Приведем сначала решения, которые можно получить при помощи преобразования (17.6). Параметр $\sigma$ можно, конечно, исключить нормировкой как из (17.1), так и из (17.6), но в литературе использовались различные нормировки (отвечающие $\sigma =1,\sigma =6,\sigma =$ $=-6$ ), и имеет смысл оставить этот параметр свободным для удобства сопоставления результатов. Вывод уравнения (17.1) для волн на воде и его более общее значение как длинноволнового приближения в других контекстах (см. соотношение (17.4)) были объяснены в § 13.11.

Переход от $\eta$ к $F$ проще всего совершить в два эташа. Сначала положим $\eta =p_x$ и, проинтегрировав, получим уравнение
$$p_t+\frac{1}{2}\sigma p_x^2+p_{xxx}=0.$$

После нелинейной замены
$$\sigma p=12(\ln F{)}_x$$

получаются члены до четвертой степени функции $F$ и ее производных включительно, но специфическая черта данного преобразования состоит в том, что в окончательном выражении члены третьей и четвертой степеней выпадают. В результате получаем квадратичное уравнение
$$F{(F_t+F_{xxx})}_x-F_x(F_t+F_{xxx})+3(F_{xx}^2-F_x{F}_{xxx})=0.$$

Отметим появление характерного оператора
$$\frac{\partial }{\partial t}+\frac{{\partial }^3}{\partial x^3}$$

и некоторую симметричность уравнения. Возможная (но довольно натянутая) мотивировка введенного преобразования связана с решением, которое описывает уединенную волну и может быть представлено в виде
$$\sigma \eta =3{\alpha }^2{\mathrm{sech}}^2\frac{\theta -{\theta }_0}{2},\theta =\alpha x-{\alpha }^{3}t,$$

где $\alpha$ и ${\theta }_0$ — параметры. Это производная по $x$ от выражения
$$6\alpha \{\mathrm{th}\left(\frac{\theta -{\theta }_0}{2}\right)-1\},$$

которое в свою очередь является производной по $x$ от $12\ln F$, где
$$\begin{array}{rl}F& =1+\exp \{-(\theta -{\theta }_0)\}=\\ & =1+\exp \{-\alpha (x-s)+{\alpha }^{3}t\},s=\frac{{\theta }_0}{\alpha }.\end{array}$$

Этот «вывод» нацеливает на общее рабочее правило поиска точных решений в этой области: рассматривать преобразования, которые переводят решения типа уединенной волны в простые экспоненты. Для сравнепия можно отметить, что преобразование $c=$ $=-2v(\ln \phi {)}_x$ для уравнения Бюргерса переводит решение (4.23), описывающее стационарную ударную волну, в
$$\phi =\exp (-{\alpha }_{1}x+v{\alpha }_1^{2}t)+\exp (-{\alpha }_{2}x+v{\alpha }_2^{2}t),{\alpha }_i=\frac{c_i}{2v}.$$

Чем бы мы ни руководствовались, сразу видно, что выражение (17.13) является решением уравнения (17.11) при любых $\alpha$ и $s$. Это решение соответствует оператору
$$\frac{\partial }{\partial t}+\frac{{\partial }^3}{\partial x^3},$$

оно удовлетворяет уравнению $F_t+F_{xxx}=0$, а третий член в (17.11) обращается в нуль вследствие однородности по производным.

Если бы уравнение (17.11) было линейным, то мы могли бы строить линейные комбинации таких решений с различными $\alpha$ и $s$, но, в силу нелинейности, возникнут взаимодействующие члены. В обычном подходе теории взаимодействий следовало бы положить
$$F=1+F^{(1)}+F^{(2)}+\dots ,$$

где $F^{(i)}$ находится из цепочки уравнений
$$\begin{array}{l}{\{F_t^{(1)}+F_{xxx}^{(1)}\}}_x=0,\\ {\{F_t^{(2)}+F_{xxx}^{(2)}\}}_x=-3\{F_{xx}^{(1{)}^2}-F_x^{(1)}{F}_{xxx}^{(1)}\}\end{array}$$

и т. д. Возьмем в качестве $F^{(1)}$ два члена подобных (17.13):
$$F^{(1)}=f_1+f_2,f_j=\exp \{-{\alpha }_j(x-s_j)+{\alpha }_j^{3}t\},j=1,2.$$

Для $F^{(2)}$ получаем уравнение
$${\{F_t^{(2)}+F_{xxx}^{(2)}\}}_x=3{\alpha }_1{\alpha }_2{({\alpha }_2-{\alpha }_1)}^2{f}_1{f}_2,$$

