Геометрия различных стационарных волновых движений была найдена в гл. 12. Изменения амплитуды вдоль каждой групповой линии можно определить, основываясь на общих концепциях групповой скорости. Однако, как указывалось выше, исходное распределение амплитуды вдоль различных групповых линий можно получить только из более полного решения. Теперь мы изучим полученное при помощи преобразования Фурье решение для случая однородного потока, покажем, как простое кинематическое описание связывается с полным решением и определим амплитуды. Мы будем рассматривать источник возмущений не как заданное исходное смещение, а как стационарное внешнее давление, приложенное к поверхности потока, поскольку это точнее описывает влияние плавающего тела.

При решении задач о стационарных волнах при помощи преобразования Фурье следует соблюдать осторожность при выборе подходящего условия излучения для обеспечения единственности. Интересно проследить, как условие излучения в данном контексте сопоставляется с использованием понятия групповой скорости при определении места появления волн. Неединственность возникает вследствие искусственности предположения о стационарности потока, поскольку течение не могло существовать всегда.

В принципе идеальный способ избежать этого – решать более реальную нестационарную задачу с подходящими начальными условиями, приложенными в некоторый конечный момент времени в прошлом, скажем при $t=-t_{0}$, а затем в полученном решении наложить $t_{0} \rightarrow \infty$. Однако эта программа может оказаться трудно выполнимой и перегруженной многочисленными излишними деталями, не входящими в окончательный ответ. Упрощенный вариант условия излучения в принципе следует этой идее и в то же время требует минимального обобщения задачи. В данном случае будем считать, что внешнее давление на поверхности $y=0$ задано формулой
\[
\frac{p-p_{0}}{\rho}=f\left(x_{1}, x_{2}\right) e^{\varepsilon t}, \quad \varepsilon>0 .
\]

Это отвечает источнику, интенсивность которого практически равна нулю при $t$, близком к – , а затем нарастает и в рассматриваемом интервале времени близка к $f\left(x_{1}, x_{2}\right)$. Такая кон-

струкция обладает желаемыми свойствами задачи с разумными начальными условиями и в то же время сохраняет простую зависимость от времени. После того как задача решена, мы перейдем к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$ и получим стационарное решение.

Граничные условия (13.12) модифицируются. Во-первых, на поверхности задается распределение давления, и, во-вторых, учитывается вклад поверхностного натяжения. Как мы видели в § 12.3, последнее приводит к особенно интересным последствиям при возникновении волн, распространяющихся вверх по течению. Для малых возмущений основного потока $U$ в $x_{1}$-направлении потенциал скорости берется равным
\[
\varphi=U x_{1}-\frac{1}{2} U^{2} t+\Phi,
\]

где $
abla \Phi$ мало по сравнению с $U$. Тогда линеаризованные граничные условия на свободной поверхности принимают вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\eta_{t}+U \eta_{\boldsymbol{\omega}_{1}}-\Phi_{y}=0, \\
\Phi_{t}+U \Phi_{\boldsymbol{x}_{1}}+g \eta-\frac{T}{\rho} \eta_{x_{i} x_{i}}=-f(\mathbf{x}) e^{e t}
\end{array}\right\} \text { при } y=0 .
\]

Потенциал возмущения Ф по-прежнему удовлетворяет уравнению Лапласа; для простоты мы будем рассматривать случай бесконечной глубины, так что $\Phi \rightarrow 0$ при $y \rightarrow-\infty$. Решение в виде интеграла Фурье, удовлетворяющее двум последним условиям и меняющееся как $e^{\varepsilon t}$, представляется формулами:
\[
\begin{aligned}
\Phi & =e^{e t} \int_{-\infty}^{\infty} B_{i}(x) e^{i \gamma \cdot x+x y} d x, \quad x=|x|, \mid \\
\Phi & =e^{e t} \int_{-\infty}^{\infty} A(x) e^{i \gamma^{\prime} / x} d x .
\end{aligned}
\]

Далее, граничные условия (13.55) связывают $A$ и $B$ друг с другом и с преобразованием Фурье $F(x)$ функции $f(\mathbf{x})$. Результат имеет вид
\[
\eta\left(\mathbf{x}_{0} t\right)=e^{\varepsilon t} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x F(x) e^{i x \cdot \mathbf{x}} d x}{\left(x_{1} U-i \varepsilon\right)^{2}-\omega_{0}^{2}(x)},
\]

где
\[
\omega_{0}^{2}=g x+\frac{T}{\rho} x^{3}
\]
– дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в спокойную воду.

