Первые сведения о распространении волн в газовой динамике даются акустикой, связанной с линеаризованной теорией малых возмущений стационарного состояния. Простейший случай имеет место тогда, когда массовыми силами пренебрегают, а стационарное состояние отвечает постоянным значениям $p=p_{0}, \rho=\rho_{0}, u=0$. Если первоначальное возмущение имело однородную энтропию, то движение является изэнтропическим и можно считать

$p=p(\rho)$. Тогда для малых возмущений
\[
p-p_{0}=a_{0}^{2}\left(\rho-\rho_{0}\right)
\]

с точностью до членов выше первого порядка, причем
\[
a_{0}^{2}=p^{\prime}\left(\rho_{0}\right) .
\]

Соотношение (6.51) можно рассматривать как решение линеаризованного третьего уравнения системы (6.49), так что обратимся к линеаризации первых двух уравнений.

С точностью до членов выше первого порядка от малых величин $\left(p-p_{0}\right) / p_{0},\left(\rho-\rho_{0}\right) / \rho_{0}, u / a_{0}$ и их производных имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\rho_{0} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}}=0 . \\
\rho_{0} \frac{\partial u_{i}}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x_{i}}=0 .
\end{array}
\]
(Когда невозмущенное состояние однородно, здесь п далее оставляются производные от исходных величин – чтобы не усложнять запись и не увеличивать количество индексов, – но при необходимости их можно перевести в производные от возмущений.)
Из (6.54) следует равенство
\[
u_{i}=u_{i}^{(0)}(\mathbf{x})+\frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{1}{\rho_{0}} \int_{0}^{t}\left(p-p_{0}\right) d t,
\]

где произвольные функции $u_{i}^{(0)}(\mathbf{x})$ появляются в процессе интегрирования. Обычно в акустике их можно положить равными нулю; например, это так, если $u_{i}=0$ в начальный момент или если волны распространяются в область покоя. При этом вектор и является градиентом скаляра. Введя потенциал скорости $\varphi$, определяемый условием $\mathbf{u}=
abla \varphi$, получим
\[
u_{i}=\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}, \quad p-p_{0}=-\rho_{0} \frac{\partial \varphi}{\partial t}, \quad \rho-\rho_{0}=-\frac{\rho_{0}}{a_{0}^{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial t},
\]

и равенство (6.54) выполняется тождественно. Уравнение для $\varphi$ получается подстановкой этих выражений в (6.53) и является волновым уравнением
\[
\varphi_{t t}=a_{0}^{2} \varphi_{x_{i} x_{i}},
\]

где $a_{0}$ – скорость распространения. Можно заметить, что все возмущения в (6.55) также удовлетворяют волновому уравнению.

Для одномерных волн уравнение (6.56) можно решить сразу, что дает
\[
\varphi=f\left(x-a_{0} t\right)+g\left(x+a_{0} t\right),
\]

где $f$ и $g$ – произвольные функции; соответствующие выражения для $u$ и $p-p_{0}$ таковы:
\[
\begin{array}{l}
u=f^{\prime}\left(x-a_{0} t\right)+g^{\prime}\left(x+a_{0} t\right), \\
\frac{p-p_{0}}{\rho_{0} a_{0}}=f^{\prime}\left(x-a_{0} t\right)-g^{\prime}\left(x+a_{0} t\right) .
\end{array}
\]

Функции $f$ п $g$ выбираются так, чтобы выполнялись начальные или граничные устовия. Мы отложим рассмотрение конкретных примеров, шоскольку для плоских волн поддаются решению полные нелинейные уравнения и некоторые линеаризованные результаты можно рассматривать как приближение этих точных решений. Двух- и трехмерные решения волнового уравнения будут рассматриваться в гл. 7.

