Приведем сначала решения, которые можно получить при помощи преобразования (17.6). Параметр $\sigma$ можно, конечно, исключить нормировкой как из (17.1), так и из (17.6), но в литературе использовались различные нормировки (отвечающие $\sigma=1, \sigma=6, \sigma=$ $=-6$ ), и имеет смысл оставить этот параметр свободным для удобства сопоставления результатов. Вывод уравнения (17.1) для волн на воде и его более общее значение как длинноволнового приближения в других контекстах (см. соотношение (17.4)) были объяснены в § 13.11.

Переход от $\eta$ к $F$ проще всего совершить в два эташа. Сначала положим $\eta=p_{x}$ и, проинтегрировав, получим уравнение
\[
p_{t}+\frac{1}{2} \sigma p_{x}^{2}+p_{x x x}=0 .
\]

После нелинейной замены
\[
\sigma p=12(\ln F)_{x}
\]

получаются члены до четвертой степени функции $F$ и ее производных включительно, но специфическая черта данного преобразования состоит в том, что в окончательном выражении члены третьей и четвертой степеней выпадают. В результате получаем квадратичное уравнение
\[
F\left(F_{t}+F_{x x x}\right)_{x}-F_{x}\left(F_{t}+F_{x x x}\right)+3\left(F_{x x}^{2}-F_{x} F_{x x x}\right)=0 .
\]

Отметим появление характерного оператора
\[
\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}
\]

и некоторую симметричность уравнения. Возможная (но довольно натянутая) мотивировка введенного преобразования связана с решением, которое описывает уединенную волну и может быть представлено в виде
\[
\sigma \eta=3 \alpha^{2} \operatorname{sech}^{2} \frac{\theta-\theta_{0}}{2}, \quad \theta=\alpha x-\alpha^{3} t,
\]

где $\alpha$ и $\theta_{0}$ – параметры. Это производная по $x$ от выражения
\[
6 \alpha\left\{\operatorname{th}\left(\frac{\theta-\theta_{0}}{2}\right)-1\right\},
\]

которое в свою очередь является производной по $x$ от $12 \ln F$, где
\[
\begin{aligned}
F & =1+\exp \left\{-\left(\theta-\theta_{0}\right)\right\}= \\
& =1+\exp \left\{-\alpha(x-s)+\alpha^{3} t\right\}, \quad s=\frac{\theta_{0}}{\alpha} .
\end{aligned}
\]

Этот «вывод» нацеливает на общее рабочее правило поиска точных решений в этой области: рассматривать преобразования, которые переводят решения типа уединенной волны в простые экспоненты. Для сравнепия можно отметить, что преобразование $c=$ $=-2 v(\ln \varphi)_{x}$ для уравнения Бюргерса переводит решение (4.23), описывающее стационарную ударную волну, в
\[
\varphi=\exp \left(-\alpha_{1} x+v \alpha_{1}^{2} t\right)+\exp \left(-\alpha_{2} x+v \alpha_{2}^{2} t\right), \quad \alpha_{i}=\frac{c_{i}}{2 v} .
\]

Чем бы мы ни руководствовались, сразу видно, что выражение (17.13) является решением уравнения (17.11) при любых $\alpha$ и $s$. Это решение соответствует оператору
\[
\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}},
\]

оно удовлетворяет уравнению $F_{t}+F_{x x x}=0$, а третий член в (17.11) обращается в нуль вследствие однородности по производным.

Если бы уравнение (17.11) было линейным, то мы могли бы строить линейные комбинации таких решений с различными $\alpha$ и $s$, но, в силу нелинейности, возникнут взаимодействующие члены. В обычном подходе теории взаимодействий следовало бы положить
\[
F=1+F^{(1)}+F^{(2)}+\ldots,
\]

где $F^{(i)}$ находится из цепочки уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left\{F_{t}^{(1)}+F_{x x x}^{(1)}\right\}_{x}=0, \\
\left\{F_{t}^{(2)}+F_{x x x}^{(2)}\right\}_{x}=-3\left\{F_{x x}^{(1)^{2}}-F_{x}^{(1)} F_{x x x}^{(1)}\right\}
\end{array}
\]

и т. д. Возьмем в качестве $F^{(1)}$ два члена подобных (17.13):
\[
F^{(1)}=f_{1}+f_{2}, \quad f_{j}=\exp \left\{-\alpha_{j}\left(x-s_{j}\right)+\alpha_{j}^{3} t\right\}, \quad j=1,2 .
\]

Для $F^{(2)}$ получаем уравнение
\[
\left\{F_{t}^{(2)}+F_{x x x}^{(2)}\right\}_{x}=3 \alpha_{1} \alpha_{2}\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)^{2} f_{1} f_{2},
\]

