Для волн, симметричных относительно начала координат, имеем $\varphi=\varphi(R, t)$, где $R$ – расстояние от центра (начала координат). Волновое уравнение сводится к следующему:
\[
\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial R^{2}}+\frac{2}{R} \frac{\partial \varphi}{\partial R} .
\]

Любопытно, что это уравнение также можно записать в виде
\[
\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}(R \varphi)}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2}(R \varphi)}{\partial R^{2}},
\]

что совпадает с одномерным волновым уравнением. Общее решение имеет следующий простой вид:
\[
\varphi=\frac{j(R-c t)}{R}+\frac{g(R+c t)}{R} .
\]

Для источника, генерирующего только уходящие волны, решение принимает вид
\[
\varphi=\frac{f(R-c t)}{R},
\]

где $f$ определяется свойствами источника. Обычно их удобно задавать в виде
\[
Q(t)=\lim _{R \rightarrow 0} 4 \pi R^{2} \frac{\partial \varphi}{\partial R} .
\]

Это дает
\[
Q(t)=-4 \pi f(-c t)
\]
1) Условие берется с заданной функцией $\varphi_{x}$, а не $\varphi$ для удобства сравнения с функциями источника для сферических и цилиндрических волн.

a
\[
\varphi=-\frac{1}{4 \pi} \frac{Q(t-R / c)}{R} .
\]

В акустике $\partial \varphi / \partial R$ – радиальная скорость, а $Q(t)$ – объемный расход жидкости.

Для задачи Коши, хотя она и состоит всего лишь в определении функций $f$ и $g$ в выражении (7.22), репение оказывается более интересным, чем можно было бы ожидать. Рассмотрим в акустическом приближении «задачу о взрыве пара»: цусть давление внутри пара радиуса $R_{0}$ равно $p_{0}+P$, тогда как давление снаружи равно $p_{0}$. Газ первоначально покоится, и оболочка пара взрывается в момент времени $t=0$. Согласно (7.3) и (7.4), начальные условия можно записать в виде
\[
\varphi=0, \quad \varphi_{t}=\left\{\begin{array}{cl}
-\frac{P}{\rho_{0}}, & R<R_{0}, \\
0, & R>R_{0} .
\end{array}\right.
\]

Следовательно, репение
\[
\varphi=\frac{f\left(R-a_{0} t\right)}{R}+\frac{g\left(R+a_{0} t\right)}{R}
\]

должно удовлетворять условиям
\[
\begin{aligned}
f(R)+g(R) & =0, \quad 0<R<\infty, \\
f^{\prime}(R)-g^{\prime}(R) & =\left\{\begin{array}{cc}
\frac{P}{\rho_{0} a_{0}} R, & 0<R<R_{0}, \\
0, & R_{0}<R<\infty .
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

Эти условия определяют $f$ и $g$ для положительных значений их аргументов. Однако в решение (7.25) входят значения $f$ и для отрицательных значений аргумента. Недостающее условие связано с поведением решения в начале координат. Поскольку в начале координат источник отсутствует, мы имеем
\[
\lim _{R \rightarrow 0} R^{2} \frac{\partial \varphi}{\partial R}=0
\]

откуда
\[
f\left(-a_{0} t\right)+g\left(a_{0} t\right)=0, \quad 0<t<\infty .
\]

Это условие определяет $f$ для отрицательных значений аргумента по известным значениям $g$ для положительных значений аргумента.
Решая уравнения (7.26) и (7.27), получаем
\[
\begin{array}{l}
f(\xi)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{4} \frac{P}{\rho_{0} a_{0}}\left(\xi^{2}-R_{0}^{2}\right), & -R_{0}<\xi<R_{0}, \\
0, & R_{0}<|\xi|, .
\end{array}\right. \\
g(\xi)=\left\{\begin{array}{cc}
-\frac{1}{4} \frac{P}{\rho_{0} a_{0}}\left(\xi^{2}-R_{0}^{2}\right), & 0<\xi<R_{0}, \\
0, & R_{0}<\xi .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Итак, формула для возмущения давления имеет вид
\[
p-p_{0}=\frac{p}{2 R}\left\{\left(R-a_{0} t\right) F+\left(R+a_{0} t\right) G\right\},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
F=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если }-R_{0}<R-a_{0} t<R_{0}, \\
0 \text { в противном случае } ;
\end{array}\right. \\
G=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если } 0<R+a_{0} t<R_{0}, \\
0 \text { в противном случае. }
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Изменение давления со временем изображено на рис. 7.1. Для точки $R>R_{0}$ давление скачком возрастает на $P R_{0} /(2 R)$
Рис. 7.1. Картнна давления в задаче о взрыве шара.

в момент времени $t=\left(R-R_{0}\right) / a_{0}$, затем избыточное давление линейно убывает со временем, достигая величины $-P R_{0} /(2 R)$ в момент времени $t=\left(R+R_{0}\right) / a_{0}$, а потом скачком возвращается к нулю. Даже при $R=R_{0}$ скачок на фронте волны равен только $P / 2$, остальная часть $P / 2$ от полного скачка $P$ поглощается идущей к центру волной разрежения.

Для внутренних точек $R<R_{0}$ скачкообразное изменение давления, уменьшающее исходное значение $P$ до $P\left(1-R_{0} /(2 R)\right)$, происходит в момент времени $t=\left(R_{0}-R\right) / a_{0}$, затем избыточное давление линейно убывает со временем, достигая величины $-P R_{0} /(2 R)$ в момент времени $t=\left(R_{0}+R\right) / a_{0}$, а потом скачком возвращается к нулю. Заметим, что в центре $R=0$ изменения бесконечно велики, но весь процесс занимает бесконечно малый интервал времени!

Интересно, что всюду неотрицательное возмущение давления приводит к уходящей волне с равными положительной и отрицательной фазами. В действительности такой профиль в виде $N$-волны типичен для двух- и трехмерных волн. Причины этого можно выяснить следующими рассуждениями. В уходящей волне

давление и радиальная скорость выражаются формулами
\[
\begin{aligned}
p-p_{0} & =\frac{\rho_{0} a_{0} f^{\prime}\left(R-a_{0} t\right)}{R}, \\
u & =\frac{f^{\prime}\left(R-a_{0} t\right)}{R}-\frac{f\left(R-a_{0} t\right)}{R^{2}} .
\end{aligned}
\]

Во-первых, следует отметить, что для любой волны, у которой как $p-p_{0}$, так $u$ и обращаются в нуль после прохождения волны, $\kappa a \kappa f^{\prime}$, maк i должны обращаться в нуль. Поэтому $f^{\prime}$ должна принимать как положительные, так и отрицательные значения, чтобы интеграл от нее, равный $f$, обращался в нуль. Во-вторых, рассмотрим объемный расход через сферу большого радиуса $R$. Для больших значений $R$ этот расход составляет
\[
4 \pi R^{2} u \sim 4 \pi R f^{\prime}\left(R-a_{0} t\right) .
\]

Величина расхода растет с увеличением $R$. Если бы $f^{\prime}$, которая шропорциональна давлению, была бы всегда положительной, это привело бы к бесконечно большому оттоку жидкости при $R \rightarrow \infty$. Однако для $N$-волны за большим уходящим потоком немедленно следует уравновешивающий большой входящий поток, так что суммарный расход конечен.

Для плоских волн ни один из этих эффектов не возникает и положительное возмущение приводит к волнам с положительными $p-p_{0}$ и $u$.