Практически в любой задаче акустики действуют силы тяжести, и вследствие этого невозмущенное состояние неоднородно. В задачах о распространении акустических волн на большие расстояния в атмосфере или океане этот факт может оказаться решающим и привести к усилению и рефракции этих волн. Даже когда предыдущая теория справедлива, то это не столько потому, что весь гравитационный член $\rho g$ пренебрежимо мал, а скорее потому, что величина его возмущения мала по сравнению с другими возмущениями. Невозмущенные давление и плотность должны удовлетворять уравнению
\[
\frac{d p_{0}}{d z}=-\rho_{0} g
\]

где $z$ – вертикальная координата. Поскольку изменения давления и ускорения в акустических волнах могут быть чрезвычайно малы, два члена из (6.58) могут оказаться наибольшими членами в уравнении сохранения вертикальной компоненты импульса. Но так как они уравновешивают друг друга, то их дальнейтим влиянием на уравнения для возмущений можно пренебречь. Рассмотрим подробнее распространение плоских волн в вертикальном направлении. Положим $p=p_{0}(z)+p_{1}, \rho=\rho_{0}(z)+\rho_{1}, \mathbf{u}=(0,0, w)$, подставим эти значения в (6.49) и отбросим квадратичные и другие члены высших порядков но $p_{1}, \rho_{1}, w$; тогда мы получим
\[
\begin{aligned}
\rho_{1 t}+w \rho_{0}^{\prime}+\rho_{0} w_{z} & =0, \\
\rho_{0} w_{t}+p_{0}^{\prime}+p_{1 z} & =-\rho_{0} g-\rho_{1} g, \\
p_{1 t}+w p_{0}^{\prime}-a_{0}^{2}\left(\rho_{1 t}+w \rho_{0}^{\prime}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

В общем случае в равновесном состоянии энтропия распределена неоднородно, так что следует учитывать изменение энтропии и определять $a^{2}$ так, как указано в (6.48).

Из (6.58) следует, что для изменений равновесных величин характерны большие пространственные расстояния $L$ порядка

$a_{0}^{2} / g$. Если $p_{1}=O\left(\varepsilon p_{0}\right)$ и $\lambda-$ характерная длина волны возмущения, то
\[
p_{0}^{\prime}=O\left(\frac{p_{0}}{L}\right), \quad p_{1 z}=O\left(\frac{\varepsilon p_{0}}{\lambda}\right) .
\]

В то время как $\lambda / L$ может иметь порядок $10^{-4}$, амплитуда $\varepsilon$ легко может быть равной $10^{-4}$ или еще меньше, так что градиенты основного состояния $p_{0}^{\prime}$ могут оказаться больше, чем градиенты $p_{1 z}$, создаваемые акустическими волнами. Однако члены $p_{0}^{\prime}$ и – $\rho_{0} g$ в (6.59) взаимно уничтожаются и все оставшиеся члены пропорциональны $\varepsilon$. Члены $\rho_{1} g, w p_{0}^{\prime}, w \rho_{0}^{\prime}$ имеют дополнительный множитель $\lambda / L$. Следовательно, за исключением случаев распространения на расстояния, сравнимые с $L$, эффекты неоднородности будут малы. Вместо того чтобы делать дальнейшие оценки, проще рассмотреть некоторые точные решения уравнений (6.59).
Исключая в (6.59) $p_{1}$ и $\rho_{1}$ и снова используя (6.58), получаем
\[
w_{t t}=a_{0}^{2} w_{z z}+\frac{\left(\rho_{0} a_{0}^{2}\right)^{\prime}}{\rho_{0}} w_{z} .
\]

Это уравнение гиперболическое, и характеристические скорости равны $\pm a_{0}(z)$. В случае неоднородной атмосферы $a_{0}$ продолжает оставаться скоростью звука в этом точном смысле. Для политропного газа $a_{0}^{2}=\gamma p_{0} / \rho_{0}$, так что $\left(\rho_{0} a_{0}^{2}\right)^{\prime}=\gamma p_{0}^{\prime}=-\gamma \rho_{0}$ g и уравнение сводится к
\[
w_{t t}=a_{0}^{2} w_{z z}-\gamma g w_{z} .
\]