которое имеет решение
$$F^{(2)}=\frac{{({\alpha }_2-{\alpha }_1)}^2}{{({\alpha }_2+{\alpha }_1)}^2}{f}_1{f}_2.$$

Удивительно, что тогда во всех остальных уравнениях цепочки правые части обращаются в нуль, и поэтому
$$F=1+f_1+f_2+\frac{{({\alpha }_2-{\alpha }_1)}^2}{{({\alpha }_2+{\alpha }_1)}^2}{f}_1{f}_2$$

является точным решением уравнения (17.11).
Отличительная черта этого решения состоит в том, что взаимодействующие члены приводят в правой части уравнения (17.16) только к произведению $f_1{f}_2$, а члены $f_1^2$ и $f_2^2$, которых также можно было ожидать, отсутствуют. Этот результат обобщается на высшие порядки, так что нелинейные члены в уравнении никогда не приводят к произведениям функций $f$ с повторяющимися индексами. Так, при двух исходных членах, как в (17.15), необходимы лишь комбинации $f_1,f_2,f_1{f}_2$ и мы имеем точное решение. Если начать с
$$F^{(1)}=\sum _{j=1}^N{f}_j$$

то $F^{(2)}$ содержит все члены $f_j{f}_h$ с $jeqk$, но не содержит $f_j^2;F^{(3)}$ содержит все члены $f_j{f}_k{f}_l$ с $jeqkeql$, но не содержит $f_j^3$ или $f_j^2{f}_k$ и т. д. Таким образом, последовательность обрывается на
$$F^{(N)}\curvearrowleft f_1{f}_2\dots f_N$$
(исчершывающем все произведения без повторяющихся индексов), и существует точное решение вида
$$F=1+\sum _j{f}_j+\sum _{jeqk}{a}_{jk}{f}_j{f}_k+\sum _{jeqkeql}{a}_{jkl}{f}_j{f}_k{f}_l+\dots +a_{12\dots N}{f}_1{f}_2\dots f_N.$$

Это уже достаточно поразительно, однако можно еще показать, что решение можно записать в виде
$$F=\det \Vert F_{mn}\Vert ,$$

где ${}^1$ )
$$F_{mn}={\delta }_{mn}+\frac{2{\alpha }_m}{{\alpha }_m+{\alpha }_n}{f}_m.$$

Этот результат впервые был обнаружен при более общем подходе, который будет описан в следующем параграфе, но его можно проверить непосредственной подстановкой в (17.11) (см. Хирота [1]).

Решение с $N$ модами $f_j$ описывает взаимодействие $N$ уединенных волн. Рассмотрим случай $N=2$. Решение для $F$ дается формулой (17.18), а соответствующее выражение для $\eta$, заданное фор-
мулой (17.6), имеет вид
$$\begin{array}{l}\frac{\sigma }{12}\eta =\frac{{\alpha }_1^2{f}_1+{\alpha }_2^2{f}_2+2{({\alpha }_2-{\alpha }_1)}^2{f}_1{f}_2}{{(1+f_1+f_2+{\left\{({\alpha }_2-{\alpha }_1)/({\alpha }_2+{\alpha }_1)\right\}}^2{f}_1{f}_2)}^2}+\\ +\frac{{\left\{({\alpha }_2-{\alpha }_1)/({\alpha }_2+{\alpha }_1)\right\}}^2({\alpha }_2^2{f}_1^2{f}_2+{\alpha }_1^2{f}_1{f}_2^2)}{{(1+f_1+f_2+{\left\{({\alpha }_2-{\alpha }_1)/({\alpha }_2+{\alpha }_1)\right\}}^2{f}_1{f}_2)}^2}\end{array}$$

где
$$f_j=\exp \{-{\alpha }_j(x-s_j)+{\alpha }_j^{3}t\}.$$

Уединенную волну (17.12) можно записать через $f$ в виде
$$\frac{\sigma }{12}\eta =\frac{l{\alpha }^{2}f}{(1+f{)}^2},$$

где $\sigma \eta$ достигает максимума при $f=1$. Отметим, что
$$\begin{array}{rl}\text{ максимум амплитуды }о\eta & =3{\alpha }^2,\\ \text{ положение максимума }& =s+{\alpha }^{2}t,\\ \text{ скорость волны }& ={\alpha }^2.\end{array}$$

