Рассмотрим одномерное (гидравлическое) описание течения по трубе с заданной площадью поперечного сечения $A(x)$. Даже в однородной трубе ударная волна может изменяться сложным образом вследствие взаимодействия с течением позади нее, как описано в задаче о поршне в § 6.8 и 6.11. Но мы заинтересованы в возможно более полном выделении эффектов, связанных с непостоянством величины $A(x)$, и фактически хотим рассмотреть самый простой вариант задачи о поршне. Точнее, мы хотим сформулировать задачу таким образом, чтобы в случае $A(x)=$ const ударная волна имела постоянную скорость. Для этого предшоложим, что
\[
A(x)=A_{0}=\text { const } \text { при } x<0
\]

и что ударная волна первоначально движется по этой части трубы с постоянным числом Маха $M_{0}$. Можно считать, что ударная волна образована порпнем, движущимся с подходящей постоянной скоростью далеко сзади в однородной части трубы. Поршень все еще создает напор, поддерживающий движение ударной волны, но это не приводит ни к каким изменениям; изменения полностью связаны с изменением площади поперечного сечения. Задача тогда состоит в том, чтобы найти зависимость числа Маха ударной волны от $A(x)$ при $x>0$.

Течение, строго говоря, не одномерно, но если площадь поперечного сечения меняется не слишком быстро, то уравнения,

получаемые усреднением по сечению трубы, будут давать хоропее приближение. Эти уравнения таковы:
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x}+\rho u \frac{A^{\prime}(x)}{A(x)} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{1}{\rho} p_{x} & =0, \\
p_{t}+u p_{x}-a^{2}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Изменение площади фигурирует только в уравнении неразрывности (8.1), а это уравнение немедленно следует из закона сохранения массы в виде
\[
(\rho A)_{t}+(\rho u A)_{x}=0 .
\]

Заметим, что для распространения волны внутрь клина с вершиной в точке $x_{0}$
\[
A(x) \propto\left(x_{0}-x\right), \quad \frac{A^{\prime}(x)}{A(x)}=\frac{-1}{x_{0}-x},
\]

а внутрь конуса
\[
A(x) \propto\left(x_{0}-x\right)^{2}, \quad \frac{A^{\prime}(x)}{A(x)}=\frac{-2}{\left(x_{0}-x\right)} .
\]

Если положить $r=\left(x_{0}-x\right)$ и придать противоположный знак скорости $u$ (чтобы она была направлена в сторону возрастания $r$ ),

Рис. 8.1. ( $x, t)$-диаграмма для ударной волны, входящей в неоднородную область. 1 – ударная волна.

то эти уравнения совпадут с уравнениями (6.132) – (6.134) для цилиндрических и сферических волн и в этом случае они будут точными. Последнее указывает, что истинный критерий справедливости одномерной формулировки фактически состоит в том,

что кривизна стенок в $x$-направлевии должна быть вопрос о случаях, когда эта теория точна, по-видимому, не был изучен до конца.

На рис. 8.1 приведена $(x, t)$-диаграмма рассматриваемой задачи, причем за начало отсчета времени $t$ взят момент, когда исходная ударная волна приходит в точку $x=0$. При $t<0$ течение состоит из однородных областей, разделенных движущейся ударной волной. Положим $u=0, p=p_{0}, \rho=\rho_{0}$ для невозмущенного состояния перед ударной волной и $u=u_{1}, p=p_{1}, \rho=\rho_{1}$ для исходного однородного состояния за ней. Величины $u_{1}, p_{1}, \rho_{1}$ выражаются через $p_{0}, \rho_{0}, M_{0}$ при помощи условий на разрыве. Когда ударная волна достигает точки $x=0$, возмущения этого состояния распространяются по траекториям частиц $P$ и отрицательным характеристикам $C_{-}$. Кривые $C_{-}$могут иметь положительные или отрицательные наклоны в зависимости от того, какое из неравенств ( $u_{1}>a_{1}$ или $u_{1}<a_{1}$ ) выполняется; последний случай изображен на рис. 8.1. Задача состоит в том, чтобы из уравнений (8.1)-(8.3) определить эти возмущения, а также изменения положения ударной волны и ее интенсивности. Условия на разрыве имеют вид
\[
\begin{array}{l}
u=a_{0} \frac{2}{\gamma+1}\left(M-\frac{1}{M}\right), \\
p=\rho_{0} a_{0}^{2}\left\{\frac{2}{\gamma+1} M^{2}-\frac{\gamma-1}{\gamma(\gamma+1)}\right\}, \\
\rho=\rho_{0} \frac{(\gamma+1) M^{2}}{(\gamma-1) M^{2}+2} ;
\end{array}
\]

