Временно вернемся к частной модели с лагранжианом (16.12), чтобы оценить влияние членов следующего порядка в модуляционном приближении. В почти линейной теории исходными, как и ранее, являются разложения (16.10), но теперь после подстановки сохраняются производные коэффициентов $a, a_{3}, \ldots, b, b_{3}, \ldots$, как было объяснено в § 15.5. Для стационарных пучков эти параметры модуляций являются функциями только от х, и из (16.12) видно, что производные по $\mathbf{x}$ возникают только в члене – $c_{0}^{2} \psi_{x_{i}}^{2}$ (обобщенном на большее число пространственных измерений). Подставляя разложение
\[
\psi=\frac{a}{\omega} \sin \theta+\frac{a^{3}}{3 \omega} \sin 3 \theta+\ldots,
\]

эквивалентное (16.10), видим, что в усредненном лагранжиане (16.17) появляется дополнительный член
\[
-\frac{1}{4} \frac{\varepsilon_{0} c_{0}^{2}}{\omega^{2}} a_{x_{i}}^{2} .
\]

Исключение параметра $b$ с помощью (16.18) не затрагивает этого члена; следовательно, он добавляется и к (16.19). Наконец, обобщив выражение (16.19), как и выше, имеем
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left\{n_{\theta}^{2}(\omega)-\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}\right\} \varepsilon_{0} a^{2}+\frac{1}{8} n_{0}(\omega) n_{2}(\omega) \varepsilon_{0} a^{4}-\frac{1}{4} \frac{\varepsilon_{0} c_{0}^{2}}{\omega^{2}} a_{x_{i}}^{2} .
\]

Вариационные уравнения теперь имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\delta a:\left(n_{0}^{2}-\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}\right) a+n_{0} n_{2} a^{3}+\frac{c_{0}^{2}}{\omega^{2}} a_{x_{i} x_{i}}=0 \\
\delta \theta: \quad \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(k_{i} a^{2}\right)=0,
\end{array}
\]

а уравнение совместности – вид
\[
\frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Дополительный член в (16.51) носит дисперсионный характер и противодействует фокусировке. Для того чтобы пучок начал фокусироваться, нелинейный член $n_{0} n_{2} a^{3}$ должен доминировать над дисперсионным членом $c_{0}^{2} a_{x_{i} x_{i}} / \omega^{2}$. Если начальный радиус пуч-

ка равен $r_{0}$, то это дает оценку
\[
a_{0}^{2} \rightleftharpoons \frac{n_{0}}{n_{2}} \frac{1}{k^{2} r_{0}^{2}}
\]

для требуемой критической интенсивности. По мере того как пучок фокусируется, возрастает (за счет сокращения поперечного масштаба) влияние члена $a_{x_{i} x_{i}}$ и появление осөбенности предотвращается. В общем случае можно ожидать, чть пирина пучка будет осциллировать в соответствии с осциллирующим влиянием нелинейности и дисперсии.

В качестве частного случая следует ожидать, что имеется решение, представляющее однородный пучок, все параметры которого не зависят от расстояния вдоль оси. Для плоского или осесимметричного пучка уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
k_{2}=0, \quad k_{1}=k=\text { const, } \\
\frac{c_{0}^{2}}{\omega^{2}}\left(a_{r r}+\frac{m}{r} a_{r}\right)+\left(n_{0}^{2}-\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}\right) a+n_{0} n_{2} a^{3}=0 .
\end{array}
\]

Обозначим через $a^{*}$ амплитуду, для которой:
\[
\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}=n_{0}^{2}+n_{0} n_{2} a^{* 2}
\]

тогда
\[
a_{r r}+\frac{m}{r} a_{r}=2 \gamma K^{2} a\left(a^{* 2}-a^{2}\right) ;
\]

где, как и ранее, $\gamma=n_{2} /\left(2 n_{0}\right), K^{2}=\omega_{0}^{2} n_{0}^{2} / c_{0}^{2}$. В поском случае $m=0$ и уравнения интегрируются, давая
\[
a_{y}^{2}=\gamma K^{2} a^{2}\left(a_{0}^{2}-a^{2}\right)
\]

где $a_{0}=a * \sqrt{2}$ – максимальная амплитуда ( $a^{*}$ – амплитуда в точке перегиба профиля). Соответствющее ренейе имеет вид
\[
a=a_{0} \operatorname{sech}\left(\gamma^{1 / 2} K a_{0} y\right)
\]

Это аналог уединенной волны нестационарной теории. Если в равенство (16.57) ввести постоянную иңтегрироваңия, то можно получить осциллирующие периодические по $y$ репения. Они аналогичны кноидальным волнам.

