В 1847 г. Стокс показал, что вертикальное отклонение $\eta$ поверхности глубокой воды для плоского волнового пакета можно разложить по степеням амплитуды $a$ следующим образом:
\[
\begin{array}{rl}
\eta=a \cos (x x-\omega t)+1 / 2 & x a^{2} \cos 2(x x-\omega t)+ \\
& +3 / 8 x^{2} a^{3} \cos 3(x x-\omega t)+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
\omega^{2}=g \chi\left(1+\varkappa^{2} a^{2}+\ldots\right) .
\]

Линейному случаю отвечает первый член разложения (1.33), совпадающий с решением (1.3), причем дисперсионное соотнсшение имеет вид
\[
\omega^{2}=g \chi,
\]

согласующийся с формулой (1.21), поскольку в случае глубокой воды надо брать предельное выражение при $x h \rightarrow \infty$. Эти рассуждения опираются на две ключевые идеи. Во-первых, утверждается существование периодических решений (соответствующих цугу волн), в которых зависимые переменные являются функциями фазы $\theta=x x-\omega t$, но уже не синусами (выражение (1.33) представляет собой разложение в ряд Фурье некоторой функции $\eta(\theta))$. Вторая основополагающая идея заключается в том, что в дисперсионное соотношение (1.34) входит амплитуда. Это при. водит к качественно новым свойствам репения, так что нелинейные эффекты не являются всего лишь малыми поправками.

В 1895 г. Кортевег и де Фриз показали, тто длинные волны на сравнительно мелкой воде можно приближенно описать нелинейным уравнением вида
\[
\eta_{t}+\left(c_{0}+c_{1} \eta\right) \eta_{x}+v \eta_{x x x}=0,
\]

где $c_{0}, c_{1}$ и $v$ – постоянные. При линеаризации этого уравнения для очень малых амплитуд опускают член $c_{1} \eta \eta_{x}$; получающееся

линейное уравнение имеет решение вида
\[
\begin{array}{l}
\eta=a \cos (x x-\omega t), \\
\omega=c_{0} x-v x^{3} .
\end{array}
\]

Этот результат можно улучшить, используя разложение амплитуды в ряд типа разложения Стокса. Но можно поступить и лучще: Кортевег и де Фриз показали, что периодические решения
\[
\eta_{\mathbf{i}}=f(\theta), \quad \theta=x x-\omega t
\]

уравнения (1.36) находятся в замкнутом виде без дальнейших упрощений и выражаются через эллиптические функции Якоби. Поскольку решения $f(\theta)$ выражаются через эллиптический косинус $\operatorname{con} \theta$, они называются кноидальными волнами. Эта работа подтверждает общие выводы работы Стокса. Во-первых, существование периодических волновых пакетов с произвольной амплитудой $a$ проверяется недосредственно. Во-вторых, это решение дает конкретное дисперсионное соотношение между $\omega, x$ и $a$, причем главным нелинейным эффектом снова является то, что в это соотношение входит амплитуда.

Однако было обнаружено даже большее. Одним из пределов функции сп $\theta$ (когда модуль эллиптического интеграла стремится к единице) является sech $\theta$. Переходя к этому пределу или непосредственно решая уравнение (1.36), можно получить частное решение
\[
\begin{array}{l}
\eta=a \operatorname{sech}^{2}\left\{\left(\frac{c_{1} a}{12 v}\right)^{1 / 2}(x-U t)\right\}, \\
U=c_{0}+1 / 3 c_{1} a .
\end{array}
\]

В этом пределе период становится бесконечным и формула (1.38) описывает единственный горб. Это – уединенная волна, экспериментально открытая Скоттом Расселом [1] и впервые исследованная в приближенном виде Буссинеском [1] и Рәлеем [2] 1). Включение уединенной волны и периодического волнового пакета в единую теорию было важным шагом. Выражение (1.39) для скорости распространения $U$ как функции амплитуды представляет собой аналог дисперсионного соотношения для этого непериодического случая.

Хотя уравнение Кортевега – де Фриза первоначально было выведено при исследовании волн на воде, впоследствии поняли, что оно является одним из простейших уравнений, сочетающих нелинейность и дисперсию. В этом отношении оно аналогично уравнению Бюргерса, которое объединяет нелинейность и диффу-
1) Доказательство существования уединенной волны в рамках точной терии было дано в работе М. А. Лаврентьева \”До теоріі довгих хвиль\”, Зб. Прай Інет. Матем. АН УРСР, № 8 (1946), 13-69.- Прим. ред.

зию. В настоящее время оно оказалось полезным и в других обла стях.

В последние годы в различных областях были выведены другие шростые уравнения, также явившиеся отправными пунктами для разработки и проверки различных идей. Среди них выделяются уравнения
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+V^{\prime}(\varphi)=0
\]

как естественное обобщение линейного уравнения Клейна Гордона и
\[
i \psi_{t}+\psi_{x x}+|\psi|^{2} \psi=0
\]

как обобщение уравнения Шредингера. Ниже мы вернемся к этим уравнениям.

Прежде всего следует обсудить вопрос о том, как развить далее подтверждаемый многими примерами общий результат Стокса: существование периодических волновых пакетов является типич, ным свойством нелинейных диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в линейной теории, но теперь уже не действует принцип суперпозиции. Однако, как уже было указано в связи с формулой (1.26), многие важные результаты линейной теории основываются на использовании групповой скорости модулированных волновых пакетов. При этом переход к интегралу Фурье несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой скорости. Соответствующие рассуждения проводятся в гл. 14 на основе уже упоминавшихся вариационных принципов. Зависимость дисперсионных соотношений от амплитуды приводит к ряду новых әффектов (например, к наличию двух грушшовых скоростей), которые обсуждаются в общем виде в гл. 15 , Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной из главных областей шриложения теории является нелинейная оптика, новая быстро развивающаяся область. Ряд приложений к обеим областям дается в гл. 16.

Одним из наиболее интересных вопросов нелинейной оптики является задача самофокусировки, в которой получается уравнение (1.41). Уравнение (1.40), в частности так называемое уравнение Sin-Гордона
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\sin \varphi=0,
\]

также встречается в ряде областей. Оба эти уравнения, как и уравнение Кортевега – де Фриза, в качестве предельных решений имеют решения в виде уединенной волны. Уединенные волны всегда вызывают очевидный интерес, поскольку они представляют чисто нелинейный эффект и не имеют аналога в линейной теории диспергирующих систем. Но до самого последнего времени кроме этого мало что было известно.

В настоящее время благодаря замечательной работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [1], посвященной уравнению Кортевега – де Фриза, а также трудам Перринга и Скирма [1] и Дж. Лэмба $[1,2]$, посвященным уравнению Sin-Гордона, были найдены семейства точных решений, описывающих взаимодействие уединенных волн. Удивительно то, что уединенные волны сохраняют при взаимодействиях свою индивидуальность и расходятся, сохранив исходные формы и скорости. Эти решения составляют лишь один класс решений, полученных при более общем подходе к данным уравнениям; дальнейшие сравнительно полные результаты относятся к решениям, удовлетворяющим произвольным начальным условиям. Захаров и ІІабат [1] распространили методы Гарднера с соавторами на кубическое уравнение ІІредингера (1.41) и получили аналогичные результаты. Обзор этих важных и глубоких исследований приводится в гл. 17.