кроме того, в случае необходимости можно использовать формулу для скорости звука: $a^{2}=\gamma p / \rho$.
Случай малых возмущений
В одномерной формулировке не требуется малости изменений самой функции $A(x)$, поскольку для достаточно больпих расстояний могут иметь место больпие изменения даже в том случае, когда производные от $A(x)$ будут оставаться малыми. Однако, в случае когда отклонение $A(x)$ от $A_{0}$ остается малым,
\[
\frac{A(x)-A_{0}}{A_{0}} \ll 1,
\]

можно предположить, что возмущения состояния $u_{1}, p_{1}, \rho_{1}$ ва ударной волной и изменение числа Маха ударной волны соответственно малы: Тогда можно искать решение задачи, используя его близость к решению для однородной трубы. Уравнения (8.1)(8.3) и условия на разрыве (8.7)-(8.9) линеаризуются около состояния $u_{1}, p_{1}, \rho_{1}$.\”Однако следует отметить, что величины

$p_{1}-p_{0}, \ldots$ не преднолагаются малыми; ударная волна может иметь произвольную интенсивность.
Линеаризованные уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u_{1} \rho_{x}+\rho_{1} u_{x}+\frac{\rho_{1} u_{1} A^{\prime}(x)}{A_{0}} & =0, \\
u_{t}+u_{1} u_{x}+\frac{1}{\rho_{1}} p_{x} & =0, \\
p_{t}+u_{1} p_{x}-a_{1}^{2}\left(\rho_{t}+u_{1} \rho_{x}\right) & =0 ;
\end{aligned}
\]

при этом для сокращения записи мы подразумеваем, что $\rho_{t}$ интерпретируется как $\left(\rho-\rho_{1}\right)_{t}, A^{\prime}(x)$ как $\left\{A(x)-A_{0}\right\}^{\prime}$ и т. д. Поскольку это линейные уравнения с постоянными коэффициентами, общее решение находится без труда, причем удобнее перейти к уравнениям в характеристической форме. Характеристические уравнения для (8.10) записываются так:
\[
\begin{array}{r}
C_{+}: \quad\left\{\frac{\partial}{\partial t}+\left(u_{1}+a_{1}\right) \frac{\partial}{\partial x}\right\}\left(p+\rho_{1} a_{1} u\right)+\rho_{1} a_{1}^{2} u_{1} \frac{A^{\prime}(x)}{A_{0}}=0, \\
C_{-}:\left\{\frac{\partial}{\partial t}+\left(u_{1}-a_{1}\right) \frac{\partial}{\partial x}\right\}\left(p-\rho_{1} a_{1} u\right)+\rho_{1} a_{1}^{2} u_{1} \frac{A^{\prime}(x)}{A_{0}}=0, \\
P:\left\{\frac{\partial}{\partial t}+u_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right\}\left(p-a_{1}^{2} \rho\right)=0 ;
\end{array}
\]

решив каждое из них по отдельности, получим
\[
\begin{aligned}
\left(p-p_{1}\right)+\rho_{1} a_{1}\left(u-u_{1}\right) & =-\frac{\rho_{1} a_{1}^{2} u_{1}}{u_{1}+a_{1}} \cdot \frac{A(x)-A_{0}}{A_{0}}+F\left\{x-\left(u_{1}+a_{1}\right) t\right\},(8.1) \\
\left(p-p_{1}\right)-\rho_{1} a_{1}\left(u-u_{1}\right) & =-\frac{\rho_{1} a_{1}^{2} u_{1}}{u_{1}-a_{1}} \cdot \frac{A(x)-A_{0}}{A_{0}}+G\left\{x-\left(u_{1}-a_{1}\right) t\right\},(8, \\
\left(p-p_{1}\right)-a_{1}^{2}\left(\rho-\rho_{1}\right) & =H\left(x-u_{1} t\right)
\end{aligned}
\]

