Геометрические эффекты в простейшей форме возникают при рассмотрении сферических волн. Если линеаризованная теория описывается волновым уравнением, то решение для расходящейся сферической волны имеет вид ${ }^{1}$ )
\[
\varphi=\frac{f\left(t-r / c_{0}\right)}{r},
\]
1) В § 7.3 для радиальных расстояний в сферической и циливдрической геометрии было удобнее использовать различные обозначения, а именно $R$ и $r$, поскольку решение для точечного источника использовалось для построения решения для линейного источника. В этом больше нет необходимости, и мы используем обозначение $r$ в обоих случаях.

где $c_{0}$ – скорость распространения возмущения. Амплитуда затухает как $1 / r$, в то время как площадь поверхности, через которую распространяется энергия, растет как $r^{2}$. Волновой профиль уменьшается за счет множителя $1 / r$, но в остальном не изменяется. Если этот результат является линеаризованным решением соответствующей нелинейной задачи, то, как мы знаем, нелинейное искажение профиля является определяющим при правильном описании опрокидывания волны и распространения ударной волны. Предположим, что истинная нелинейная скорость распространения возмущения, определяемая из характеристических уравнений, равна $c(\varphi)$ (линеаризованная скорость $c_{0}$ равна ее значению при $\varphi=0$ ). Тогда можно ввести нелинейное искажение, модифицировав (9.1) следующим образом:
\[
\varphi=\frac{f(\tau)}{r},
\]

где $\tau(t, r)$ выбирается так, чтобы на кривых $\tau=$ const выполнялось точное характеристическое соотношение, т. е. мы требуем, чтобы
\[
\frac{a r}{d t}=c(\varphi) \quad \text { при } \tau=\mathrm{const} . \quad \text { – }
\]

Поскольку $\varphi$ определена как функция от $\tau$ и $r$, эти соотношения дают дифференциальное уравнение для $\tau$, которое легко проинтегрировать, поменяв ролями $r$ и $t$. Мы имеем
\[
\frac{d t}{d r}=\frac{1}{c\{f(\tau) / r\}} \quad \text { при } \tau=\mathrm{const} ;
\]

отсюда
\[
t=\int \frac{1}{c\{f(\tau) / r\}} d r+T(\tau),
\]

где интегрирование проводится при постоянном значении $\tau$, а $T^{\prime}(\tau)$ – произвольная функция, которая появляется при интегрировании по $r$. Уравнение (9.5) определяет $\tau(t, r)$ и вместе с соотнопением (9.2) дает нелинейную модификацию репения. Этот метод введения нелинейности впервые был предложен Јандау [1], а затем независимо автором в связи с задачей о (звуковом ударе (Уизем [1-3]).

Функция $T(\tau)$ связана с произволом в выборе характеристической переменной. Как только $T(\tau)$ выбрана, $f(\tau)$ определяется из соответствующих граничных условий на источнике. Различные способы выбора $T(\tau)$ компенсируются выбором $f(\tau)$. В общей теории ради простоты можно положить $T(\tau)=\tau$, но в конкретных задачах иногда полезна дополнительная свобода выбора. Следует отметить, что функции $f$ в линейном решении (9.1) и в нелинейном варианте (9.2) будут совпадать лишь в том случае,

когда $T(\tau)$ выбрана так, что $\tau=t-r / c_{0}$ (с достаточной точностью) там, где накладываются граничные условия.

Конечно, эта нелинейная модификация решения обычно не удовтетворяет заданным нелинейным уравнениям точно, да пока она еще и не обоснована даже как формальное приближение. Однако чувствуется, что она улавливает важные нелинейные эффекты для малых $\varphi$. В более простом случае, рассмотренном в $\$ 2.10$, а также в случае плоских волн, мы видели, что линеаризация характеристик была источником неравномерности аппроксимации. Нелинейность вносит искажения и в амплитудный множитель $1 / r$, но можно ожидать, что эта вторая модификация будет равномерно малой по $\varphi$. Сформулированная точка зрения будет подтверждена впоследствии, когда мы приступим к более тщательному оправданию этого метода. Для того чтобы увидеть полностью его возможности, мы сначала обсудим дальнейшие следствия и обобщения.

