Тип уравнений определяется тем, являются характеристики вещественными или мнимыми. Условие гиперболичности системы можно записать в следующих эквивалентных формах:
\[
r^{2}-p q>0, \quad \omega_{I} J_{k}>0, \quad \mathscr{H B}_{k \boldsymbol{k}} \mathscr{H} \mathcal{B}_{I I}>0 ;
\]
второе выражение ближе всего по форме к почти линейному условию $\omega_{2} \omega_{0}^{\prime \prime}>0$. Если знаки неравенств противоположны, то система являетея эллицтической.
Как было указано в § 14.2, периодические волновые пакеты в определенном смысле неустойчивы, когда уравнения модуляций эллиптические. Чтобы убедиться в этом, заметим, что уравнения модуляций имеют следующий общий вид:
\[
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+a_{i j}(\mathbf{u}) \frac{\partial u_{j}}{\partial x}=0 .
\]
В однородном периодическом волновом пакете и принимает постоянное значение, скажем $\mathbf{u}^{(0)}$. Для малых возмущений полагаем $\mathbf{u}=\mathbf{u}^{(0)}+\mathbf{u}^{(1)}$. Линеаризованные уравнения для $\mathbf{u}^{(1)}$ таковы:
\[
\frac{\partial u_{i}^{(1)}}{\partial t}+a_{i j}^{(0)} \frac{\partial u_{j}^{(1)}}{\partial x}=0, \quad a_{i j}^{(0)}=a_{i j}^{(0)}\left(\mathbf{u}^{(0)}\right) .
\]
Эта система имеет решения
\[
\mathbf{u}^{(1)} \propto e^{i \mu(x-C t)},
\]
причем
\[
\left|a_{i j}^{(0)}-C \delta_{i j}\right|=0 .
\]
Возможные значения $C$ являются характеристическими скоростями, вычисленными для $\mathbf{u}=\mathbf{u}^{(0)}$ (см. (5.12)). Если среди этих значений $C$ имеются комплексные, то соответствующие решения $\mathbf{u}^{(1)}$ экспоненциально растут со временем. Конечно, как и в более простом линейном анализе устойчивости, это указывает только на то, что могут возникнуть значительные отклонения от однородного состояния, и волновой пакет необязательно становится хаотическим. В настоящем контексте устойчивость и возможные конечные состояния существенно зависят от членов высших порядков модуляционного приближения, как это будет показано в § 15.5.
В случае нелинейного уравнения Клейна – Гордона, согласно (15.20), для волновых пакетов, удовлетворяющих условиям (14.6) с $F(A)>0$, имеем
\[
\begin{array}{l}
\text { гиперболический тип: } F^{\prime \prime}<0 \text {, } \\
\text { эллиптический тип: } F^{\prime \prime}>0 \text {. } \\
\end{array}
\]
В частности, когда $V(\Psi)=1 / 2 \Psi^{2}+\sigma \Psi^{4}$, система гиперболическая при $\sigma>0$ и эллиптическая при $\sigma<0$. Для любой четной функции $V(\Psi)$ первые члены почти линейного разложения можно представить в таком виде, и тип аналогичным образом зависит от знака коэффициента $\sigma$.
Для уравнения $\operatorname{Sin}-$ Гордона потенциал $V(\Psi)=1-\cos \Psi$, и можно показать, что $F^{\prime \prime}(A)>0$, так что периодические волновые пакеты неустойчивы. Этот результат применим к осцилляциям около состояния $\Psi=0$, удовлетворяющего условиям (14.6). В дальнейшем мы отметим существование спиральных волновых пакетов, в которых $\Psi$ монотонно возрастает или убывает. Они
дают периодические решения, поскольку то же самое физическое состояние восстанавливается после каждого изменения на $2 \pi$. Эти решения оказываются устойчивыми в рассмотренном здесь смысле.
