Рассматриваемая теория позволяет получить количественную оценку эффектов, на которые всегда ссылаются при объяснении устойчивости плоских.ударных волн. Предположим, что по какойлибо причине на\”ударной волне образовалось вздутие, изображенное на рис. 8.18. Отставшая часть соответствует вогнутому участку фронта и, следовательно, будет усиливаться по мере распространения. Усиливаясь, она будет ускоряться и таким образом вздутие будет сглаживаться. Аналогичным образом любая часть ударной волны, выдающаяся вперед, ослабляется и замедляется. Общим результатом является устойчивость. Рассуждения об изменении интенсивности волны в зависимости от кривизны количественно выражаются соотношением между $A$ и $M$.

В линейной геометрической оптике вогнутая часть волнового фронта приводит к каустике, поскольку линейные лучи ортогональны исходному волновому фронту и образуют огибающую (см. стр. 239-240 выше). По мере того как волновой фронт распространяется по сходящейся трубке лучей, он усиливается и его интенсивность неограниченно возрастает при приближении к каустике. Но в линейной теории скорость возмущений неизменна, и поэтому лучи остаются прямыми. В развиваемой здесь нелинейной теории ударная волна по мере усиления ускоряется. Это как бы расталкивает лучи, и не получается ни наложений, ни каустики. Возмущение обгоняет ударную волну, как показано на рис. 8.18, и выравнивается, расплываясь вдоль ударной волны.

Подробно задача формулируется как задача Коши с начальными значениями $M$ и $\theta$, заданными на исходной ударной волне. В двух измерениях эта задача полностью аналогична задаче, рассмотренной в §6.12. Имеется исходная область взаимодействия, а затем возмущение разделяется на две простые волны, движущиеся в положительном и отрицательном направлениях вдоль ударной волны. Для каждой из них полные изменения $\theta$ и $M$ будут равны нулю, так что они в конце концов превратятся в $N$-волны

с вторичными ударными волнами вцереди и сзади и линейным убыванием $\theta$ между ними. Форма ударной волны будет соответствовать рис. 8.18. Подробные вычисления здесь приводиться не

Рис. 8.18. Схема положений ударной волны (сплошные кривые) и лучей – (штриховые кривые) для нелинейного распада каустики.

будут. Согласно общим результатам, установленным ранее, вторичная ударная волна затухает как $t^{-1 / 2}$. Для равномерно распределенного начального возмущения типа синусоиды возмущение затухает как $1 / t$ (см. § 2.8).
Устойчивость сходящихся цилиндрических ударных волн

Возникает интересный и важный вопрос об устойчивости сходящихся цилиндрических и сферических ударных волн. Ожидаемое высокое давление в центре будет значительно ослаблено несовершенной фокусировкой. В экспериментах Перри и Кантровица [1] были обнаружены очень симметричные формы для слабых и умеренных ударных волн и некоторые признаки неустойчивости для сильных ударных волн, хотя выводы не представляются достаточно четкими.

Интересно проанализировать этот вопрос, используя нашу теорию. Локальные выпуклости на ударной волне будут проявлять тенденции, описанные для плоских ударных волн, но на них накладываются общее движение $\kappa$ центру и усиление волны в делом. Отставшие части будут проявлять тенденцию к усилению, но другие части уже усилились за счет общего движения и близости к центру, так что отставшие части могут продолжать запаздывать и, возможно, отставать все больше и больше. Пока радиус

достаточно велик, кажется ясным, что поведение будет близким к плоским волнам и распространение будет устойчивнм. Поэтому вопрос касается поведения ударной волны вблизи центра, где ее интенсивность велика.

Задача для сильных дилиндрических ударных волн была исследована Батлером [2] при помощи метода малых возмущений, неявно включавшего приближения теории трубок лучей. В развитой здесь общей формулировке она решается проще и без использования предположения о малости возмущений. Для сильных ударных волн двумерные уравнения (8.59) – (8.61) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \theta}{\partial \beta}+\frac{n M_{0}^{n}}{M^{n+2}} \frac{\partial M}{\partial \alpha}=0, \\
\frac{\partial \theta}{\partial \alpha}+\frac{M^{n}}{M_{0}^{n}} \frac{\partial M}{\partial \beta}=0 .
\end{array}
\]

Симметричное решение для ударной волны с исходным радиусом $R_{0}$ дается формулами
\[
\theta=-\frac{\beta}{R_{0}}, \quad M=M_{0}\left(-\frac{n+1}{n} \frac{M_{0} \alpha}{R_{0}}\right)^{-1 /(n+1)}, \quad \alpha<0 .
\]

Как и следовало ожидать, оно совпадает с решением Гудерлея.
Для изучения возмущений этого решения используем преобразование годографа уравнений (8.102) и (8.103) и поменяем ролями зависимые и независимые переменные. Это приводит к линейным уравнениям без каких-либо ограничений величины возмущений. Сначала введем новые переменные
\[
q=\left(\frac{M}{M_{0}}\right)^{n+1}, \quad \Theta=\frac{(n+1) \theta}{\sqrt{n}}, \quad s=\frac{M_{0} \alpha}{\sqrt{n}} ;
\]

тогда уравнения (8.102) и (8.103) перейдут в следующие:
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial q}{\partial s}+q^{2} \frac{\partial \Theta}{\partial \beta}=0, \\
\frac{\partial \Theta}{\partial s}+\frac{\partial q}{\partial \beta}=0 .
\end{array}
\]

В этих переменных симметричное решение имеет вид $q \propto 1 / s$, $\Theta$ с $\beta$. При преобразовании годографа $\beta$ и $s$ рассматриваются как функции от $q$ и $\Theta$. Формулы преобразования таковы: $\Theta_{\beta}=$ $=J s_{q}, \Theta_{s}=-J \beta_{q}, \quad q_{\beta}=-J s_{\theta}, \quad q_{s}=J \beta_{\Theta}$, где $J-$ якобиан $\partial(q, \Theta) / \partial(s, \beta)$. Уравнения (8.105) принимают вид
\[
\beta_{\Theta}+q^{2} s_{q}=0, \quad \beta_{q}+s_{\Theta}=0 .
\]

Исключив $\beta$, получим одно уравнение
\[
q^{2} s_{q q}+2 q s_{q}=s_{\Theta \varepsilon} .
\]

Решая его методом разделения переменных, находим
\[
s=q^{\mu} e^{i m \Theta}, \quad \mu=-\frac{1}{2} \pm\left(\frac{1}{4}-m^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

Если $m=0$, то при $\mu=-1$ имеем симметричное решение. Если $m \geqslant 1$, то $\operatorname{Re} \mu=-1 / 2$. Следовательно, при приближении ударной волны к центру, когда $q \rightarrow \infty$, гармоники доминируют над симметричной модой. Поэтому ударная волна оказывается неустойчивой.

Мнимая часть показателя степени $\mu$ указывает, что возмущение состоит из волн, распространяющихся по ударной волне. Когда возмущение становится большим, якобиан $J$ может обратиться в нуль. Это означает, что отображение $(q, \Theta)$-плоскости на $(s, \beta)$ плоскость перестает быть взаимно однозначным, что соответствует появлению вторичных ударных волн. Когда достигается эта стадия, дальнейшие расчеты следует проводить численно в $(s, \beta)$ плоскости.