Применим теперь этот метод к одномерной задаче о плоской ударной волне, движущейся в $x$-направлении в данной среде с равновесным распределением $u=0, p=p_{0}(x), \rho=\rho_{0}(x)$. Если давление $p_{0}(x)$ непостоянно, то в данной среде должны действовать массовые силы, соответствующие градиентам давления, и их надо
включить в уравнения. Одномерные уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =\mathscr{F} \\
p_{t}+u p_{x}-a^{2}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right) & =0,
\end{aligned}
\]
где $\mathscr{F}$ – массовая сила, отнесенная к единице массы. Для атмосферы Земли или для внешних слоев звезд $\mathscr{F}$ будет гравитационным ускорением. В равновесном состоянии функции $\rho_{0}(x)$ и $p_{0}(x)$ должны удовлетворять уравнению
\[
\frac{1}{\rho_{0}} \frac{d p_{0}}{d x}=\mathscr{F} .
\]
и для полного определения $\rho_{0}(x)$ и $p_{0}(x)$ следует задать еще распределение энтропии. В атмосфере $\mathscr{F}=-g$ и, например, имеем
\[
\begin{array}{cc}
\rho_{0}(x)=\rho_{0}(0) e^{-g x / \mathscr{R} T_{0}} & \text { (изотермическое состояние), } \\
\frac{\gamma \chi}{\gamma-1} \rho_{0}^{\gamma-1}(x)=c-g x & \text { (изэнтропическое состояние) }
\end{array}
\]
согласно результатам § 6.6.
Применим теперь правило характеристик к распространению ударной волны в таком слое, помня, что это правило применимо только для локальных эффектов стратификации и должно использоваться лишь тогда, когда дополнительные эффекты малы. Соответствующее характеристическое соотношение можно записать в следующей дифференциальной форме:
\[
d p+\rho a d u-\frac{\rho a}{u+a^{1}} \mathscr{F} ! d x=0 \quad \text { на } \quad \frac{d x}{d t}=u+a .
\]
Но мы применим его на ударной волне. Это значит, что мы используем дифференциальное уравнение
\[
\frac{d p}{d x}+\rho a \frac{d u}{d x}-\frac{\rho a}{u+a} \mathscr{F}=\tilde{0}
\]
с величинами $u, \rho, p, a$, выраженными через $p_{0}(x), \rho_{0}(x)$ и число Маха ударной волны $M(x)$. В общем случае требуется численное интегрирование, но для сильных ударных волн можно получить аналитическое выражение. Для сильных ударных волн (см. (6.110)) условия на разрыве упрощаются:
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{2}{\gamma+1} U, \quad p=\frac{2}{\gamma+1} \rho_{0} U^{2}, \quad \rho=\frac{\gamma+1}{\gamma-1} \rho_{0}, \\
a^{2}=\frac{\gamma p}{\rho}=\frac{2 \gamma(\gamma-1)}{(\gamma+1)^{2}} U^{2},
\end{array}
\]
где $U$ – скорость ударной волны. В этом пределе скорость $U$ сравнительно велика и третий член в (8.40) пренебрежимо мал по сравнению с остальными двумя. Массовая сила $\mathscr{F}$ входит неявно, определяя зависимость $\rho_{0}(x)$, и уравнение (8.40) сводится к виду
\[
\frac{1}{U} \frac{d U}{d x}+\beta \frac{1}{\rho_{0}} \frac{d \rho_{0}}{d x}=0,
\]
где
\[
\beta=\left(2+\sqrt{\frac{2 \gamma}{\gamma-1}}\right)^{-1} .
\]
Отсюда
\[
U \propto \rho_{0}^{-\beta}, \quad p \sim \rho_{0}^{1-2 \beta} .
\]
При $\gamma=1,4$ мы имеем $\beta=0,21525$.
Эти результаты позволяют провести еще одну проверку с точным решением. Сакураи [1] исследовал автомодельные решения этой задачи в случае, когда $\rho_{0}$ г $x^{a}$. Он обнаружил, что в этом случае $U \subset x^{-\lambda}$, и нашел величину $\lambda$ для различных значений $\alpha$. Его значения отношения $\lambda / \alpha$ приведены в табл. 8.2 и сравниваются с $\beta$. Хотя приближение и не столь хорошо, как для задачи о сходящейся ударной волне, оно все еще остается удивительно точным.
Таблица 8.2
\begin{tabular}{ccccc}
\hline$\gamma$ & $\alpha=2$ & $\alpha=1$ & $\alpha=1 / 2$ & $\beta$ \\
\hline $5 / 3$ & 0,21779 & 0,22335 & 0,22820 & 0,23608 \\
$7 / 5$ & 0,19667 & 0,20214 & 0,20704 & 0,21525 \\
$6 / 5$ & 0,16545 & 0,17040 & 0,17498 & 0,18301 \\
\hline
\end{tabular}
Следует все время помнить, что мы ограничиваемся кругом задач со значительными локальными изменениями ударной волны. Для экспоненциального убывания плотности также можно найти автомодельные решения и сравнить их с нашим приближением. Сравнение было проделано Хейзом [1], и разность показателей достигает $15 \%$. Мы относим это за счет того, что экспоненциальное изменение плотности не связано с такими сильными локальными əффектами, как степенной закон с $\rho_{0} \rightarrow 0$ для конечного значения $x$.
Задачу, рассматриваемую в этом параграфе, первым изучал Чизнелл [1]. Он использовал подход последовательных взаимодействий и в случае $p_{0}=$ const, $\mathscr{F}=0$ нашел малые поправки за счет однократных повторных отражений. Как и прежде, было обнаружено благоприятное взаимное погашение вкладов.
