Если один из инвариантов Римана для изэнтропического течения остается всюду постоянным, то решение чрезвычайно упрощается.

Рис. 6.1. Волна разрежения, возникающая при вытягивании поршня.
Это соответствует распространению волны только в одном направлении, и в линейной теории в равенствах (6.70) было бы либо $F=0$, либо $G=0$. В качестве основной модели, иллюстрирующей образование простой волны такого типа, рассмотрим волны, создаваемые заданным движением поршня на конце длинной трубы. $\mathrm{Ha}$ рис. 6.1 приведена соответствующая ( $x, t$ )-диаграмма. Если

не возникают разрывы, нарушающие выводы, следующие из дифференциальных уравнений, то можно утверждать, что течение должно описываться простой волной. Для простоты рассуждения проводятся для политропного газа, но распространение на более общий случай очевидно.

Предполагается, что в области $x \geqslant 0$ при $t=0$ газ находится в состоянии покоя с $u=0, a=a_{0}, S=S_{0}$, и, как уже говорилось, разрывы временно не допускаются. Поскольку поршень сам движется по траектории частицы, ясно, что траектории всех частиц начинаются на оси $x$ в однородной области. В силу (6.69), $S$ постоянна на траектории каждой частицы $P$ и, следовательно, равна своему начальному значению $S_{0}$. Но начальные значения одинаковы для траекторий всех частиц; следовательно,
\[
S=S_{0}
\]

по всему течению. Так как течение изэнтропическое, то можно использовать теперь соотношение (6.71) для двух других семейств характеристик.

На характеристиках $C_{\text {_ в величина }} d x / d t$ меньше, чем на траектории частицы, и, следовательно, все они начинаются на оси $x$ в невозмущенной области (см. рис. 6.1). На каждой такой характеристике
\[
\frac{2}{\gamma-1} a-u=\frac{2 a_{0}}{\gamma-1},
\]

поскольку этот инвариант Римана постоянен на каждой из них и сохраняет первоначальное значение из области $u=0, a=a_{0}$.

Поскольку начальное значение снова одно и то же для всех этих характеристик, инвариант Римана (6.73) всюду равен одной и той же постоянной. Из этих рассуждений следует, что решение является простой волной. Обратимся к другому характеристическому уравнению в (6.71) и определим оставшуюся часть решения.

Для тех характеристик $C_{+}$, которые начинаются на оси $x$, справедливо равенство (6.73) с противоположным знаком. Отсюда в области, покрываемой такими характеристикам, и $u=0, a=a_{0}$. Таким образом, исходные однородные условия имеют место в области впереди характеристики $C_{+}^{0}$, отделяющей характеристики $C_{+}$, начинающиеся на оси $x$, от характеристик $C_{+}$, начинающихся на поршне. Поскольку мы предполагаем, что течение непрерывно и не имеет разрывов, то $u=0, a=a_{0}$ впереди $C_{+}^{0}$ и на самой этой характеристике. Таким образом, $C_{+}^{0}$ определяется равенством
\[
x=a_{0} t .
\]

Для характеристик $C_{+}$, начинающихся на поршне, используем равенство (6.71) со знаком плюо:
\[
\frac{2 a}{\gamma-1}+u=\mathrm{const} \text { на каждой } C_{+}: \frac{d x}{d t}=u+a .
\]

В силу равенства (6.73), справедливого всюду, это сводится к условию
\[
u=\text { const } \quad \text { на каждой } C_{+}: \frac{d x}{d t}=a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} u .
\]

Значение $u$ на каждой из этих характеристик различно и зависит от того, где данная характеристика пересекается с поршнем, но видно, что в общем случае семейство положительных характеристик представляет собой семейство прямых, каждая из которых имеет наклон $a_{0}+\{(\gamma+1) / 2\} u$, соответствующий значению $u$ на ней.