Теперь можно понять роль числа $\varepsilon$. При $\varepsilon=0$ на контуре интегрирования находятся полюсы, определяемые уравнением
\[
x_{1}^{2} U^{2}-\omega_{0}^{2}(x)=0 .
\]

Контур интегрирования должен с той или другой стороны обходить каждый полюс, но свобода выбора привела бы к неединственности. При $\varepsilon>0$ корни знаменателя в (13.56) комплексны; полюсы сдвинуты с пути интегрирования, и неопределенность не возникает. Даст ли полюс вклад или нет, зависит тогда от дальнейшей деформации контура интегрирования и определяется конкретным выбором обхода вокруг полюса. Значения вектора $x$, удовлетворяющие уравнению (13.58), определяют, какие значения вектора $x$ могут дать существенный вклад; положение полюса (выше контура интегрирования или ниже его) определяет, где будет иметь место этот вклад.

Условие (13.58), по существу, совпадает с условием (12.23) (или с условием (12.24) при $\omega=0$ ), выделяющим в данном потоке стационарные волны, дающие большой вклад. Анализ, показывающий, следует ли включать данный полюс, соответствует определению положения этих волн при помощи понятия групповой скорости.
Одномерные гравитационные волны
Для простоты рассмотрим сначала одномерный случай и пренебрежем поверхностным натяжением. Тогда вместо (13.56) имеем
\[
\eta(x, t)=e^{\varepsilon t} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x F\left(\chi_{1}\right) e^{i \alpha_{1} x_{1}}}{\left(x_{1} U-i \varepsilon\right)^{2}-g \chi} d x_{1}, \quad x=\left|\chi_{1}\right| .
\]

Появление $x=\left|x_{1}\right|$ следует специально отметить; оно связано с тем, что в преобразовании фигурируют как положительные, так и отрицательные значения $x_{1}$, и для того чтобы выполнялось условие $\Phi \rightarrow 0$ при $y \rightarrow-\infty$. в одномерном случае экспонента в выражении для $\Phi$ должна быть равной
\[
\exp \left(i x_{1} x_{1}+\left|x_{1}\right| y\right) .
\]

При исследовании интеграла (13.59) мы рассмотрим частный случай $f\left(x_{1}\right)=P \delta\left(x_{1}\right), F\left(x_{1}\right)=P /(2 \pi)$, к которому в некотором смысле сводится и общий случай. При этом
\[
\eta(x, t)=\frac{P e^{\varepsilon t}}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{i x_{1} x_{1}} d x_{1}}{\left(\chi_{1} U-i \varepsilon\right)^{2}-g \chi} .
\]

Поскольку в интеграл входит $x=\left|x_{1}\right|$, әтот интеграл удобно разбить на два: для $x_{1}>0$ и для $x_{1}<0$, и в каждом из них использовать $x$ в качестве переменной интегрирования. Тогда
\[
\frac{2 \pi \eta}{P}=e^{\varepsilon t} \int_{0}^{\infty} \frac{x e^{i \kappa x} 1 d x}{(x U-i \varepsilon)^{2}-g \chi}+e^{\varepsilon t} \int_{0}^{\infty} \frac{x e^{-i \varkappa x_{1}} d x}{(x U+i \varepsilon)^{2}-g x} .
\]

Поскольку в окончательном ответе $\varepsilon \rightarrow 0$, членом с $\varepsilon^{2}$ в знаменателях можно’ пренебречь, а множитель $e^{\text {et }}$, который теперь уже сыграл свою роль, можно опустить. Имеем
\[
\frac{2 \pi \eta}{P}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left(\int_{0}^{\infty} \frac{e^{i \varkappa x_{1}} d x}{x U^{2}-2 i \varepsilon U-g}+\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-i \kappa x} 1 d x}{x U^{2}+2 i \varepsilon U-g}\right) .
\]

Полюсы подынтегральных выражений находятся в точках
\[
x=\frac{g}{U^{2}}+\frac{2 i \varepsilon}{U}, \quad x=\frac{g}{U^{2}}-\frac{2 i \varepsilon}{U}
\]

соответственно. Контуры интегрирования можно повернуть так, чтобы они совпали либо с положительной, либо с отрицательной мнимой полуосью. Для $x_{1}>0$ контур интегрирования в первом слагаемом можно совместить с положительной мнимой полуосью, а контур интегрирования во втором – с отрицательной мнимой полуосью; оба полюса дают вклад. Имеем
\[
\begin{array}{r}
\frac{U^{2} \eta}{P}=\frac{i}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-m x_{1}} d m}{i m-k}+i e^{i k x_{1}}+\frac{i}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-m x_{1}} d m}{i m+k}-i e^{-i k x_{1}}= \\
=-2 \sin k x_{1}+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{m}{m^{2}+k^{2}} e^{-m x_{1}} d m, \quad x_{1}>0,
\end{array}
\]

где
\[
k=\frac{g}{U^{2}} .
\]

