Рассмотрим невязкую несжимаемую жидкость (воду) в однородном поле тяжести. Пространственные координаты обозначим через $\left(x_{1}, x_{2}, y\right)$, а соответствующие компоненты вектора скорости $\mathbf{u}$ через ( $\left.u_{1}, u_{2}, v\right)$. Ускорение свободного падения $g$ направлено по отрицательной полуоси $y$. Уравнения движения невязкой жидкости были приведены в гл. 6 (см. уравнения (6.49)). Тешерь предположим дополнительно, что плотность $\rho$ остается постоянной и что поле внешних сил имеет вид $\mathbf{F}=-\rho g \mathbf{j}$, где $\mathbf{j}-$ единичный вектор, направленный вдоль оси $y$. Тогда уравнения примут следующий вид:
\[
\begin{array}{c}

abla \cdot \mathbf{u}=0, \\
\frac{D \dot{\mathbf{u}}}{D t}=\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot
abla) \mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}
abla p-g \mathbf{j} .
\end{array}
\]

В большинстве задач теории волн на воде течение можно считать безвихревым, так что $\operatorname{rot} \mathbf{u}=0$ и можно ввести потенциал скорости $\varphi$, определяемый равенством $\mathbf{u}=
abla \varphi$. Для доказательства
1) Читатель, интересующийся математической стороной дела, может обратиться, например, к следующим книтам: Теория поверхностных волн, сборник, М., ИЛ, 1959 ; Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Іроблемы гидродинамики и их математические модели, М., «Наука», 1973; Налимов В. И., ІІухачев В. В., Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей, Новосибирск, Изд-во НГУ, 1975.- IIрим. ред.

можно, как обычно, воспользоваться уравнением для вихря $\omega=$ $=\operatorname{rot} \mathbf{u}$. Сначала уравнение (13.2) записывается в виде
\[
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+
abla\left(\frac{1}{2} \mathbf{u}^{2}\right)+\mathbf{\omega} \times \mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}
abla p-g \mathbf{j} .
\]

Для того чтобы исключить давление, применим к этому уравнению оператор rot и получим уравнение Гельмгольца
\[
\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t}+
abla \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{u})=0 .
\]

Поскольку $
abla \cdot \mathbf{u}=0$, последнее уравнение можно переписать так:
\[
\frac{D \boldsymbol{\omega}}{D t}=\frac{\partial \boldsymbol{\omega}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot
abla) \boldsymbol{\omega}=(\boldsymbol{\omega} \cdot
abla) \mathbf{u} .
\]

Далее, $\boldsymbol{\omega}=0$ – допустимое решение и это решение единственно, например, при условии, что все компоненты $
abla \mathbf{u}$ ограничены. Следовательно, если $\omega=0$ первоначально, то это [справедливо и для всех последующих моментов времени. В теории волн на воде типичные задачи связаны с распространением волн на покоящейся воде или в однородном потоке. В обоих случаях в исходном состоянии $\omega=0$ и приведенные выше рассуждения применимы. Мы ограничимся исследованием безвихревых течений.
Когда $\mathbf{u}=
abla \varphi$, уравнение (13.3) интегрируется, и мы находим
\[
\frac{p-p_{0}}{\rho_{0}}=B(t)+\varphi_{t}-\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}-g y,
\]

где $B(t)$ – произвольная функция, а $p_{0}$ – произвольная постоянная, выделенная из $B(t)$ для удобства учета условия на свободной поверхности. Ясно, что $B(t)$ можно включить в $\varphi$, выбрав новый потенциал $\varphi^{\prime}=\varphi-\int B(t) d t$. Обычно мы предполагаем, что это сделано, и получаем
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{u}=
abla \varphi, \\
\frac{p-p_{0}}{\rho_{0}}=-\varphi_{t}-\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}-g y .
\end{array}
\]

Согласно (13.1), потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа
\[

abla^{2} \varphi=0 .
\]

После того как найдено решение уравнения (13.8) с соответствующими граничными условиями, представляющие интерес физические величины $\mathbf{u}, p$ определяется равенствами (13.7). Это выглядит довольно просто и кажется мало относящимся к волнам, поскольку фигурирует уравнение Лапласа. Такое впечатление опибочно, потому что условия на свободной поверхности обладают удивительными свойствами.