Поскольку для сферических волн решение $\varphi$ имеет особенно простой вид, интеграл в (9.5) поддается изучению и упрощается заменой переменной интегрирования на $f(\tau) / r$. В других задачах, однако, соответствующие выражения менее удобны и полезно наметить общую схему анализа. Используя в качестве отправного пункта линеаризованное решение, мы уже предположили, что $\varphi$ мало, и поэтому корректно заменить $c(\varphi)$, скажем на $c_{0}+c_{1} \varphi+$ $+O\left(\varphi^{2}\right)$ и использовать (9.3) в приближенном виде
\[
\frac{d t}{d r}=\frac{1}{c_{0}}-\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} \varphi .
\]

Разложение по степеням $\varphi$ проводится для $d t / d r$, а не для $d r / d t$, ввиду последующего интегрирования по $r$. Тогда (9.4) принимает вид
\[
\frac{d t}{d r}=\frac{1}{c_{0}}-\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} \frac{f(\tau)}{r} \quad \text { при } \tau=\text { const },
\]

а характеристиками становятся кривые
\[
t=\frac{r}{c_{0}}-\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} f(\tau) \ln r+T(\tau) .
\]

В линейной теории мы положили бы характеристическую переменную $\tau$ равной $t-r / c_{0}$ или функции от этой разности. Мы видим, что такая линейная аппроксимация неравномерна, поскольку дополнительный член стремится к бесконечности при $r \rightarrow \infty$. Член c $\ln r$ мал по сравнению с $r$, но его следует сравнивать скорее с выражением $c_{0} t-r$, характеризующим расстояние от переднего фронта волны. Предположение, что поправка к скорости распространения будет определяющей, подтверждается, и возникает аналогия с ситуацией, рассмотренной в § 2.10.

Замена уравнения (9.4) приближенным выражением (9.6) – не только упрощение. В большинстве задач оказывается действитель-

но бесмысленным сохранять члены высшего порядка по $\varphi$, поскольку само выражение (9.2) верно только с точностью до членов второго порядка по $\varphi$.

Сингулярное поведение $\ln r$ при $r \rightarrow 0$ не вносит каких-либо особых неудобств, поскольку поправочный член несуществен вблизи начала координат, где можно вернуться к линейной теории. Однако, чтобы использовать выражение (9.8), как оно есть, следует исключить начало координат и применять это решение вне некоторой сферы $r=r_{0}(t)$, на которой заданы граничные условия. (Например, источник жидкости можно представить в виде расширяющейся сферы, раздвигающей жидкость.) Тогда $T(\tau)$ можно выбрать так, чтобы уравнение (9.8) имело вид
\[
t=\frac{r}{c_{0}}-\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} f(\tau) \ln \frac{r}{r_{0}(\tau)}+\tau .
\]

При таком выборе нелинейная характеристическая переменная $\tau$ совшадает с $t-r / c_{0}$ на граничной поверхности и функция $f$ будет такой же, как и в линейной теории.

Волны, описываемье формулами (9.2) и (9.8), будут опрокидываться, как только появится огибающая характеристик и решение станет многозначным. Если $c_{1}>0$, то волна, несущая возрастание $\varphi$, опрокинется. Например, для $T^{\prime}(\tau)>0$ это означает, что опрокидывание происходит, когда $f^{\prime}(\tau)>0$. На огибающей
\[
\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} f^{\prime}(\tau) \ln r-T^{\prime}(\tau)=0 .
\]

Для волны, определяемой соотношением (9.9), опрокидывание впервые произойдет на расстоянии, равном
\[
\ln \frac{r}{r_{0}\left(\tau_{m}\right)} \approx \frac{c_{0}^{2}}{c_{1} f^{\prime}\left(\tau_{m}\right)},
\]

где $\tau_{m}$ – точка максимума для $f^{\prime}(\tau)$. Затем следует ввести ударную волну. Метод введения ударной волны будет следовать известной нам схеме, и мы пока отложим его рассмотрение.