Граничные условия состоят в том, что на поршне скорость газа равна скорости поршня. Следовательно, если движение поршня описывается функцией $x=X(t)$, то граничное условие имеет вид
\[
u=\dot{X}(t) \quad \text { при } \quad x=X(t) .
\]

На характеристике $C_{+}$, пересекающейся с поршнем в момент времени $\tau, u=\ddot{X}(\tau)$, и тогда из (6.74) следует, что уравнение этой характеристики таково:
\[
x=X(\tau)+\left\{a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} \dot{X}(\tau)\right\}(t-\tau) .
\]

Поэтому решение имеет вид
\[
u=\dot{X}(\tau), \quad a=a_{0}+\frac{\gamma-1}{2} \dot{X}(\tau), \quad S=S_{0},
\]

где $\tau(x, t)$ неявно определяется равенством (6.76).
Поскольку характеристики $C_{+}$являются прямыми с наклоном $d x / d t$, возрастающим с ростом $u$, ясно, что характеристики будут накладываться одна на другую, если $u$ может возрастать на поверхности поршня, т. е. если $\ddot{X}(\tau)>0$ для какого-либо значения $\tau$. Это типичное нелинейное опрокидывание изображено на рис. 2.1, и оно показывает, что образуются ударные волны. Если $и$ возрастает, то возрастают $a, p$ и $\rho$, так что опрокидывание и ударные волны возникают в области сжатия возмущения. Для изучения ударных волн необходимо пересмотреть предположения, лежащие в основе равенств (6.72) и (6.73), а также обсудить соответствующие условия на разрыве.

Для волны разрежения решение, даваемое формулами (6.76) и (6.77), является полным. Особый интерес представляет предельный случай, когда поршень внезапно выдергивается со скоростью $-V$. Имеются однородная область, где
\[
u=-V, \quad a=a_{0}-\frac{\gamma-1}{2} V,
\]

расположенная сразу за поршнем, и переходная область между ней и первоначальной невозмущенной областью, описываемая центрированным веером характеристик, как показано на рис. 6.2.
Рис. 6.2. Центрированный веер разрежения.

Поскольку все эти характеристики начинаются в точке $x=t=0$, их уравнения имеют вид
\[
x=\left(a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} u\right) t, \quad-V \leqslant u \leqslant 0 .
\]

Все значения $u$, лежащие в интервале от $-V$ до 0 , мгновенно достигаются в начале координат, но каждое значение определяет «свою» характеристику из веера. Разрешив это соотношение относительно $u$ и добавив выражение для $a$ из (6.73), получим систему
\[
\left.\begin{array}{l}
u=\frac{2 a_{0}}{\gamma+1}\left(\frac{x}{a_{0} t}-1\right), \\
a=a_{0}\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+1} \frac{x}{a_{0} t}+\frac{2 \gamma}{\gamma+1}\right),
\end{array}\right\} 1-\frac{\gamma+1}{2} \frac{V}{a_{0}}<\frac{x}{a_{0} t}<1 .
\]

Если поршень движется вперед со скоростью $V$, то веер выворачивается и образует многолистную область, которую можно рассматривать как складку в $(x, t)$-плоскости (ср. с рис. 2.3). Это, конечно, соответствует мгновенному опрокидыванию, которое следует заменить ударной волной.

Для других задач аналогичные рассуждения применимы, как правило, вблизи фронта произвольного возмущения, распространяющегося в однородную область. Существует область, в которой траектории частиц и одно семейство характеристик выходят из лежащей впереди однородной области, так что в этой области течение является изәнтропическим и один инвариант Римана всюду имеет одно и то же значение. Другое семейство характеристик «переносит» возмущение: на каждой из них параметры течения остаются постоянными, и каждая из них является прямой линией. Область простой волны простирается назад до первой траектории частицы, выходящей из неоднородной области. Рис. 6.1 остается

справедливым, но траектория поршня заменяется этой граничной характеристикой. Возникновение таких областей простой волны, прилежащих к однородным областям, хорошо иллюстрируется задачей Копи в § 6.12.