Изотермическое равновесное состояние
Для постоянной равновесной температуры $a_{0}^{2}$ постоянна и (6.58) дает экспоненциальную атмосферу
\[
\rho_{0}(z)=\rho_{0}(0) e^{-z / H}, \quad H=\frac{\mathscr{R} T_{0}}{g}=\frac{a_{0}^{2}}{\gamma g} .
\]

Уравнение для $w$ имеет периодические решения
\[
\begin{aligned}
w & =A e^{z /(2 H)} \cos (k z-\omega t), \\
\omega^{2} & =a_{0}^{2} k^{2}+\frac{1}{4} \frac{a_{0}^{2}}{H^{2}} .
\end{aligned}
\]

Изменение амплитуды мало, если $z \ll H$ и $\omega^{2} \simeq a_{0}^{2} k^{2}$ при $\lambda^{2} / H^{2} \ll$ «1. Это решение подтверждает предыдущие оценки.
Конвективное равновесное состояние
В конвективном равновесном состоянии энтропия постоянна и $p \sim \rho^{\gamma}$. Из (6.58) имеем
\[
\frac{1}{\rho_{0}} \frac{d p_{0}}{d z}=\frac{a_{0}^{2}}{\rho_{0}} \frac{d \rho_{0}}{d z}=\frac{2}{\gamma-1} a_{0} \frac{d a_{0}}{d z}=-g,
\]

откуда
\[
a_{0}^{2}(z)=a_{0}^{2}(0)-(\gamma-1) g z .
\]

Конечно, это распределение имеет смысл только для высот, меньших $a_{0}^{2}(0) /(\gamma-1) g$. Решения для $w$ выражаются через бесселевы функции (Г. Лэмб, [1], стр. 685); можно сделать и аналогичные выводы об әффектах неоднородности.

Некоторые вопросы, касающиеся рефракции неплоских волн, будут рассмотрены в $\$ 7.7$, другие можно найти в книге Г. Лэмба [1], стр. $686-703$.
6.7. Нелинейные плоские волны

Рассмотрим теперь точные нелинейные уравнения для одномерного течения в случае, когда массовыми силами можно пренебречь. Поскольку сейчас мы интересуемся больпими изменениями давления, во многих приложениях можно полностью пренебречь влиянием силы тяжести.
Уравнения (6.49) принимают вид
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{x}+\rho u_{x} & =0, \\
\rho\left(u_{t}+u u_{x}\right)+p_{x} & =0, \\
S_{t}+u S_{x} & =0,
\end{aligned}
\]

где $p(\rho, S)$ – известная функция. Последнее уравнение можно также записать в виде
\[
p_{t}+u p_{x}-a^{2}\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right)=0,
\]

где
\[
a^{2}=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S=\text { const }} .
\]

Для изучения нелинейных волн уравнения приводятся к характеристической форме при помощи процедуры, описанной в §5.1. Вместо того чтобы пользоваться готовыми формулами, быстрее вывести характеристические уравнения непосредственно из (6.60) (6.63). Заметим прежде всего, что уравнение (6.62) уже имеет характеристическую форму с характеристической скоростью $u$. Отсюда
\[
\frac{d S}{d t}=0 \quad \text { на характеристиках } \frac{d x}{d t}=u .
\]

Эти характеристики являются траекториями частиц, и $S$ постоянна на каждой из них.