Для $x_{1}<0$ контуры интегрирования можно повернуть в противоположных направлениях, и полюсы не дают вклада:
\[
\frac{U^{2} \eta}{P}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{m}{m^{2}+k^{2}} e^{m x_{1}} d m, \quad x_{1}<0 .
\]

Соотношение (13.62), которое можно записать также в виде
\[
U=\sqrt{\frac{g}{k}}=c(k),
\]

определяет волновое число $k$ для тех волн, которые могут находиться в стационарном состоянии в набегающем потоке. Поскольку $\sin k x_{1}$ удовлетворяет условиям задачи о стационарной свободной

поверхности для всех $x_{1}$, условие излучения является решающим при доказательстве того, что такие стоячие волны появляются только вниз по течению ( $x_{1}>0$ ) от приложенного возмущения давления. Интегралы (13.61) и (13.63) необходимы в полном решении, но становятся малыми при $\left|x_{1}\right| \gg 1$. Асимштотические представления этих интегралов получаются формальным разложением выражения $\left(m^{2}+k^{2}\right)^{-1}$ по возрастающим степеням $m^{2}$ и почленным интегрированием полученного ряда. Эта процедура дает
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{m e^{-m\left|x_{1}\right|}}{m^{2}+k^{2}} d m \sim \frac{1}{k^{2} x_{1}^{2}}-\frac{3 !}{k^{4} x_{1}^{4}}+\frac{5 !}{k^{6} x_{1}^{6}}-\ldots .
\]

Окончательный вывод состоит в том, что стоячие волны вдали от источника возникают только вниз по течению, причем они имеют вид
\[
\eta=-\frac{2 P}{U^{2}} \sin k x_{1}, \quad k=\frac{g}{U^{2}} .
\]

Одномерные волны с учетом поверхностного натяжения
Когда учитывается поверхностное натяжение, выражение (13.60) переходит в следующее:
\[
\begin{array}{l}
\frac{2 \pi \eta}{P}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left\{\int_{0}^{\infty} \frac{e^{i \kappa x_{1}} d x}{x U^{2}-2 i \varepsilon U-g-(T / \rho) x^{2}}+\right. \\
\left.\quad+\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-i \kappa x_{\mathrm{i}}} d x}{x U^{2}+2 i \varepsilon U-g-(T / \rho) x^{2}}\right\} .
\end{array}
\]

Полюсы близки к корням уравнения
\[
k U^{2}=g+\frac{T}{\rho} k^{2}
\]

это опять совпадает с условием
\[
U=c(k),
\]

использованным в (12.20) при определении того, какие волны не сносятся течением.

При $U<c_{m}$, где $c_{m}$ – минимальная волновая скорость, уравнение (13.66) не имеет вещественных корней. Следовательно, в интегралах (13.65) нет полюсов, близких к вещественной оси, все вклады подынтегральных выражений быстро убывают с ростом $x_{1}$, и стоячие волны отсутствуют. Это согласуется с выводом, полученным в \& 12.3 .

При $U>c_{m}$ уравнение (13.66) имеет два вещественных корня и они совпадают с величинами $k_{g}$ и $k_{T}$, введенными в формулах

(12.21) – (12.22), причем $k_{T}>k_{g}$. В этом случаё интегралы в (13.65) имеют полюсы, близкие к $k_{g}$ и $k_{T}$. Они расположены в точках
\[
x=k_{g}+\frac{2 \rho U}{\left(k_{T}-k_{g}\right) T} i \varepsilon, \quad x=k_{T}-\frac{2 \rho U}{\left(k_{T}-k_{g}\right) T} i \varepsilon
\]

для первого интеграла и в сопряженных точках для второго интеграла. При $x_{1}>0$ первый интеграл можно вычислить вдоль положительной мнимой полуоси, причем вклад дает только гравитационный полюс около $k_{g}$. Второй интеграл вычисляется вдоль отрицательной мнимой полуоси, причем вклад дает другой гравитационный полюс. Таким образом, вниз по течению от источника появляются гравитационные волны. Аналогичным образом при $x_{1}<0$ повороты следует делать в противоположных направлениях и вклад дают капиллярные полюсы.