которое имеет решение
\[
F^{(2)}=\frac{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)^{2}}{\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right)^{2}} f_{1} f_{2} .
\]

Удивительно, что тогда во всех остальных уравнениях цепочки правые части обращаются в нуль, и поэтому
\[
F=1+f_{1}+f_{2}+\frac{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)^{2}}{\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right)^{2}} f_{1} f_{2}
\]

является точным решением уравнения (17.11).
Отличительная черта этого решения состоит в том, что взаимодействующие члены приводят в правой части уравнения (17.16) только к произведению $f_{1} f_{2}$, а члены $f_{1}^{2}$ и $f_{2}^{2}$, которых также можно было ожидать, отсутствуют. Этот результат обобщается на высшие порядки, так что нелинейные члены в уравнении никогда не приводят к произведениям функций $f$ с повторяющимися индексами. Так, при двух исходных членах, как в (17.15), необходимы лишь комбинации $f_{1}, f_{2}, f_{1} f_{2}$ и мы имеем точное решение. Если начать с
\[
F^{(1)}=\sum_{j=1}^{N} f_{j}
\]

то $F^{(2)}$ содержит все члены $f_{j} f_{h}$ с $j
eq k$, но не содержит $f_{j}^{2} ; F^{(3)}$ содержит все члены $f_{j} f_{k} f_{l}$ с $j
eq k
eq l$, но не содержит $f_{j}^{3}$ или $f_{j}^{2} f_{k}$ и т. д. Таким образом, последовательность обрывается на
\[
F^{(N)} \curvearrowleft f_{1} f_{2} \ldots f_{N}
\]
(исчершывающем все произведения без повторяющихся индексов), и существует точное решение вида
\[
F=1+\sum_{j} f_{j}+\sum_{j
eq k} a_{j k} f_{j} f_{k}+\sum_{j
eq k
eq l} a_{j k l} f_{j} f_{k} f_{l}+\ldots+a_{12 \ldots N} f_{1} f_{2} \ldots f_{N} .
\]

Это уже достаточно поразительно, однако можно еще показать, что решение можно записать в виде
\[
F=\operatorname{det}\left\|F_{m n}\right\|,
\]

где ${ }^{1}$ )
\[
F_{m n}=\delta_{m n}+\frac{2 \alpha_{m}}{\alpha_{m}+\alpha_{n}} f_{m} .
\]

Этот результат впервые был обнаружен при более общем подходе, который будет описан в следующем параграфе, но его можно проверить непосредственной подстановкой в (17.11) (см. Хирота [1]).

Решение с $N$ модами $f_{j}$ описывает взаимодействие $N$ уединенных волн. Рассмотрим случай $N=2$. Решение для $F$ дается формулой (17.18), а соответствующее выражение для $\eta$, заданное фор-
мулой (17.6), имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\sigma}{12} \eta=\frac{\alpha_{1}^{2} f_{1}+\alpha_{2}^{2} f_{2}+2\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)^{2} f_{1} f_{2}}{\left(1+f_{1}+f_{2}+\left\{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right)\right\}^{2} f_{1} f_{2}\right)^{2}}+ \\
+\frac{\left\{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right)\right\}^{2}\left(\alpha_{2}^{2} f_{1}^{2} f_{2}+\alpha_{1}^{2} f_{1} f_{2}^{2}\right)}{\left(1+f_{1}+f_{2}+\left\{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right)\right\}^{2} f_{1} f_{2}\right)^{2}}
\end{array}
\]

где
\[
f_{j}=\exp \left\{-\alpha_{j}\left(x-s_{j}\right)+\alpha_{j}^{3} t\right\} .
\]

Уединенную волну (17.12) можно записать через $f$ в виде
\[
\frac{\sigma}{12} \eta=\frac{l \alpha^{2} f}{(1+f)^{2}},
\]

где $\sigma \eta$ достигает максимума при $f=1$. Отметим, что
\[
\begin{aligned}
\text { максимум амплитуды } о \eta & =3 \alpha^{2}, \\
\text { положение максимума } & =s+\alpha^{2} t, \\
\text { скорость волны } & =\alpha^{2} .
\end{aligned}
\]