где $F, G$ и $H$ – произвольные функции. Благодаря постоянству коэффициентов в линеаризованной форме мы смогли провести интегрирования для трех семейств характеристик в явном виде, причем характеристики были аппроксимированы прямыми $x-\left(u_{1} \pm a_{1}\right) t=$ const, $x-u_{1} t=$ const. Tpи произвольные функции определяются начальными условиями задачи и граничными условиями на ударной волне.

Первое и решающее условие состоит в том, что $F$ должна быть тождественно равна нулю. Это следует из того, что все характеристики $C_{+}$за ударной волной, т. е. прямые $x-\left(u_{1}+a_{1}\right) t<0$, начинаются в однородной области, где $u=u_{1}, p=p_{1}, \rho=\rho_{1}$, $A=A_{0}$ (см. рис. 8.1); отсюда, согласно (8.14), $F=0$. Именно на әтом паге исключаются возмущения, приходящие из области ва

ударной волной. Следует подчеркнуть, что в рамках принятого метода утверждение $F=0$ строго выводится ив формулировки начальных условий и не нуждается в интуитивном обосновании.

Две другие функции $G$ и $H$ отличны от нуля; они описывают возмущения на характеристиках $C_{\text {- и }}$ и траекториях частид $P$, изображенных на рис. 8.1. Эти кривые начинаются на возмущенной ударной волне, и mpex условий на разрыве достаточно для определения $G, H$ и изменения числа Маха (по которому можно найти и изменение положения ударной волны). Функции $G$ и $H$ представляют второстепенный интерес. Основной нужный нам результат – изменение числа Маха, и его можно найти, не затрагивая $G$ и $H$. Условия на разрыве выражают возмущения $p-p_{1}$, $u$ – $u_{1}$ на ударной волне через изменение числа Маха $M-M_{0}$. В силу (8.7) и (8.8), имеем
\[
\begin{array}{l}
p-p_{1}=\frac{4 \rho_{0} a_{0}^{2}}{\gamma+1} M_{0}\left(M-M_{0}\right), \\
u-u_{1}=\frac{2}{\gamma+1} a_{0}\left(1+\frac{1}{M_{0}^{2}}\right)\left(M-M_{0}\right) .
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в формулу (8.14) с $F=0$, получим
\[
\left\{\frac{4}{\gamma+1} M_{0}+\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{1}{M_{0}^{2}}\right) \frac{\rho_{1} a_{1}}{\rho_{0} a_{0}}\right\}\left(M-M_{0}\right)=-\frac{\rho_{1} a_{1}^{2}}{\rho_{0} a_{0}^{2}} \frac{u_{1}}{u_{1}+a_{1}} \frac{A-A_{0}}{A_{0}} .
\]

Выражения для $u_{1}, \rho_{1}, a_{1}$ через $M_{0}$ находим из условий (8.7)-(8.9) с $M=M_{0}$. Тогда после некоторых алгебраических преобразований равенство (8.18) записывается в виде
\[
\frac{A-A_{0}}{A_{0}}=-g\left(M_{0}\right)\left(M-M_{0}\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
g(M) & =\frac{M}{M^{2}-1}\left(1+\frac{2}{\gamma+1} \frac{1-\mu^{2}}{\mu}\right)\left(1+2 \mu+\frac{1}{M^{2}}\right), \\
\mu^{2} & =\frac{(\gamma-1) M^{2}+2}{2 \gamma M^{2}-(\gamma-1)} .
\end{aligned}
\]

Величина $\mu$ фактически является числом Маха ударной волны относительно течения за ней.