Рассмотрим случай, когда над поверхностью воды находится воздух (хотя, очевидно, можно было бы рассматривать две любые жидкости). Поверхность раздела, описываемая уравнением
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, y, t\right)=0 .
\]

определяется условием, что частицы жидкости не пересекают ее. Поатому компонента скорости жидкости, нормальная к поверхности раздела, должна совпадать с нормальной компонентой скорости самой поверхности раздела. Нормальная компонента скорости поверхности, определяемой уравнением (13.9), равна
\[
\frac{-f_{t}}{\sqrt{f_{x_{1}}^{2}+f_{x_{2}}^{2}+f_{y}^{2}}} .
\]

Нормальная компонента скорости жидкости составляет
\[
\frac{u_{1} f_{x_{1}}+u_{2} f_{x_{2}}+v f_{y}}{\sqrt{f_{x_{1}}^{2}+f_{x_{2}}^{2}+f_{y}^{2}}} .
\]

Условие равенства этих компонент дает
\[
\frac{D f}{D t}=f_{t}+u_{1} f_{x_{1}}+u_{2} f_{x_{2}}+v f_{y}=0 .
\]

Оно показывает, что частицы, находящиеся на поверхности, остаются на ней, и часто вводится непосредственно на этих основаниях. Однако прямое утверждение может внушать недоверие и, по-видимому, предшочительнее вывести его, как было сделано выше, исходя из основного свойства поверхности раздела.

В дальнейпем удобно описывать поверхность раздела уравнением $y=\eta\left(x_{1}, x_{2}, t\right)$, положив в (13.10)
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, y, t\right) \equiv \eta\left(x_{1}, x_{2}, t\right)-y .
\]

Тогда граничное условие принимает вид
\[
\frac{D \eta}{D t}=\eta_{t}+u_{1} \eta_{x_{1}}+u_{2} \eta_{x_{2}}=v .
\]

Уравнение (13.10) или (13.11) является кинематическим условием на границе. Существует также динамическое условие. Поскольку поверхность раздела не обладает массой, силы, приложенные к обеим ее сторонам, должны быть равны. Отсюда, пренебрегая на время поверхностным натяжением, получаем, что давление в воде и давление в воздухе у поверхности должны совпадать.

Любое возмущение поверхности, очевидно, приводит к некоторому движению воздуха, но можно считать, что связанное с этим изменение давления пренебрежимо мало и давление воздуха можно ащроксимировать его невозмущенной величиной. При этом исходим из того, что плотность воздуха очень мала по сравнению

с плотностью воды и изменения давления имеют порядок $\rho \mathbf{u}^{2}$. Это предположение можно детально подтвердить с учетом движения воздуха в типичных примерах (см. § 13.7).

Если на указанных основаниях пренебречь движением воздуха, то второе граничное условие принимает вид $p=p_{0}$, где $p$ – давление в воде, определяемое вторым уравнением (13.7), а $p_{0}$ ностоянное значение в невозмущенном воздухе. Таким образом, два граничных условия на свободной поверхности записываются в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{c}
\eta_{t}+\varphi_{x_{1}} \eta_{x_{1}}+\varphi_{x_{2}} \eta_{x_{2}}=\varphi_{y}, \\
\varphi_{t}+\frac{1}{2}\left(\varphi_{x_{1}}^{2}+\varphi_{x_{2}}^{2}+\varphi_{y}^{2}\right)+g \eta=0
\end{array}\right\} \text { на } y=\eta\left(x_{1}, x_{2}, t\right) .
\]

Обычно для уравнения Лапласа задается одно граничное условие, но при этом считается, тто граница известна. На свободной поверхности необходимы два условия, поскольку кроме $\varphi$ надо определить еще положение поверхности $\eta$.

На твердой неподвижной границе нормальная компонента скорости жидкости должна обращаться в нуль, т. е. $\mathbf{n} \cdot
abla \varphi=0$. В частности, если дно задано уравнением $y=-h_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)$, то имеем
\[
\varphi_{y}+\varphi_{x_{1}} h_{0 x_{1}}+\varphi_{x_{2}} h_{0 x_{2}}=0 \text { при } y=-h_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\]

Это частный случай условия на поверхности раздела (13.10) при $f\left(x_{1}, x_{2}, y, t\right)=y+h_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)$. Для горизонтального плоского дна $h_{0}$ постоянна п
\[
\varphi_{y}=0 \text { при } y=-h_{0} \text {. }
\]