Рассмотрим один частный случай задачи Коши с разрывом в начальных данных, в котором можно найти точное решение. Этот случай важен также потому, что он связан с основным прибором для воспроизведения ударных волн в экспериментальных условиях. Ударная труба – это длинная труба, перегороженная у одного из концов тонкой диафрагмой. В секцию, расположенную за диафрагмой, накачивается газ под высоким давлением. В начальном состоянии имеются две однородные области с

и
\[
u=0, \quad p=p_{1}, \quad \rho=\rho_{1} \quad \text { при } \quad x>0
\]
\[
u=0, \quad p=p_{4}>p_{1}, \quad \rho=\rho_{4} \text { при } \quad x<0 .
\]

Диафрагма, разделяющая две области исходных однородных состояний, разрывается. При этом возникает ударная волна, распространяющаяся по трубе. Если эффектами трения о стенки трубы можно пренебречь, то эту волну можно рассматривать как плоскую волну, и если ограничиться временем, когда волна еще не отразилась от концов трубы, то точное решение можно получить аналитически.

На рис. 6.5 изображена $(x, t)$-диаграмма. Поверхность, разделяющая два газа, движется по трубе; возникают ударная волна сжатия, распространяющаяся в сторону газа с низким давлением, п волна разрежения, распространяющаяся в сторону газа с высоким давлением. Поскольку начальные условия не выделяют характерной длины или интервала времени, а длины секций трубы не существенны на ранней стадии, когда возмущения еще не достигли концов, соображения размерности показывают, что решение должно быть постоянным на прямых $x / a_{1} t=$ const

в $(x, t)$-плоскости. Следовательно, скорости ударной волны и поверхности раздела должны быть постоянными, а волна разрежения должна описываться веером, центрированным в начале координат.

Как показано на рис. 6.5, существуют области однородного состояния $1,2,3,4$, причем в областях 1 и 4 состояния совпадают
Рис. 6.5. ( $x, t)$-диаграмма для ударной трубы.
$A$ – центрированная простая волна, $B$ – поверхность раздела, $C$ ударная волна.

с исходными однородными состояниями. Задачу можно, следовательно, рассматривать как комбинацию двух задач о поршне, интерпретируя движение поверхности раздела как движение поршня. Скорости течения по обе стороны поверхности раздела должны совпадать со скоростью самой этой поверхности, так что для течений с обеих сторон поверхность раздела подобна твердой стенке. Однако ее движение заранее не известно и должно быть определено в процессе решения задачи.

Если скорость поверхности раздела равна $V$, то можно использовать условия на разрыве (6.103)-(6.105) с $u_{2}=V, u_{1}=0$ и выразить $p_{2}, \rho_{2}$ и $U$ через $V$. В частности, интенсивность ударной волны $z=\left(p_{2}-p_{1}\right) / p_{1}$ определяется из (6.104):
\[
\frac{V}{a_{1}}=\frac{z}{\gamma_{1}\left(1+\frac{\gamma_{1}+1}{2 \gamma_{1}} z\right)^{1 / 2}} .
\]

Газ по разным сторонам от диафрагмы может иметь различные значения $\gamma$. Мы используем обозначение $\gamma_{1}$ для области 1 и $\gamma_{4}$ для области 4. Волна разрежения между областями 3 и 4 является простой волной, для которой
\[
S_{3}=S_{4}, \quad \frac{2 a_{3}}{\gamma_{4}-1}+V=\frac{2 a_{4}}{\gamma_{4}-1} .
\]

Для политропного газа $S=c_{v} \ln p / \rho^{\gamma_{4}}, a^{2}=\gamma_{4} p / \rho$, так что из этих соотношений можно найти также $p_{3}$ и $\rho_{3}$. В частности, $p_{3}$ опре-

деляется из равенства
\[
\frac{V}{a_{1}}=\frac{2}{\gamma_{4}-1} \frac{a_{4}}{a_{1}}\left\{1-\left(\frac{p_{3}}{p_{4}}\right)^{\left(\gamma_{4}-1\right) /\left(2 \gamma_{4}\right)}\right\} .
\]

В случае необходимости можно определить детали течения в центрированной простой волне; решение аналогично (6.79), но с другим семейством характеристик.

На этой стадии решение полностью определено, если известна скорость $V$. Поскольку поверхность раздела не имеет массы и суммарная сила, действующая на нее, должна равняться нулю, имеется еще одно соотношение, а именно $p_{2}=p_{3}$. Эти давления определяются из (6.123) и (6.124), и условие $p_{2}=p_{3}$ дает уравнение для $V$. Более существенно, однако, найти выражение для интенсивности ударной волны $z$. Если в (6.124) положить $p_{3}=$ $=p_{2}=p_{1}(1+z)$ и приравнять два выражения для $V / a_{1}$, то будем иметь
\[
\frac{z}{\gamma_{1}\left(1+\frac{\gamma_{1}+1}{2 \gamma_{1}} z\right)^{1 / 2}}=\frac{2}{\gamma_{4}-1} \frac{a_{4}}{a_{1}}\left\{1-\left[\frac{p_{1}}{p_{4}}(1+z)\right]^{\left(\gamma_{4}-1\right) /\left(2 \gamma_{4}\right)}\right\} .
\]

Это уравнение определяет $z$ через известные величины $p_{4} / p_{1}$ и $a_{4} / a_{1}$.