При необходимости выражения для $G$ и $H$ можно найти, рассмотрев соотношения (8.15) и (8.16) на ударной волне; в теории малых возмущений корректно при этом принять, что условия (8.7)-(8.9) удовлетворяются на фронте невозмущенной ударной волны $x=a_{0} M_{0} t$, поскольку отибки будут малыми второго порядка. Детали можно найти в статье Честера [1], где впервые были получены эти результаты.

Интересно, что в равенстве (8.15) член, содержащий $A(x)$, меняет знак при $u_{1}=a_{1}$ и приводит к особенности при $u_{1}=a_{1}$. Тем не менее в равенстве (8.19) не обнаруживается ни изменения знака, ни какой-либо особенности. Фридман [1] исследовал случай $u_{1}=$ $=a_{1}$, который соответствует в точности звуковому течению за ударной волной. Он показал, что для того, чтобы получить регулярное решение, в возмущения на характеристике $C_{\text {- следует }}$ включить малые нелинейные эффекты, но при этом равенство (8.19) не изменится.

Прежде чем;подробно обсуждать соотношение (8.19), перейдем к важному обобщению.
Конечные изменения площади; правило характеристик
Пусть площадь $A(x)$ сечөния трубы меняется медленно, но труба настолько длинна, что прп этом накапливаются больпие изменения этой площади; тогда трубу можно рассматривать как последовательность коротких отрезков, на каждом из которых изменение $A$ мало. На каждом таком отрезке трубы можно провести линеаризацию около локальных условий и применить теорию малых возмущений, как в (8.14)-(8.16). Но, строго говоря, уже нельзя полагать $F=0$, поскольку условия на входе каждого из этих отрезков уже не будут отвечать однородному состоянию.

После ряда последовательных шагов соответствующие ошибки могут накапливаться. Однако если этим пренебречь, то равенство (8.19) будет применимо к каждому отрезку с $A_{0}$ и $M_{0}$, равными площади и числу Маха на входе в рассматриваемый отрезок трубы. Но тогда теория чрезвычайно проста. Фактически мы утверждаем, что (8.19) представляет собой дифференциальную форму функционального соотношения $M=M(A)$ :
\[
\frac{1}{A} \frac{d A}{d M}=-g(M),
\]

и вообще нет необходимости проводить разбиение на малые отрезки! Далее, само соотношение (8.19) всего лишь результат подстановки условий на разрыве в характеристическое соотношение на характеристиках $C_{+}$. Таким образом, весь вывод можно сформулировать в виде следующего правила характеристик:

Выписать точное нелинейное дифференциальное соотношение для характеристик $C_{+}$. Вместо $p, \rho$, , а а подставить их выражения через $M$ из условий на разрыве. Полученное дифференциальное уравнение определяет зависимость $M$ от $x$.

Хотя мы уже имеем все необходимые результаты, выполним эти предписания, чтобы продемонстрировать их простоту. Основные уравнения, описывающие данную задачу, – это уравнения

(8.1) – (8.3). Уравнение вдоль характеристик $C_{+}$имеет вид
\[
\frac{d p}{d x}+\rho a \frac{d u}{d x}+\frac{\rho a^{2} u}{u+a} \frac{1}{A} \frac{d A}{d x}=0 .
\]

Условия на разрыве определяются равенствами (8.7)-(8.9). Подставив их, получим
\[
g(M) \frac{d M}{d x}+\frac{1}{A} \frac{d A}{d x}=0
\]

где функция $g(M)$ задана формулой (8.20). Уравнение (8.24) удобнее переписать в виде
\[
\frac{M}{M^{2}-1} \lambda(M) \frac{d M}{d x}+\frac{1}{A} \frac{d A}{d x}=0,
\]

где
\[
\begin{aligned}
\lambda(M) & =\left(1+\frac{2}{\gamma+1} \frac{1-\mu^{2}}{\mu}\right)\left(1+2 \mu+\frac{1}{M^{2}}\right), \\
\mu^{2} & =\frac{(\gamma-1) M^{2}+2}{2 \gamma M^{2}-(\gamma-1)} .
\end{aligned}
\]

