Профиль ударной волны для уравнения (4.1) удовлетворяет уравнению
\[
-U c_{X}+c c_{X}=v c_{X X}, \quad X=x-U t,
\]

откуда
\[
1 / 2 c^{2}-U c+C=v c_{X} .
\]

Если $c \rightarrow c_{1}, c_{2}$ при $X \rightarrow \pm \infty$, то
\[
U=1 / 2\left(c_{1}+c_{2}\right), \quad C=1 / 2 c_{1} c_{2},
\]

и уравнение можно переписать как
\[
\left(c-c_{1}\right)\left(c_{2}-c\right)=-2 v c_{X} .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
\frac{X}{v}=\frac{2}{c_{2}-c_{1}} \ln \frac{c_{2}-c}{c-c_{1}},
\]

что согласуется с (2.25), поскольку $c=2 \alpha \rho+\beta$ для квадратичной функции $Q(\rho)$. Разрешая полученное равенство относительно $c$, получаем
\[
c=c_{1}+\frac{c_{2}-c_{1}}{1+\exp \left\{\frac{c_{2}-c_{1}}{2 v}(x-U t)\right\}}, \quad U=\frac{c_{1}+c_{2}}{2} .
\]

Положив в равенствах (4.10)-(4.11)
\[
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}
c_{1}, & x>0, \\
c_{2}>c_{1}, & x<0,
\end{array}\right.
\]

можно исследовать диффузию первоначальной ступеньки в стационарный профиль. Решению можно придать вид
\[
c=c_{1}+\frac{c_{2}-c_{1}}{1+h \exp \left\{\frac{c_{2}-c_{1}}{2 v}(x-U t)\right\}}, \quad U=\frac{c_{1}+c_{2}}{2},
\]

где
\[
h=\frac{\int_{j}^{\infty} e^{-\zeta^{2}} d \zeta}{\int_{\left(x-c_{1} t\right) / \sqrt{4 v t}}^{\infty} e^{-\zeta^{2}} d \zeta} .
\]

Для фиксированного $x / t$ из интервала $c_{1}<x / t<c_{2}$ величина $h \rightarrow 1$ при $t \rightarrow \infty$ и решение сходится к (4.23).