Независимо друг от друга Коул [1] и Хопф [1] получили замечательный результат, заключающийся в том, что уравнение (4.1) можно свести к линейному уравнению теплопроводности нелинейной заменой
\[
c=-2 v \frac{\varphi_{x}}{\varphi} .
\]

Эта замена аналогична найденному ранее Томасом преобразованию уравнений обмена, описанному в § 3.4. Это преобразование тоже удобно провести в два этапа. Положим сначала
\[
c=\psi_{x}
\]

тогда, проинтегрировав уравнение (4.1) получим
\[
\psi_{t}+1 / 2 \psi_{x}^{2}=v \psi_{x x} .
\]

Положим теперь
\[
\psi=-2 v \ln \varphi,
\]

откуда
\[
\varphi_{t}=v \varphi_{x x} .
\]

Такая нелинейная замена полностью исключает нелинейный член. Общее решение уравнения теплопроводности (4.7) хорошо известно, и его можно получить различными способами.

Основная задача, рассматривавшаяся в гл. 2,- это задача с начальными условиями
\[
c=F(x) \text { при } t=0 .
\]

Преобразованием (4.6) эти условия переводятся в следующие начальные условия:
\[
\varphi=\Phi(x)=\exp \left\{-\frac{1}{2 v} \int_{0}^{x} F(\eta) d \eta\right\}, \quad t=0,
\]

для уравнения теплопроводности. Решение $\varphi$ имеет вид
\[
\varphi=\frac{1}{\sqrt{4 \pi v t}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(\eta) \exp \left\{-\frac{(x-\eta)^{2}}{4 v t}\right\} d \eta .
\]

Следовательно, в силу равенства (4.6), для $c$ имеем формулу
\[
c(x, t)=\frac{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x-\eta}{t} e^{-G /(2 v)} d \eta}{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-G /(2 v)} d \eta} .
\]

где
\[
G(\eta ; x, t)=\int_{0}^{\eta} F\left(\eta^{\prime}\right) d \eta^{\prime}+\frac{(x-\eta)^{2}}{2 t} .
\]