Бо́льшая часть предыдущей главы была посвящена выводу основных уравнений теории. Изучим теперь уравнения модуляций и их решения более подробно и подчеркнем существенное различие между линейной и нелинейной теориями. В этой главе мы рассмотрим основной случай одномерных волн в однородной среде и для простоты предположим, что псевдочастоты и псевдоволновые числа не возникают. В качестве типичных примеров будем здесь использовать нелинейное уравнение Клейна – Гордона и задачи, приведенные в § 14.1. Более специальные приложения к нелинейной оптике и волнам на воде составят содержание следующей. главы. Обобщения на большее число измерений, неоднородную среду и системы высших порядков будут кратко изложены в виде дополнительных замечаний.

Модулированные волновые пакеты во всех порядках приближения описываются вариационным принципом (14.44). В низшем порядке приближения имеем (14.47) – (14.48) и при помощи преобразования Гамильтона получаем усредненный вариационный принцип
\[
\delta \iint \mathscr{L}(\omega, k, A) d x d t=0,
\]

где $\omega=-\theta_{t}$ и $\theta_{x}=k$. (Мы опускаем обозначения, принятые в конце предыдущей главы, и возвращаемся к исходным, за исключением случаев, когда точное упорядочение членов снова становится существенным.) В этом низшем приближении вариационные уравнения для $A$, $\omega$ и $k$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{A} & =0, \\
\frac{\partial}{\partial t} \mathscr{L}_{\omega}-\frac{\partial}{\partial x} \mathscr{L}_{k} & =0, \\
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Изучим сначала эти уравнения, а затем вернемся к вариационному принципу (14.44) для учета эффектов дисперсии в приближения более высокого порядка.