Эти выводы согласуются с полученными при помощи понятия групповой скорости результатами (12.21) – (12.22): гравитационные волны вниз по течению и капилляные волны вверх по течению. Асимптотика волновых пакетов такова:
\[
\eta \sim\left\{\begin{array}{ll}
\frac{-2 p_{\rho}}{\left(k_{T}-k_{g}\right) T} \sin k_{g} x_{1}, & x_{1}>0, \\
\frac{-2 p_{\rho}}{\left(k_{T}-k_{g}\right) T} \sin k_{T} x_{1}, & x_{1}<0 .
\end{array}\right.
\]

Корабельные волны
Для двумерной задачи о гравитационных волнах, создаваемых точечным источником $f\left(x_{1}, x_{2}\right)=P \delta\left(x_{1}, x_{2}\right)$, в интеграле (13.56) следует положить $F(x)=P /\left(4 \pi^{2}\right)$ и $\omega_{0}^{2}=g \chi$. Тогда (13.56) дает
\[
\frac{4 \pi^{2} U^{2} \eta}{P}=e^{\varepsilon t} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \exp \left\{i\left(\chi_{1} x_{1}+x_{2} x_{2}\right)\right\} d x_{1} d x_{2}}{\left(x_{1}-i \varepsilon / U\right)^{2}-g \chi / U^{2}},
\]

где $x=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{1 / 2}$. Удобно ввести полярные координаты
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=r \cos \xi, & x_{2}=r \sin \xi, \\
x_{1}=-x \cos \chi, & x_{2}=x \sin \chi .
\end{array}
\]

Вклад от области $\pi / 2<\chi<3 \pi / 2$ комплексно сопряжен с вкладом от области $-\pi / 2<\chi<\pi / 2$ и в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ (13.67) принимает вид
\[
\frac{2 \pi^{2} U^{2} \eta}{P}=\operatorname{Re}\left(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d \chi}{\cos ^{2} \chi} \int_{0}^{\infty} \frac{x \exp \{-i x r \cos (\xi+\chi)\}}{x-x_{0}} d x\right),
\]

где
\[
x_{0}=\frac{g}{U^{2} \cos ^{2} \chi}-\frac{2 i \varepsilon}{U \cos \chi} .
\]

Поскольку $\cos \chi>0$, полюс $x=x_{0}$ лежит в нижней половине комплексной $x$-плоскости.

Картина симметрична относительно оси $x_{1}$, так что достаточно рассмотреть интервал $0<\xi<\pi$. Когда $\cos (\xi+\chi)>0$, т. е. $-\pi / 2<\chi<\pi / 2-\xi$, контур интегрирования в $\chi$-плоскости можно направить вдоль отрицательной мнимой полуоси и полюс дает вклад; когда $\cos (\xi+\chi)<0$, т. е. $\pi / 2-\xi<\chi<\pi / 2$, его можно направить вдоль положительной мнимой полуоси и полюс вклада не дает.

Дальнейшие вычисления становятся довольно громоздкими, если стараться аккуратно следить за всеми членами. Здесь мы укажем вклад полюса и прокомментируем остальные члены. Вклад полюса составляет
\[
\eta \sim \frac{g P}{\pi U^{4}} \operatorname{Im}\left(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2-\xi} \frac{\exp \left\{-i x_{0} r \cos (\xi+\chi)\right\}}{\cos ^{4} \chi} d \chi\right),
\]

где в $x_{0}$ теперь можно опустить член с $\varepsilon$. Функция
\[
s(\chi)=x_{0} \cos (\xi+\chi)=\frac{g \cos (\xi+\chi)}{U^{2} \cos ^{2} \chi}
\]

имеет стационарную точку при $\chi=\psi$, где
\[
\operatorname{tg}(\xi+\psi)=2 \operatorname{tg} \psi \text {. }
\]

При помощи стандартной формулы метода стационарной фазы находим, что
\[
\eta \sim \frac{g P}{\pi U^{4}} \operatorname{Im}\left[\left(\frac{2 \pi}{r\left|s^{\prime \prime}(\psi)\right|}\right)^{1 / 2} \exp \left\{-i r s(\psi)-\frac{\pi i}{4} \operatorname{sgn} s^{\prime \prime}(\psi)\right\}\right] .
\]

После некоторых упрощений это дает
\[
\begin{aligned}
\eta \sim-\left(\frac{2 g}{\pi r}\right)^{1 / 2} \frac{P}{U^{3} \cos ^{3} \psi} \frac{\left(1+4 \operatorname{tg}^{2} \psi\right)^{1 / 4}}{\left|1-2 \operatorname{tg}^{2} \psi\right|^{1 / 2}} \times \\
\times \sin \left\{k r \cos (\xi+\psi)+\frac{\pi}{4} \operatorname{sgn} s^{\prime \prime}(\psi)\right\},
\end{aligned}
\]

где
\[
k=x_{0}(\psi)=\frac{g}{U^{2} \cos ^{2} \psi}
\]

и $\psi(\xi)$ определяется из (13.70).

переходную область того же общего тиша, что и в § 13.6. Скачок фазы на сторонах угла $\xi= \pm \xi_{m}$ равен $\pi / 2$. Сингулярное поведение на оси $x_{1}$, где $\psi \rightarrow 0$, связано с предположением о точечном характере возмущения. Сингулярные области подробно изучены Урселлом [1].