Для волнового пакета, приближающегося к отмели, параметры модуляций можно считать не зависящими от $t$. Тогда из уравнений модуляций имеем четыре соотношения
\[
\omega=\text { const }, \quad-\mathscr{L}_{k}=\text { const }, \quad \gamma=\text { const }, \quad-\mathscr{L}_{\beta}=\text { const },
\]

определяющие $k(x), E(x), \beta(x), h(x)$ через их начальные постоянные значения на глубине и распределение глубин $h_{0}(x)$. В низ-

шем порядке приближения первые два соотношения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\omega & =\omega_{0}=\left(g k \text { th } k h_{0}\right)^{1 / 2}=\text { const }, \\
-\mathscr{L}_{k} & =\frac{E}{\omega_{0}} C_{0}=\text { const. }
\end{aligned}
\]

Этих соотношений достаточно для определения распределений $k(x)$ и $E(x)$ в терминах распределения глубин $h_{0}(x)$. Поскольку частота $\omega_{0}$ постоянна, соотношение для $E$ можно также интерпретировать как постоянство потока энергии $E C_{0}$, но, по-видимому, для таких «адиабатических» процессов предпочтительнее формулировка в терминах волнового действия. Соотношения $\gamma=$ const, $-\mathscr{L}_{\beta}=$ = const определяют сопутствующие малые изменения параметров $h-h_{0}$ и $\beta$. Результаты таковы:
\[
\begin{array}{l}
b=h-h_{0}=-\frac{1}{2}\left(\frac{2 C_{0}}{c_{0}}-1\right) \frac{E}{\rho g h_{0}}, \\
\beta=-\frac{E}{\rho c_{0} h_{0}} .
\end{array}
\]
(При вычислении параметра $\gamma$ использована незначительная модификация, отмеченная в (16.74).) Эти формулы указывают на некоторое понижение средней поверхности и на встречное течение, компенсирующее индуцируемый волнами поток массы.

На шельфе амплитуда возрастает с уменьшением глубины. При достаточно больших амплитудах, которые можно оценить либо как $a / \lambda=0,142$, согласно вычислениям Мичелла для глубокой воды, либо как $a / h_{0}=0,78$, согласно оценкам Мак-Кауэна для уединенной волны, гребни заостряются и теория Стокса перестает быть применимой.