Решение (17.21) близко к уединенной волне с параметром ${\alpha }_1$ в областях $(x,t)$-плоскости, где $f_1\simeq 1$ и $f_2$ либо велико, либо мало. Чтобы проверить это, заметим следующее.
1. При $f_1\simeq 1,f_2\ll 1$,
$$\frac{\sigma }{12}\eta \simeq \frac{{\alpha }_1^2{f}_1}{{(1+f_1)}^2}.$$
2. При $f_1\simeq 1,f_2\gg 1$,
$$\begin{array}{c}\frac{\sigma }{12}\eta \simeq \frac{{\left\{({\alpha }_2-{\alpha }_1)/({\alpha }_2+{\alpha }_1)\right\}}^2{\alpha }_1^2{f}_1{f}_2^2}{{(f_2+{\left\{({\alpha }_2-{\alpha }_1)/({\alpha }_2+{\alpha }_1)\right\}}^2{f}_1{f}_2)}^2}=\frac{{\alpha }_1^2{\tilde{f}}_1}{{(1+{\tilde{f}}_1)}^2},\\ f_1={\left(\frac{{\alpha }_2-{\alpha }_1}{{\alpha }_2+{\alpha }_1}\right)}^2{f}_1.\end{array}$$

Последнее выражение описывает уединенную волну ${\alpha }_1$, у которой гараметр $s_1$ заменен на
$${\tilde{s}}_1=s_1-\frac{1}{{\alpha }_1}\ln {\left(\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_1}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}\right)}^2;$$

әто отвечает конечному смещению профиля в $x$-направлении. Аналогично, там, где $f_2\simeq 1$, а $f_1$ либо велико, либо мало, имеем уединенную волну ${\alpha }_2$ со сдвигом (или без сдвига) у $s_2$. Там, где $f_1\simeq 1$ и $f_2\simeq 1$, находится область взаимодействия; там, где $f_1$ и $f_2$ обе малы или велики, имеем $\sigma \eta \simeq 0$.

Теперь ясно поведение взаимодействующих уединенных волн, описываемых равенством (17.21). Положим для определенности ${\alpha }_2>{\alpha }_1>0$ и заметим, что, согласно (17.23), уединенная волна ${\alpha }_2$ больше и движется быстрее, чем уединенная волна ${\alpha }_1$. При $t\to$

$\to -\mathrm{\infty }$ область взаимодействия, в которой $f_1\simeq 1,f_2\simeq 1$, отсутствует и выражение (17.21) описывает
уединенную волну ${\alpha }_1$ на $x=s_1+{\alpha }_1^{2}t,f_1\simeq 1,f_2\ll 1$,
уединенную волну ${\alpha }_2$ на $x=s_2-\frac{1}{{\alpha }_2}\ln {\left(\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_1}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}\right)}^2+{\alpha }_2^{2}t$,
$$f_1\gg 1,f_2\simeq 1$$

в остальных точках $\sigma \eta \simeq 0$ (и $f_1$ и $f_2$ либо велики, либо малы).
Это отвечает большей уединенной волне ${\alpha }_2$, перегоняющей меньпую уединенную волну ${\alpha }_1$. Когда $t\to +\mathrm{\infty }$, имеем уединенную волну ${\alpha }_1$ на $x=s_1-\frac{1}{{\alpha }_1}\ln {\left(\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_1}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}\right)}^2+{\alpha }_1^{2}t$,
$$f_1\simeq 1,f_2\gg 1,$$

уединенную волну ${\alpha }_2$ на $x=s_2+{\alpha }_2^{2}t,f_1\ll 1,f_2\simeq 1$;
в остальных точках $\sigma \eta \simeq 0$.
Замечательный результат состоит в том, что уединенные волны выходят из области взаимодействия без изменения формы с первоначальными параметрами ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$, более быстрая уединенная волна ${\alpha }_2$ теперь находится впереди. Единственным напоминанием о процессе соударения является сдвиг вперед на
$$\frac{1}{{\alpha }_2}\ln {\left(\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_1}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}\right)}^2\text{ у уединенной волны }{\alpha }_2$$

и сдвиг назад на
$$\frac{1}{{\alpha }_1}\ln {\left(\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_1}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}\right)}^2\text{ у уединенной волны }{\alpha }_1.$$

Взаимодействие происходит в окрестности точки
$$t=-\frac{s_2-s_1}{{\alpha }_2^2-{\alpha }_1^2},x=\frac{{\alpha }_2^2{s}_1-{\alpha }_1^2{s}_2}{{\alpha }_2^2-{\alpha }_1^2}.$$

В этой области $f_1\simeq 1,f_2\simeq 1$, и (17.21) описывает, как две волны сливаются, а затем расходятся, поменявшись местами.

Аналогичные результаты можно вывести из выражений (17.19)(17.20) для случая $N$ уединенных волн. В конечной стадии при $t\to \mathrm{\infty }$ существует $N$ уединенных волн, амплитуда и скорости которых возрастают при приближении к фронту и которые удаляются друг от друга по мере увеличения $t$.