Для осесимметричного пучка с $m=1$ решения уравнения (16.56) были получены численно Кьяо, Гармайром и Таунсом[1], а также Хаусом [1]. Первые вычислили решение, соответствующее решению (16.58), и оказалось, что оно монотонно убывает от $a_{0}$ при $r=0$ до нуля при $r \rightarrow \infty$. Хаус нашел осциллирующие решения с постепеннь затухающей амнитудой, опйывающие пучок, окруженный дифракционнымй кольцами Смолл [1] заметил, что уравнение (16.56) в безразмерной форме с $a=a / a^{*}$ и

$\bar{r}=r K a^{*}(2 \gamma)^{1 / 2}$ ассоциируется с вариационным принципом
\[
\delta \int_{0}^{\infty} \bar{r}\left(\bar{a}_{r}^{2}+\bar{a}^{2}-\frac{1}{2} \overline{a^{4}}\right) d \bar{r}=0,
\]

и, используя метод Рэлея – Ритца, показал, что
\[
\bar{a}=0,8488 \exp \left(-0,2495 \bar{r}^{2}\right)+1,3156 \exp \left(-1,1810 \bar{r}^{2}\right)
\]

является хорошим приближением к решению Кьяо, Гармайра и Таунса. В этих безразмерных переменных требуемая интенсивность равна
\[
P=\int_{0}^{\infty} \overline{a^{2}} \bar{r} d \bar{r} \simeq 1,86 .
\]

Узкие пучки
В приближении узких пучков уравнения (16.51) – (16.52) преобразуются при тех же предположениях, что привели к (16.39) – (16.40). Теперь имеется дополнительный член со второй производной, включенный в (16.39), так что имеем
\[
\begin{array}{c}
K^{2}\left(2 s_{x}+s_{r}^{2}\right) a=\frac{n_{2}}{n_{0}} K^{2} a^{3}+\left(a_{r r}+\frac{m}{r} a_{r}\right), \\
\frac{\partial a^{2}}{\partial x}+s_{r} \frac{\partial a^{2}}{\partial r}+\left(s_{r r}+\frac{m}{r} s_{r}\right) a^{2}=0 .
\end{array}
\]

Положим
\[
\Psi=a e^{i K s} ;
\]

тогда эти два уравнения объединяются в одно
\[
2 i K \frac{\partial \Psi}{\partial x}+
abla_{\perp}^{2} \Psi+\frac{n_{2}}{n_{0}} K^{2}|\Psi|^{2} \Psi=0,
\]

где
\[

abla_{\perp}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{m}{r} \frac{\partial}{\partial r} .
\]

Это нелинейное уравнение Шредингера, встречающееся в ряде различных задач, имеет некую каноническую структуру в том же смысле, что и уравнение Кортевега – де Фриза. Удивительно, что для плоских пучков ( $m=0$ ) можно получить пирокий класс точных решений, используя метод, развитый Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [1] для уравнения Кортевега – де Фриза. Это было указано Захаровым и Шабатом [1], которые пошли дальше и дали исчершывающий анализ этого уравнения. Результаты. будут изложены в гл. 17.

К настоящему моменту было сделано столько различных приближений, что проще вывести уравнение (16.61) непосредственно-

из уравнений Максвелла, предшоложив, что $\mathbf{P}$ и $\mathbf{E}$ связаны некоторой нелинейной зависимостью. Для плоского пучка имеем
\[
E_{t t}+\frac{1}{\varepsilon_{0}} P_{t t}=c_{0}^{2}\left(E_{x x}+E_{y y}\right)
\]

и, добавив соотношение
\[
P=\left(n_{0}^{2}-1\right) \varepsilon_{0} E+n_{0} n_{2} \varepsilon_{0} a^{2} E,
\]

получим (с достаточной точностью)
\[
n_{0}^{2} E_{t t}+n_{0} n_{2} a^{2} E_{t t}=c_{0}^{2}\left(E_{x x}+E_{y_{y}}\right) .
\]

Тогда если
\[
E=\frac{1}{2} \Psi(x, y) e^{i K x-i \omega t}+\frac{1}{2} \Psi^{*}(x, y) e^{-i K x+i \omega t},
\]

то
\[
\frac{n_{2}}{n_{0}} K^{2}|\Psi|^{2} \Psi=-2 i K \Psi_{x}-\Psi_{x x}-\Psi_{y y} .
\]

Пренебрегая $\Psi_{x x}$, получаем (16.61).