Рассмотрим теперь обобщения этого метода. Прежде всего линейные решения могут быть не такими простыми, как (9.1). Например, в случае цилиндрических волн решение (7.29) имеет вид
\[
\varphi=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{t-r / c_{0}} \frac{q(\eta) d \eta}{\sqrt{(t-\eta)^{2}-r^{2} / c_{0}^{2}}} .
\]

Характеристическая переменная $t-r / c_{0}$ ясно видна в верхнем пределе, но как $t$, так и $r$ входят также и в подынтегральное выражение. Однако результаты для плоских и сферических волн свидетельствуют о том, что нелинейные , эффекты становятся важными на больших расстояниях, а на больших расстояниях,

согласно (7.32),
\[
\varphi \sim \frac{f\left(t-r / c_{0}\right)}{r^{1 / 2}} .
\]

Следовательно, на больпих расстояниях нелинейность можно ввести почти также, как и в сферическом случае. Если истинная скорость распространения составляет $c(\varphi)=c_{0}+c_{1} \varphi+O\left(\varphi^{2}\right)$, то положим
\[
\begin{array}{c}
\varphi=\frac{f(\tau)}{r^{1 / 2}}, \\
\frac{d t}{d r}=\frac{1}{c_{0}}-\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} \frac{f(\tau)}{r^{1 / 2}}, \\
t=\frac{r}{c_{0}}-\frac{2 c_{1}}{c_{0}^{2}} f(\tau) r^{1 / 2}+\tau .
\end{array}
\]

Здесь функция $T(\tau)$, получающаяся при интегрировании по $r$, положена равной $\tau$; поправочный член остается малым при $r \rightarrow 0$, и нет необходимости в более тщательном выборе $T(\tau)$. Снова линейная теория, в которой $\tau=t-r / c_{0}$, приводит к неравномерной аппроксимации при $r \rightarrow \infty$. Далее, хотя до сих пор основное внимание уделялось поведению на больших расстояниях, отклонение характеристики от прямолинейной зависит от
\[
\frac{f(\tau) r^{1 / 2}}{t-r / c_{0}}
\]

а это отношение велико как при больших $r$, так и вблизи $t-r / c_{0}=$ $=0$. Таким образом, нелинейные поправки будут одинаково важными и вблизи волнового фронта $t-r / c_{0}=0$ на всех расстояниях. Существенно, что выражение (9.12) справедливо при ( $\left.c_{0} t-r\right) / r \ll$ $\ll 1$, так что оно охватывает оба случая. Соответствующая нелинейная модификация решения, определяемая равенствами (9.13) и (9.14), также применима вблизи фронта волны для всех $r$. Это имеет решающее значение, поскольку в наиболее интересных задачах на переднем фронте имеется ударная волна и нелинейную модификацию решения, выведенную из (9.13), можно использовать для ее изучения в целом.

Можно построить нелинейную модификацию полного решения, положив
\[
\varphi=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} \frac{q(\eta) d \eta}{\sqrt{(\tau-\eta)\left(\tau-\eta+2 r / c_{c}\right)}},
\]

и определить отсюда нелинейную характеристическую переменную $\tau$. В этой более полной форме характеристическое уравнение, соответствующее (9.14), становится чрезвычайно сложным, однако дополнительные члены остаются малыми по сравнению

c $f(\tau) r^{1 / 2}$. Следовательно, для получения нелинейной модификации решения во всей области достаточно взять комбинацию выражений (9.16) и (9.14). Во всяком случае, нелинейная модификация играет первостепенную роль в области $c_{0} \tau / r \ll 1$, где (9.16) можно аппроксимировать выражением (9.13), в котором
\[
f(\tau)=-\frac{1}{2 \pi}\left(\frac{c_{0}}{2}\right)^{1 / 2} \int_{0}^{\tau} \frac{g(\eta) d \eta}{V \overline{\tau-\eta}} .
\]

Следует отметить, однако, что надлежащие граничные условия обычно задаются вне области $c_{0} \tau / r \ll 1$, так что либо (9.16), либо полное линейное решение, к которому оно сводится, необходимо для определения функции $f(\tau)$, фигурирующей в равенствах (9.13) и (9.14).