Решение (17.21) близко к уединенной волне с параметром $\alpha_{1}$ в областях $(x, t)$-плоскости, где $f_{1} \simeq 1$ и $f_{2}$ либо велико, либо мало. Чтобы проверить это, заметим следующее.
1. При $f_{1} \simeq 1, f_{2} \ll 1$,
\[
\frac{\sigma}{12} \eta \simeq \frac{\alpha_{1}^{2} f_{1}}{\left(1+f_{1}\right)^{2}} .
\]
2. При $f_{1} \simeq 1, f_{2} \gg 1$,
\[
\begin{array}{c}
\frac{\sigma}{12} \eta \simeq \frac{\left\{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right)\right\}^{2} \alpha_{1}^{2} f_{1} f_{2}^{2}}{\left(f_{2}+\left\{\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right)\right\}^{2} f_{1} f_{2}\right)^{2}}=\frac{\alpha_{1}^{2} \widetilde{f}_{1}}{\left(1+\widetilde{f}_{1}\right)^{2}}, \\
f_{1}=\left(\frac{\alpha_{2}-\alpha_{1}}{\alpha_{2}+\alpha_{1}}\right)^{2} f_{1} .
\end{array}
\]

Последнее выражение описывает уединенную волну $\alpha_{1}$, у которой гараметр $s_{1}$ заменен на
\[
\tilde{s}_{1}=s_{1}-\frac{1}{\alpha_{1}} \ln \left(\frac{\alpha_{2}+\alpha_{1}}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\right)^{2} ;
\]

әто отвечает конечному смещению профиля в $x$-направлении. Аналогично, там, где $f_{2} \simeq 1$, а $f_{1}$ либо велико, либо мало, имеем уединенную волну $\alpha_{2}$ со сдвигом (или без сдвига) у $s_{2}$. Там, где $f_{1} \simeq 1$ и $f_{2} \simeq 1$, находится область взаимодействия; там, где $f_{1}$ и $f_{2}$ обе малы или велики, имеем $\sigma \eta \simeq 0$.

Теперь ясно поведение взаимодействующих уединенных волн, описываемых равенством (17.21). Положим для определенности $\alpha_{2}>\alpha_{1}>0$ и заметим, что, согласно (17.23), уединенная волна $\alpha_{2}$ больше и движется быстрее, чем уединенная волна $\alpha_{1}$. При $t \rightarrow$

$\rightarrow-\infty$ область взаимодействия, в которой $f_{1} \simeq 1, f_{2} \simeq 1$, отсутствует и выражение (17.21) описывает
уединенную волну $\alpha_{1}$ на $x=s_{1}+\alpha_{1}^{2} t, \quad f_{1} \simeq 1, \quad f_{2} \ll 1$,
уединенную волну $\alpha_{2}$ на $x=s_{2}-\frac{1}{\alpha_{2}} \ln \left(\frac{\alpha_{2}+\alpha_{1}}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\right)^{2}+\alpha_{2}^{2} t$,
\[
f_{1} \gg 1, \quad f_{2} \simeq 1
\]

в остальных точках $\sigma \eta \simeq 0$ (и $f_{1}$ и $f_{2}$ либо велики, либо малы).
Это отвечает большей уединенной волне $\alpha_{2}$, перегоняющей меньпую уединенную волну $\alpha_{1}$. Когда $t \rightarrow+\infty$, имеем уединенную волну $\alpha_{1}$ на $x=s_{1}-\frac{1}{\alpha_{1}} \ln \left(\frac{\alpha_{2}+\alpha_{1}}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\right)^{2}+\alpha_{1}^{2} t$,
\[
f_{1} \simeq 1, \quad f_{2} \gg 1,
\]

уединенную волну $\alpha_{2}$ на $x=s_{2}+\alpha_{2}^{2} t, \quad f_{1} \ll 1, \quad f_{2} \simeq 1$;
в остальных точках $\sigma \eta \simeq 0$.
Замечательный результат состоит в том, что уединенные волны выходят из области взаимодействия без изменения формы с первоначальными параметрами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, более быстрая уединенная волна $\alpha_{2}$ теперь находится впереди. Единственным напоминанием о процессе соударения является сдвиг вперед на
\[
\frac{1}{\alpha_{2}} \ln \left(\frac{\alpha_{2}+\alpha_{1}}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\right)^{2} \text { у уединенной волны } \alpha_{2}
\]

и сдвиг назад на
\[
\frac{1}{\alpha_{1}} \ln \left(\frac{\alpha_{2}+\alpha_{1}}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\right)^{2} \text { у уединенной волны } \alpha_{1} .
\]

Взаимодействие происходит в окрестности точки
\[
t=-\frac{s_{2}-s_{1}}{\alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}}, \quad x=\frac{\alpha_{2}^{2} s_{1}-\alpha_{1}^{2} s_{2}}{\alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}} .
\]

В этой области $f_{1} \simeq 1, f_{2} \simeq 1$, и (17.21) описывает, как две волны сливаются, а затем расходятся, поменявшись местами.

Аналогичные результаты можно вывести из выражений (17.19)(17.20) для случая $N$ уединенных волн. В конечной стадии при $t \rightarrow \infty$ существует $N$ уединенных волн, амплитуда и скорости которых возрастают при приближении к фронту и которые удаляются друг от друга по мере увеличения $t$.