Причина такого выбора состоит в том, что $\lambda(M)$ очень слабо зависит от числа Маха. Предельные значения равны
\[
\begin{array}{c}
M \rightarrow 1, \quad \lambda \rightarrow 4, \\
M \rightarrow \infty, \lambda \rightarrow n=1+\frac{2}{\gamma}+\sqrt{\frac{2 \gamma}{\gamma-1}}=5,0743 \text { для } \gamma=1,4 .
\end{array}
\]

Формула (8.25) впервые ₹была получена Чизнеллом [2] при помощи другого подхода. Функция $A(x)$ апроксимировалась последовательностью разрывных ступенек, и решение строилось с помощью анализа әлементарного взаимодействия ударной волны с каждым из разрывов. При каждом взаимодействии ударная волна проходит ступеньку с измененной интенсивностью и возмущения отражаются (возмущения на кривых $C_{-}$и $P$ в напем подходе). Но отраженные возмущения повторно отражаются, когда они достигают предыдущих ступенек; эти повторно отраженные волны накладываются на ударную волну и дают вклад в последующие взаимодействия. Если пренебречь всеми повторно отраженными волнами, то получится уравнение (8.25).

Чизнелл проанализировал эффект всех один раз повторно отраженных возмущений и обнаружил, что их суммарный вклад в уравнение (8.25) гораздо меньше, чем вклады, вносимое отдельными возмущениями. Еще до этого Мёкель [1] применил аналогичные идеи к стационарным косым ударным волнам в неоднородном сверхзвуковом потоке. Неоднородный поток заменялся слоями, разделенными поверхностями разрыва; в каждом слое параметры течения были постоянными. Решение строилось по элементарным взаимодействиям на разделяющих слои поверхностях.

Хотя подход Мёкеля – Чизнелла в принципе содержит возможность последовательного улучшения путем учета многократно отраженных волн все более высокой кратности, не представляется целесообразным идти далее учета один раз повторно отраженных волн. Трудно также оценить степень приближения, с которым были решены уравнения (8.1)-(8.3). Однако сравнительно малые изменения, вносимые один раз повторно отраженными волнами, указывают, что соотношение (8.25) может оказаться неожиданно хорощим. Это, как мы увидим ниже, действительно имеет место.

Когда быстрый вывод соотнопения (8.25) из правила характеристик пришел мне на ум, я надеялся, что и полный анализ этого приближения можно будет провести на основе уравнений (8.1)(8.3). До сих пор это не сделано! Для того чтобы показать, в чем здесь трудность, заметим, что характеристическое уравнение (8.23) можно записать так:
\[
\frac{p_{t}}{u+a}+p_{x}+\rho a\left(\frac{u_{t}}{u+a}+u_{x}\right)+\frac{\rho a^{2} u}{u+a} \frac{A^{\prime}(x)}{A(x)}=0 .
\]

Это точное уравнение, справедливое во всем течении, поскольку оно является просто комбинацией основных уравнений (8.1)(8.3). Если к ударной волне, движущейся со скоростью $U$, применить равенство (8.23), то можно утверждать, что соотношение
\[
\frac{p_{t}}{U}+p_{x}+\rho a\left(\frac{u_{t}}{U}+u_{x}\right)+\frac{\rho a^{2} u}{u+a} \frac{A^{\prime}(x)}{A(x)}=0
\]

будет хорошим приближением на ударной волне. Объединяя уравнения (8.30) и (8.31), видим, что это приближение основано на предположении об относительной малости выражения
\[
\left(\frac{1}{U}-\frac{1}{u+a}\right)\left(p_{t}+\rho a u_{t}\right)
\]

на ударной волне, т. е. о малости этого выражения по сравнению с $p_{t} / U$. Малость первого сомножителя будет соответствовать предположению, что характеристика $C_{+}$на рис. 8.1 лежит достаточно близко к ударной волне, так что мы всего лишь переносим соотношение, справедливое на $C_{+}$, на ударную волну. Однако, хотя величина $(u+a-U) / U$ равна нулю при $M=1$, она стремится к 0,274 (для $\gamma=1,4$ ) при $M \rightarrow \infty$. Результаты, полученные при помощи правила характеристик, иногда оказываются в сотню раз точнее! В случае цилиндрического или сферического сходящегося взрыва (см. ниже) относительная ошибка составляет около 0,003 . Таким образом, хотя первый сомножитель может мало способствовать точности, правило работдет хорошо, поскольку величина
\[
\frac{p_{t}+\rho a u_{t}}{p_{t}}
\]