Два других семейства характеристик удобнее всего получить, используя уравнения (6.60), (6.61) и (6.63). Достаточно рассмотреть

следующие линейные комбинации: произведение $l_{1}$ на (6.60) плюс произведение $l_{2}$ на (6.61) и плюс (6.63). После преобразования такая комбинация принимает вид
\[
\begin{array}{l}
p_{t}+\left(u+l_{2}\right) p_{x}+\rho l_{2}\left(u_{t}+u u_{x}\right)+ \\
+\rho l_{1} u_{x}+\left(l_{1}-a^{2}\right)\left(\rho_{t}+u \rho_{x}\right)=0 .
\end{array}
\]

Случай $l_{1}=l_{2}=0$ отвечает уже найденной характеристической форме (6.65). После того как этот случай исключен, из сравнения членов с $p$ и $\rho$ видно, что единственное возможное характеристическое уравнение с $l_{2}
eq 0$ получается при отсутствии производных от $\rho$, откуда $l_{1}=a^{2}$. Тогда, сравнивая производные от $p$ и от $u$, получаем $l_{2}=l_{1} / l_{2}$. Таким образом, $l_{1}=a^{2}, l_{2}= \pm a$ и искомые комбинации имеют вид
\[
p_{t}+(u \pm a) p_{x} \pm \rho a\left\{u_{t}+(u \pm a) u_{x}\right\}=0 .
\]

Полная система характеристических уравнений имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p}{d t}+\rho a \frac{d u}{d t}=0 \quad \text { на } C_{+}: \frac{d x}{d t}=u+a, \\
\frac{d p}{d t}-\rho a \frac{d u}{d t}=0 \quad \text { на } C_{-}: \frac{d x}{d t}=u-a \text {, } \\
\frac{d S}{d t}=0 \quad \text { на } \quad P: \frac{d x}{d t}=u . \\
\end{array}
\]

Характеристики $C_{+}$и $C_{-}$описывают точки, движущиеся со скоростью $\pm a$ относительно газа, имеющего локальную скорость $u$. Это акустические волны, и величина $a$, определяемая равенством (6.64), отождествляется с нелинейной скоростью звука.

В линеаризованной теории эти уравнения аппроксимируются следуюцим образом:
\[
\begin{aligned}
\frac{d p}{d t}+\rho_{0} a_{0} \frac{d u}{d t}=0 & \text { на } C_{+}: \frac{d x}{d t}=a_{0}, \\
\frac{d p}{d t}-\rho_{0} a_{0} \frac{d u}{d t}=0 & \text { на } C_{-}: \frac{d x}{d t}=-a_{0}, \\
\frac{d S}{d t}=0 & \text { на } \quad P: \frac{d x}{d t}=0
\end{aligned}
\]

и немедленно интегрируются, давая
\[
\begin{aligned}
\left(p-p_{0}\right)+\rho_{0} a_{0} u & =F\left(x-a_{0} t\right), \\
\left(p-p_{0}\right)-\rho_{0} a_{0} u & =G\left(x+a_{0} t\right), \\
S-S_{0} & =H(t) .
\end{aligned}
\]

Если энтропия не изменяется, то эти равенства согласуются с репением (6:57).

В нелинейной теории соотношения, определяющие характеристики, зависят от решения, которое еще следует найти, и интегрирование так непосредственно не проводится.

Для изэнтропического течения $S=$ const всюду, так что уравнение (6.69) можно опустить. Кроме того, $p=p(\rho), a^{2}=p^{\prime}(\rho)$, и поэтому первые два характеристические уравнения можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\int \frac{a(\rho) d \rho}{\rho}+u=\mathrm{const} \quad \text { на } C_{+}: \frac{d x}{d t}=u+a, \\
\int \frac{a(\rho) d \rho}{\rho}-u=\mathrm{const} \quad \text { на } \quad C_{-}: \frac{d x}{d t}=u-a .
\end{array}
\]

Это инварианты Римана. Для политропного газа
\[
p=x \rho^{\gamma}, \quad a^{2}=x \gamma \rho^{\gamma-1}
\]

и инварианты Римана равны
\[
\frac{2}{\gamma-1} a \pm u=\mathrm{const} \quad \text { на } \quad \frac{d x}{d t}=u \pm a .
\]