Решающая роль геометрической оптики теперь становится очевидной, поскольку (9.12) представляет собой приближение геометрической оптики для цилиндрических волн. В общем случае геометрическая оптика дает геометрию лучей и (для однородной среды) мы имеем
\[
\varphi \simeq \Phi(s) f\left(t-\frac{s}{c_{0}}\right),
\]

вдоль каждого луча, где $s$ – расстояние по лучу, Ф (s) – амплитуда, $f\left(t-s / c_{0}\right)$ описывает профиль волны. Это естественная форма нелинейной модификации и она применима как раз там, где нелинейные әффекты наиболее важны – вблизи фронта волны и на больших расстояниях. Для нелинейной модификации следует положить
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\Phi(s) f(\tau), \\
t=\frac{s}{c_{0}}-\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} f(\tau) \int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}+T(\tau) .
\end{array}
\]

Объединив результаты для всех лучей, получим нелинейную модификацию полного решения. Следует отметить, что $c$ ( $\varphi$ ) означает здесь скорость вдоль луча, что не совпадает с нормальной скоростью волнового фронта для анизотропной среды. Для неоднородной среды $c$ и $c_{0}$ могут также зависеть от $s$. В этом случае $s / c_{0}$ заменяется на $\int d s / c_{0}$, и если величина $c_{1} / c_{0}^{2}$ зависит от $s$, то в формуле (9.18) ее следует внести под знак интеграла.

Теперь уместно сравнить данный метод с методом, развитым в предыдущей главе. Грубо говоря, для тех задач $f(\tau)$ была функцией типа ступеньки, так что нелинейное взаимодействие было умеренным и можно было учесть сильные нелинейные әффекты, изменяющие геометрию лучей. Здесь геометрия лучей и ее влияние

на амплитуду $\Phi(s)$ принимаются из линейной теории без изменения, но допускаются более общие профили $f(\tau)$. Можно предположить, что в еще более общих задачах может понадобиться комбинация обоих подходов, но такой анализ выглядит устрапающе.

Второе обобщение рассматриваемого метода связано с тем, что часто нелинейная скорость распространения зависит от производных $\varphi_{t}$ и $\varphi_{s}$, а не от самой функции $\varphi$. Однако при этом процедура меняется мало. Выражения для $\varphi_{t}$ и $\varphi_{s}$ выписываются в виде, аналогичном выражению (9.17), и исправленные характеристики определяются из соответствующего разложения
\[
\frac{d t}{d s}=\frac{1}{c}=\frac{1}{c_{0}}-\alpha_{1} \varphi_{t}-\alpha_{2} \varphi_{s} \quad \text { при } \quad \tau=\text { const. }
\]

В силу (9.17), соответствующие первые члены для $\varphi_{t}$ и $\varphi_{s}$ равны
\[
\varphi_{t}=\Phi(s) f^{\prime}(\tau), \quad \varphi_{s}=-\frac{1}{c_{0}} \Phi(s) f^{\prime}(\tau),
\]

и характеристическое соотношение принимает вид
\[
\frac{\partial t}{\partial s}=\frac{1}{c_{0}}-k f^{\prime}(\tau) \Phi(s), \quad k=\alpha_{1}-\alpha_{2} c_{0}^{-1} .
\]

Характеристики определяются из уравнөния
\[
t=\frac{s}{c_{0}}-k f^{\prime}(\tau) \int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}+T(\tau) .
\]

Типичный пример подобной ситуации связан со сферическими волнами в газовой динамике. Линейная теория – это акустика, и $\varphi_{t}, \varphi_{r}$ соответствуют возмущениям давления и скорости. Из (7.3) и (7.4) имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{p-p_{0}}{p_{0}} & =-\frac{\gamma}{a_{0}^{2}} \varphi_{t}=\frac{\gamma F\left(t-r / a_{0}\right)}{r}, \\
\frac{u}{a_{0}} & =\frac{1}{a_{0}} \varphi_{r}=\frac{F\left(t-r / a_{0}\right)}{r}-\frac{f\left(t-r / a_{0}\right)}{a_{0} r^{2}},
\end{aligned}
\]

