Простейшим уравнением, отражающим как эффекты нелинейного распространения, так и эффекты диффузии, является уравнение Бюргерса
\[
c_{t}+c c_{x}=v c_{x x} .
\]
Выше было показано (см. (2.28)), что это уравнение является точным для волн, описываемых уравнениями
\[
\rho_{t}+q_{x}=0, \quad q=Q(\rho)-v \rho_{x},
\]
в случае когда $Q(\rho)$ – квадратичная функция. В общем случае, когда в рассматриваемой задаче существенны оба эффекта, обычно существует способ вывода уравнения (4.1) либо как достаточно точного приближения, тибо как удобной основы для грубых оценок.
В случае произвольной зависимости $Q(\rho)$ в уравнениях (4.2) можно, например, получить уравнение
\[
c_{t}+c c_{x}=v c_{x x}-v c^{\prime \prime}(\rho) \rho_{x}^{2},
\]
где, как обычно, $c(\rho)=Q^{\prime}(\rho)$. Отношение $v c^{\prime \prime}(\rho) \rho_{x}^{2}$ к $v c_{x x}$ имеет порядок амплитуды возмущения, и следует ожидать, что уравнение (4.1) является хорошим приближением для малых амплитуд. В этом случае полагают, что пренебрежение данным весьма малым членом не создает накапливания ошибок (скажем, при $t \rightarrow \infty$ ), неизбежно приводящего к неравномерности приближения. Для сравнения напомним, что линеаризация левой части вида $c_{t}+$ $+c_{0} c_{x}$, где $c_{0}$ – некоторое постоянное невозмущенное значение, в этом отношении катастрофична. Но для проверки можно установить, что в решении, описывающем структуру ударной волны (см. §2.4), где наибольшими являются диффузионные члены, в области ударной волны член $v c^{\prime \prime}(\rho) \rho_{x}^{2}$ остается по порядку величины меньше, чем $v c_{x x}$.
Эти рассуждения можно положить в основу формального разложения в ряд теории возмущений по надлежащим образом выбранному малому параметру. С другой стороны, тот факт, что плены, оставленные в уравнении (4.1), описывают понятные и важные явления, тогда как член $v c^{\prime \prime}(\rho) \rho_{x}^{2}$ является скорее математической помехой, позволяет предположить, что уравнение (4.1)
окажется полезным для качественного описания даже вне области, где оно, строго говоря, применимо.
Аналогичным образом уравнение Бюргерса оказывается полезным для систем высшего порядка, таких, как (3.2)-(3.3), в которых отражаются и нелинейное распространение, и диффузия. Конечно, оно применимо лишь в устойчивой области и для тех частей решения, где доминируют волны низшего порядка. Соответствующие результаты легко находятся и обычно подтверждаются более строгими рассуждениями. В случае системы (3.2)-(3.3) из уравнения (3.6) следует, что эффективный коэффициент диффузии равен $v^{*}=v-\left(v_{0}-c_{0}\right)^{2} \tau$, так что именно это значение следует использовать в уравнении (4.1). Действительно, уравнение (3.6) является полностью линеаризованным уравнением Бюргерса для рассматриваемой системы.
Теперь наша главная цель – показать, что точное решение уравнения Бюргерса подтверждает идеи об ударных волнах, развитые в гл. 2. Иначе говоря, мы хотим проверить, что при $v \rightarrow 0$ (в надлежащем безразмерном виде) решения уравнения (4.1) сходятся к решениям уравнения
\[
c_{t}+c c_{x}=0
\]
с разрывными ударными волнами, удовлетворяющими условию
\[
U=1 / 2\left(c_{1}+c_{2}\right), \quad c_{2}>U>c_{1},
\]
и линиями разрывов, указанными в § 2.8 .