чрезвычайно мала на ударной волне. Хотя в исходной статье (Уизем [7]) были приведены дальнейшие доводы, вполне удовлетворительного объяснения этого факта не было найдено. Конечно, мы знаем, что этот результат верен в теории малых возмущений, и при помощи уравнения (8.14) с\” $F=0$ можем проверить, что
\[
p_{t}+\rho_{1} a_{1} u_{t}=0
\]

в этой теории.
Точность уравнения (8.25), лишь частично обоснованная случаем малых возмущений и анализом Мёкеля – Чизнелла, была подтверждена сравнением с известными решениями. Прежде всего для слабых ударных волн $M \simeq 1$ и $\lambda \simeq 4$, откуда
\[
M-1 \propto A^{-1 / 2} \text {. }
\]

Это согласуется с результатами геометрической акустики для слабых импульсов, когда $M-1$ пропорционально импульсу. Далее, уравнение (8.25) можно применить к сходящимся цилиндрическим или сферическим ударным волнам, положив $A$ \& $x_{0}$ $-x$ или $\left(x_{0}-x\right)^{2}$ соответственно, и сравнить полученные результаты с точными автомодельными решениями Гудерлея, описанными в $\S 6.16$. Для бесконечно сильных ударных волн $\lambda$ стремится к значению $n$, определяемому соотношением (8.29), и уравнение (8.25) принимает вид
\[
\frac{n}{M} \frac{d M}{d x}+\frac{1}{A} \frac{d A}{d x}=0, \quad M \propto A^{-1 / n} .
\]

Следовательно, правило характеристик дает
$M \propto r^{-1 / n}$ для цилиндрических ударных волн, $M \sim r^{-2 / n}$ для сферических ударных волн.

Сравнение с показателями точных автомодельных решений проведено в табл. 8.1. Точность удивительная, учитывая простоту приближенной теории. Кроме всего прочего, она показывает, что сходящиеся ударные волны реагируют прежде всего на изменяю-
Таблица 8.1

щуюся геометрию, как и предполагается в приближенной теории, а дальнейшие возмущения от источника влияют на них очень мало; интенсивность исходной ударной волны входит только в коэффициент пропорциональности в соотношениях (8.36). Это не имеет места для расходящихся ударных волн. Они будут замедляться за счет расширения, и продолжающееся взаимодействие с течением на большом расстоянии позади будет играть важную роль; рассматриваемая приближенная теория не годится для таких задач.

Другой интересный момент состоит в том, что, согласно приближенной теории, показатель для сферического случая в точности равен удвоенному показателю для цилиндрического случая. Такое равенство неверно, однако, для точного автомодельного решения, хотя отклонения от него чрезвычайно малы.

C упомянутым выше частичным обоснованием и этими независимыми проверками мы заключаем, что в задачах такого типа правило характеристик дает хорошее простое приближение и его можно уверенно использовать для тирокого круга задач.

Для произвольного $M$ решение уравнения (8.25) можно записать так:
\[
\frac{A}{A_{0}}=\frac{f(M)}{f\left(M_{0}\right)}, \quad f(M)=\exp \left\{-\int \frac{M \lambda(M)}{M^{2}-1} d M\right\} .
\]

В частности, эту формулу можно использовать для распространения результатов для сходящихся цилиндрических и сферических ударных волн и включить в рассмотрение ударные волны умеренной интенсивности. Конечно, при приближении к центру $A \rightarrow 0$ и $M \rightarrow \infty$. Значения функции $f(M)$ для $\gamma=1,4$ будут приведены в табл. 8.3 (см. стр. 278).

В следующем параграфе правило характеристик используется для задачи об ударной волне, распространяющейся в слое с неоднородной плотностью; дальнейшие же примеры можно найти в исходной работе (Уизем [7]). Это правило будет также основой для геометрического подхода к двух- и трехмерным задачам о распространении ударных волн в § 8.3.