Из проведенного выше построения решения видно, что характеристики несут информацию с границы в рассматриваемую область. Физически характеристики соответствуют волнам, распространяющимся со скоростями $c_{k}$. Судя по этому построению, в общем случае следует ожидать, что любое резкое изменение данных на границе приведет к соответствующим резким изменениям решения, распространяющимся вдоль характеристик, проходящих через эти граничные точки. Если такое резкое изменение представляет собой разрыв некоторых производных функции $\mathbf{u}$, то это не слишком определенное соображение становится точным и можно ожидать, что разрывы производных распространяются вдоль характеристик. Соответствующие результаты можно получить непосредственно из уравнений. Рассуждения проводятся для случая разрыва первого рода первых производных функций $u_{j}$. Производные высших порядков и прочие особенности можно рассмотреть аналогичным образом.

Пусть $\xi(x, t)=0$ — гладкая кривая, разделяющая две области, в каждой из которых и непрерывно дифференцируема. Предположим, что $u_{j}$ непрерывны при $\xi \rightarrow \pm 0$ и что $\partial u_{j} / \partial t$ и $\partial u_{j} / \partial x$ имеют конечные пределы при $\xi \rightarrow \pm 0$. Если $\xi(x, t)$ — достаточно гладкая функция то можно ввести новую локальную систему

координат $\xi(x, t), \eta(x, t)$ и записать (5.1) в виде
\[
\left(A_{i j} \xi_{t}+a_{i j} \xi_{x}\right) \frac{\partial u_{j}}{\partial \xi}+\left(A_{i j} \eta_{t}+a_{i j} \eta_{x}\right) \frac{\partial u_{j}}{\partial \eta}+b_{i}=0 .
\]

Эти уравнения справедливы в каждой из областей $\xi>0$ и $\xi<0$ : По предположению

откуда
\[
u_{j}(+0, \eta)=u_{j}(-0, \eta),
\]
\[
\frac{\partial u_{j}(+0, \eta)}{\partial \eta}=\frac{\partial u_{j}(-0, \eta)}{\partial \eta} .
\]

Это означает, что на кривой $\xi=0$ касательные производные непрерывны и только нормальные пропзводные $\partial u_{j} / \partial \xi$ могут претерпевать разрыв. Пределы равенств (5.17) конечны при $\xi \rightarrow \pm 0$, а все коэффициенты непрерывны. Следовательно, взяв разность пределов с обеих сторон, получим
\[
\left(A_{i j} \xi_{t}+a_{i j} \xi_{x}\right)\left[\frac{\partial u_{i}}{\partial \xi}\right]=0,
\]

где
\[
\left[\frac{\partial u_{j}}{\partial \xi}\right]=\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial \xi}\right)_{\xi=+0}-\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial \xi}\right)_{\xi=-0} .
\]

Отсюда скачки $\left[\partial u_{j} / \partial \xi\right]$ отличны от нуля лишь в том случае, когда на кривой $\xi=0$
\[
\left|A_{i j} \xi_{t}+a_{i j} \xi_{x}\right|=0 .
\]

Если кривую $\xi(x, t)=0$ описывать другим способом: $x=X(\eta)$, $t=T^{\prime}(\eta)$ то
\[
\left(\xi_{t}, \xi_{x}\right) \propto\left\{X^{\prime}(\eta),-T^{\prime}(\eta)\right\} .
\]

При этом равенство (5.21) совпадет с равенством (5.6), и, следовательно, разрывы первых производных функции $\mathbf{u}$ могут иметь место только на характеристиках.

Согласно этому утверждению, распространяющиеся разрывы исключены, если система не имеет характеристик; в этом случае любой разрыв граничных данных немедленно сгладится в решении. $\mathrm{C}$ другой стороны, существование характеристик не является гарантией возникновения разрывов. Уравнения дают дополнительные ограничения на $\left[\partial u_{j} / \partial \xi\right]$, и, если система не полностью гиперболическая, эти ограничения могут оказаться настолько жесткими, что $\left[\partial u_{j} / \partial \xi\right]=0$. Однако, если спстема гиперболическая, дополнительные соотношения не исключают разрывов, вместо этого они дают уравнения, определяющие изменение величин разрывов, когда они распространяются вдоль характеристик.

Если равенство (5.21) выполнено и выбрана конкретная характеристика, то уравнения (5.20) дают ряд соотношений между вели-

чинами $\left[\partial u_{j} / \partial \xi\right]$ на этой характеристике. Число этих соотношений определяется рангом матрицы коэффициентов в (5.20). В простейшем случае имеется $n-1$ соотношение, так что все скачки $\left[\partial u_{j} / \partial \xi\right]$ определяются через один из вих, или в более симметричном виде
\[
\left[\partial u_{j} / \partial \xi\right]=\sigma L_{j},
\]

где $\mathbf{L}$ — любое нетривиальное решение системы
\[
\left(A_{i j} \xi_{t}+a_{i j} \xi_{x}\right) L_{j}=0,
\]

а $\sigma$ на данной стадии пока не определено. Если ранг матрицы равен $r$, то существуют $n-r$ независимых решений системы (5.23) и соответствующее число членов в (5.22) с $n-r$ параметрами $\sigma$.

Можно получить дополнительную информацию, взяв производную по $\xi$ системы (5.17) и рассмотрев разность пределов при $\xi \rightarrow \pm 0$. Результат имеет следующий общий вид:
\[
\left(A_{i j} \xi_{t}+a_{i j} \xi_{x}\right)\left[\frac{\partial^{2} u_{j}}{\partial \xi^{2}}\right]+E_{i}\left(\frac{d}{d \eta}\left[\frac{\partial u_{j}}{\partial \xi}\right],\left[\frac{\partial u_{j}}{\partial_{\xi}^{\xi}}\right]\right)=0,
\]

где $E_{i}$ линейна по первому аргументу и не более чем квадратична по второму. Хотя в основном эти уравнения дают информацию о скачках вторых производных $\left[\partial^{2} u_{j} / \partial \xi^{2}\right]$ при переходе через $\xi=0$, из вырожденности матрицы
\[
A_{i j} \xi_{t}+a_{i j} \xi_{x}
\]

следует, что некоторые линейные комбинации величин $E_{i}$ обращаются в нуль. Отсюда получаются новые соотношения, которым должны удовлетворять величины $\left[\partial u_{j} / \partial \xi\right]$. Их число равно $n-r$ (где $r$ опять ранг матрицы), и это в точности совпадает со степенью произвола, остающегося после решения системы (5.20). Эти соотношения и дают искомые уравнения для параметров $\sigma$, введенных в (5.22).

Детали становятся довольно сложными, так что подробные построения мы проведем только для случая разрывов на волновом фронте, распространяющемся в область с постоянным однородным состоянием. Этот пример содержит все важные черты п во всяком случае является основным приложением теории разрывов. Мы будем также считать, что система имеет упрощенный вид (5.9).