где $F(\tau)=-f^{\prime}(\tau) / a_{0}^{2}$. Нам потребуется также возмущение скорости звука $a$, которое определяется равенствами
\[
\frac{a-a_{0}}{a_{0}}=\frac{\gamma-1}{2 \gamma} \frac{p-p_{0}}{p_{0}}=\frac{\gamma-1}{2} \frac{F\left(t-r / a_{0}\right)}{r} .
\]

Нелинейная модификация решения имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{p-p_{0}}{p_{0}}=\frac{\gamma F(\tau)}{r}, \quad \frac{a-a_{0}}{a_{0}}=\frac{\gamma-1}{2} \frac{F(\tau)}{r}, \\
\frac{u}{a_{0}}=\frac{F(\tau)}{r}-\frac{f(\tau)}{a_{0} r^{2}},
\end{array}
\]

где $\tau(t, r)$ следует определять по исправленным характеристикам. Точные характеристические уравнения были приведены выше (см. уравнения (6.135)). Выходящие характеристики имеют скорость $a+u$. Следовательно, для поправки первого порядка к характеристикам имеем
\[
\frac{d t}{d r}=\frac{1}{a+u} \simeq \frac{1}{a_{0}}-\frac{a+u-a_{0}}{a_{0}^{2}} .
\]

Согласно (9.20) и (9.21), это означает, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d t}{d r} & =\frac{1}{a_{0}}-\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} \frac{F(\tau)}{r}+\frac{1}{a_{0}^{2}} \frac{f(\tau)}{r^{2}}, \\
t & =\frac{r}{a_{0}}-\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} F(\tau) \ln r-\frac{1}{a_{0}^{2}} \frac{f(\tau)}{r}+T(\tau) .
\end{aligned}
\]
(Соотношение между $F(\tau)$ и $f(\tau)$ принимает вид $f^{\prime}(\tau)=$. $=-a_{0}^{2} F(\tau) T^{\prime}(\tau)$, если $T^{\prime}(\tau)
eq 1$.) Поскольку нас интересует область $a_{0} \tau / r \ll 1$, а в этой области член $f(\tau) / r$ всегда сравнительно мал, достаточно положить
\[
\begin{array}{c}
\frac{p-p_{0}}{p_{0}}=\frac{\gamma F(\tau)}{r}, \quad \frac{a-a_{0}}{a_{0}}=\frac{\gamma-1}{2} \frac{F(\tau)}{r}, \quad u=\frac{F(\tau)}{r}, \\
t=\frac{r}{a_{0}}-\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} F(\tau)^{\prime} \ln r+T(\tau) .
\end{array}
\]

Это довольно тривиальный пример, в котором сохраняется лишь приближение геометрической акустики к (9.21) и (9.23). Цилиндрические и другие волны в газовой динамике рассматриваются аналогично, и приближение геометрической акустики дает существенное упрощение, подобное переходу от (9.11) к (9.12).

Если в выражение для $c$ входят производные, то их удобнее считать новыми зависимыми переменными. Тогда во всех случаях приближение геометрической оптики приводит к выражениям для этих зависимых переменных, пропорциональным
\[
\Phi(s) F(\tau)
\]

где Ф $(s)$ – амплитудная функция, а $F(\tau)$ описывает профиль волны. Уточненная скорость распространения в этом приближении равна
\[
c \simeq c_{0}+c_{0}^{2} k \Phi(s) F(\tau),
\]

где коэффициент $k$ – постоянная, определяемая конкретной связью между $c$ и зависимыми переменными. Исправленные характеристики удовлетворяют уравнению
\[
\frac{\partial t}{\partial s}=\frac{1}{c_{0}}-k \Phi(s) F(\tau)
\]

и имеют вид
\[
t=\frac{s}{c_{0}}-k F(\tau) \int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}+T(\tau)
\]

