eta\right)^{2} \eta^{2}=\text { полином четвертого порядка по } \eta_{\text {г }} \text {. }
\]

Периодические решения соответствуют осцилляциям функции $\eta$ между двумя простыми нулями получившегося полинома. Уединенные волны соответствуют предельному случаю, когда два нуля сливаются в точке $\eta=0$; тогда $\eta$ возрастает от этого двойного нуля (соответствующего $X=+\infty$ ) до простого нуля $\eta=\eta_{0}$ и убывает снова до $\eta=0$ при $X=-\infty$. Все это верно при условии, что точка $\eta=2 U / 3$ находится вне этого интервала. Можно показать, что гребни заостряются с конечным углом, когда точка $\eta=2 U / 3$ в точности совпадает с верхним нулем. Все эти детали мы приводить не будем. Заметим лишь, что уединенная волна максимальной высоты имеет следующий вид:’
\[
\eta=\frac{8}{9} e^{-\pi \eta x_{1 / 4}}, \quad U=\frac{4}{3}
\]
(в единицах длины $h_{0}$ и скорости $c_{0}$ ). Мак-Кауэн [1] при помощи приближенного рассмотрения задачи об уединенной волне получил значения $\eta_{0}=0,78$ и $U=1,249$. Согласование можно назвать неплохим. Гребень имеет конечный угол, равный $110^{\circ}$. Конечный угол согласуется с равенством (13.134), поскольку для ядра $K_{0}$ $p=0, q=1$; близость к результату Стокса $120^{\circ}$ чисто случайна. Оставляя в стороне вопрос, можно ли принимать всерьез полученные значения, видим, что уравнение вида (13.128) может описывать периодические и уединенные волны с желаемым заострением.

Обращаясь теперь к другому виду разрушения решений, заметим, что Селиджер [1] при помощи довольно тонких рассуждений смог показать, что для ядер вида $K_{0}(x)$ достаточно асимметричный горб опрокидывается типично гиперболическим способом. Он, однако, требовал, чтобы $K(0)$ было конечным (а также, чтобы
Рис 13.5. Обозначения в задаче об опрокидывавии волны.
$K(x)$ монотонного убывало при $x \rightarrow \infty$ ), и не смог распространить свои рассуждения нај $K_{g}$. Коротко говоря, его способ состоит в следующем. Пусть
\[
\begin{array}{lll}
m_{1}(t)=\min \eta_{x} & \text { при } & x=X_{1}(t), \\
m_{2}(t)=\max \eta_{x} & \text { при } & x=X_{2}(t)
\end{array}
\]
(см. рис. 13.5), где $m_{1}<0$ и $m_{2}>0$. Дифференцируя уравнение (13.128) и полагая $x=X_{i}(t)$, имеем
\[
\frac{d m_{i}}{d t}+\frac{3}{2} m_{i}^{2}+\int_{-\infty}^{\infty} K(\xi) \eta_{x x}\left(X_{i}-\xi, t\right) d \xi=0, \quad i=1,2 .
\]

Интегралы можно оценить через $m_{1}$ и $m_{2}$, используя соответствующую теорему о среднем, и получить
\[
\begin{array}{l}
\frac{d m_{1}}{d t} \leqslant-\frac{3}{2} m_{1}^{2}+\left(m_{2}-m_{1}\right) K(0), \\
\frac{d m_{2}}{d t} \leqslant-\frac{3}{2} m_{2}^{2}+\left(m_{2}-m_{1}\right) K(0) .
\end{array}
\]

Складывая, находим
\[
\frac{d}{d t}\left(m_{1}+m_{2}\right) \leqslant\left(m_{2}-m_{1}\right)\left\{2 K(0)+\frac{3}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)\right\}-3 m_{2}^{2} ;
\]

отсюда, если первоначально $\left(m_{1}+m_{2}\right) \leqslant-4 K(0) / 3$, то это неравенство останется справедливым и в дальнейшем, так что
\[
m_{1}+m_{2} \leqslant-\frac{4}{3} K(0)
\]

для всех $t$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{d m_{1}}{d t} & \leqslant-\frac{3}{2} m_{1}^{2}-2 m_{1} K(0)-\frac{4}{3} K^{2}(0)= \\
& =-\frac{3}{2}\left\{m_{1}+\frac{2}{3} K(0)\right\}^{2}-\frac{2}{3} K^{2}(0) .
\end{aligned}
\]

Правая часть этого выражения отрицательна, и из наличия члена с $m_{1}^{2}$ вытекает, что $m_{1} \rightarrow-\infty$ за конечный интервал времени; детали видны из следующих рассуждений. Пусть $M=-3 / 2 m_{1}-K(0)$; тогда $M=M_{0}>0$ первоначально (в силу (13.135) и условия $\left.m_{2}>0\right)$; более того,
\[
\frac{d M}{d t} \geqslant M^{2},
\]

согласно (13.136). Следовательно,
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{M_{L}}\right) \leqslant-1, \quad \frac{1}{M} \leqslant \frac{1}{M_{0}}-t, \quad M \geqslant \frac{M_{0}}{1-M_{0} t},
\]

откуда $M \rightarrow \infty$, когда $t$ достигает $1 / M_{0}$. Таким образом приходим к выводу, что если условие (13.135) выполнено первоначально, т. е. если горб достаточно асимметричен, то он постепенно становится все асимметричнее и опрокидывается при $m_{1} \rightarrow-\infty$ за интервал времени, меньпий, чем
\[
\frac{1}{M_{0}}=\frac{1}{1-\left\{\frac{3}{2} m_{1}(0)+K(0)\right\}} .
\]

Снова оставляя в стороне вопрос о справедливости модели, мы показали, что уравнения вида (13.128) действительно могут описывать симметричные волны, распространяющиеся без изменения формы и заостряющиеся при критической высоте, а также опрокидывающиеся асимметричные волны.