Построение разрывов
Ударные волны в случае необходимости вводятся с помощью условия на слабом разрыве
\[
U=\frac{1}{2}\left(c_{1}+c_{2}\right)
\]

где $U$ – скорость ударной волны, а $c_{1}$ и $c_{2}$ здесь означают скорости распространения возмущения на двух сторонах разрыва. В данном случае удобно рассматривать кривые в $(s, t)$-длоскости, считая $t$ функцией от $s$, так что условие на разрыве принимается в виде
\[
\left(\frac{d t}{d s}\right)_{\text {уд. в }}=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{d t}{d s}\right)_{C_{1}}+\left(\frac{d t}{d s}\right)_{C_{2}}\right\},
\]

әквивалентном предыдущему с точностью до членов второго порядка относительно отклонений скоростей от $c_{0}$. Если ударная волна описывается уравнением

то имеем
\[
t=\frac{s}{c_{0}}-G(s)
\]
\[
\begin{array}{l}
G^{\prime}(s)=\frac{1}{2} k\left\{F\left(\tau_{1}\right)+F\left(\tau_{2}\right)\right\} \Phi(s), \\
G(s)=k F\left(\tau_{1}\right) \int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}-T\left(\tau_{1}\right), \\
G(s)=k F\left(\tau_{2}\right) \int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}-T\left(\tau_{2}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом получается типичное соотношение «равных площадей»
\[
\frac{1}{2}\left\{F\left(\tau_{1}\right)+F\left(\tau_{2}\right)\right\}\left\{T\left(\tau_{2}\right)-T\left(\tau_{1}\right)\right\}=\int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} F(\tau) d T(\tau) .
\]

Положение передней ударной волны, движущейся в невозмущенную область, определяется уравнением (9.27), где $\tau$ связано $c s$ соотношением
\[
\frac{1}{2} k F^{2}(\tau) \int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}=\int_{0}^{\tau} F\left(\tau^{\prime}\right) d T\left(\tau^{\prime}\right) .
\]

При $s \rightarrow \infty$ уравнение ударной волны асимптотически переходит в уравнение
\[
t=\frac{s}{c_{0}}-K\left\{\int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right\}^{1 / 2}+T\left(\tau_{0}\right),
\]

где
\[
K=\left\{2 k \int_{0}^{\tau_{0}} F(\tau) d T(\tau)\right\}^{1 / 2}, \quad F\left(\tau_{0}\right)=0 .
\]

На ударной волне параметры течения пропорциональны
\[
K \Phi(s)\left\{\int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right\}^{-1 / 2} .
\]

Типичная асимптотическая форма волны – это $N$-волна с уравновешенными ударными волнами, в области между которыми происходит линейное убывание по времени, пропорциональное
\[
\Phi(s)\left\{\int_{0}^{s} \Phi\left(s^{\prime}\right) d s^{t}\right\}^{-1} .
\]

Для сферических волн $\Phi(s)=1 / s$ и интенсивность ударной волны (9.33) убывает как $s^{-1}(\ln s)^{-1 / 2}$, лишь незначительно быстpee, чем затухают линейные импульсы. Для цилиндрических волн $\Phi=s^{-1 / 2}$ и интенсивность ударной волны убывает как $s^{-3 / 4}$. Копечно, плоские волны тоже описываются этими формулами; для них Ф постоянная и закон затухания имеет вид $s^{-1 / 2}$, что согласуется с полученными ранее результатами. Эти асимптотические законы затухания для цилиндрических и сферических волн были получены независимо различными авторами, первым из которых был, вероятно, Јандау [1].
Для более общих двух- и трехмерных волн в однородной среде
\[
\Phi(s) \propto A^{-1 / 2}(s),
\]

где $A(s)$ – площадь сечения трубки лучей. Дальнейшие детали и приложения можно найти в ранней работе автора (Уизем [5]). Для неоднородной среды $s / c_{0}$ заменяется на $\int d s / c_{0}$ и все выражения в (9.26), зависящие от $s$, должны быть включены в Ф (s).