В линейном случае при отделении функциональной формы функции $\Phi^{(0)}$ от дисперсионного соотношения трудностей не возникает. Мы заранее знаем, что решение уравнения (14.49) или (14.51) примет вид
\[
\Phi^{(0)}=a \cos (\theta+\eta),
\]
где $a(X, T)$ – амплитуда, связанная с $A(X, T)$ и используемая вместо нее. Фазовый параметр $\eta(X, T)$ при построении усредненного лагранжиана (14.48) вышадает и не играет роли в этом приближении низшего порядка. Эта довольно тривиальная информация о $\Phi^{(0)}$ является единственной информацией, извлеченной из (14.51), и не включает дисперсионного соотнопения. Когда эта функция $\Phi^{(0)}$ подставлена в (14.48), для усредненного лагранжиана получается выражение
\[
\mathscr{L}(v, k, a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} L(-v a \sin \theta,-k a \sin \theta, a \cos \theta) d \theta . !
\]
В почти линейном случае трудностей также не возникает. Можно использовать разложение Стокса
\[
\Phi^{(0)}=a \cos (\theta+\eta)+a_{2} \cos \left(2 \theta+\eta_{2}\right)+a_{3} \cos \left(3 \theta+\eta_{3}\right)+\ldots,
\]
опять не включая в рассмотрение дисперсионное соотношение. Соотношения между $a_{2}, a_{3}, \ldots, \eta_{2}, \eta_{3}, \ldots$ и $a, \eta$ можно либо найти из (14.49) или (14.51), либо оставить произвольными и также определить при помощи вариационного приндипа. Например, в случае уравнения Клейна – Гордона с $V(\varphi)$ вида (14.10) положим
\[
\Phi^{(0)}=a \cos \theta+a_{3} \cos 3 \theta+a_{5} \cos 5 \theta+\ldots .
\]
(Легко видеть заранее, что достаточно использовать только члены нечетных порядков.) Тогда ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
\bar{L}^{(0)} & \left.=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{1}{2} \overline{(v}^{2}-k^{2}\right) \Phi_{\theta}^{(0)}-\frac{1}{2} \Phi^{(0) 2}-\sigma \Phi^{(0) 4}\right\} d \theta= \\
& =\frac{1}{4}\left(v^{2}-k^{2}-1\right) a^{2}-\frac{3 \sigma a^{4}}{8}+\left(2 a_{3}^{2}-\frac{1}{2} \sigma a^{3} a_{3}\right)+\ldots .
\end{aligned}
\]
Вариадия по $a_{3}$ показывает, что $a_{3}=1 / 8 \sigma a^{3}$, что согласуется с разложением (14.11). Подставив это выражение для $a_{3}$ в $\bar{L}^{(0)}$, получим
\[
\mathscr{L}(v, k, a)=1 / 4\left(v^{2}-k^{2}-1\right) a^{2}-3 / 8 \sigma a^{4}-1 /{ }_{32} \sigma^{2} a^{6}+\ldots .
\]
Вариация по $a$ теперь дает дисперсионное соотношение (14.12).
В полностью нелинейном случае труднее отделить функциональную форму функции $\Phi^{(0)}$ от дисперсионного соотношения. Однако это можно сделать, записав уравнения в виде уравнений Гамильтона.
Преобразование Гамильтона
Это преобразование будет применено здесь только к приближению низшего порядка (14.47) – (14.51), так что для упрощения обозначений мы опустим у всех величин индекс нуль. Идея состоит в исключении величины $\Phi_{\theta}$ в пользу производной $\partial L / \partial \Phi_{\theta}$ точно так же, как в обычной механике $\dot{q}$ исключается в пользу обобщенного импульса $p=\partial L / \partial \dot{q}$. Новая переменная определяется как
\[
\Pi=\frac{\partial L}{\partial \Phi_{\theta}}=
u L_{1}+k L_{2},
\]
а гамильтониан $H(\Pi, \Phi ; v, k)$ определяется формулой
\[
H=\Phi_{\theta} \frac{\partial L}{\partial \Phi_{\theta}}-L=\Phi_{\theta} v L_{1}+k L_{2}-L .
\]
1) Член, пропорциональный ( $v^{2}-k^{2}-1$ ) $a_{3}^{2}$, опущен, поскольку из последующих уравнений ! видно, что $v^{2}-k^{2}-1=O\left(a^{2}\right)$.
Согласно определению преобразования,
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial \theta}=\frac{\partial H}{\partial \Pi},
\]
и, в силу (14.49),
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial \theta}=-\frac{\partial H}{\partial \Phi} .
\]
Эти равенства заменяют уравнение второго порядка (14.49) для Ф двумя уравнениями первого порядка для Ф и П. Теперь можно переписать вариационный принцип (14.47) с учетом того, что
\[
\bar{L}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\Pi \Phi_{\theta}-H\right) d \theta .
\]
Кроме того, возможно важное обобщение. В исходной форме вариация $\delta \Phi_{\theta}$ связана с $\delta \Phi$; следовательно, вариация $\delta$ пвязана с вариацией по Ф равенством (14.53) и уравнение (14.55) является следствием преобразования, а не вариационным уравнением. Однако заметим просто, что как (14.55), так и (14.56) следуют из (14.57), если Ф и П варьируются независимо. Мы, следовательно, вправе сделать такое обобщение. Далее следует заметить, что (14.51) представляет собой не что иное, как интеграл энергии
\[
H(\Pi, \Phi ; v, k)=A(X, T)
\]
для системы (14.55) – (14.56). Более того, равенство определяет функцию
\[
\Pi(\Phi ; v, k, A) .
\]
как одно из вариационных уравнений, невозможно вывести еще и дисперсионное соотношение. Таким образом, достигнуто желаемое разделение уравнения (14.51) на информацию о форме репений (теперь даваемую зависимостью ПІ от Ф) и дисперсионное соотношение. Наконец, поскольку стационарные значения выражения (14.57), как мы знаем, удовлетворяют равенству (14.58), можно ограничиться вариациями функций, уже удовлетворяющих равенству (14.58). Тогда усредненный лагранжиан (14.57) оказывается равным
\[
\mathscr{L}(v, k, A)=\frac{1}{2 \pi} \oint \Pi(\Phi ; v, k, A) d \Phi-A,
\]
где П (Ф; $v, k, A)$ – функция, определяемая из равенства (14.58). Вариационный принцип принимает вид
\[
\delta \iint \mathscr{L}(v, k, A) d X d T=0 .
\]
Вариация по $A$ – единственное, что осталось от вариаций по Ф и П. Вариационные уравнения дают
\[
\begin{aligned}
\delta A: & \mathscr{L}_{A} & =0, \\
\delta \Theta: & \frac{\partial}{\partial T} \mathscr{L}_{v}+\frac{\partial}{\partial X} \mathscr{L}_{k} & =0,
\end{aligned}
\]
и к ним добавляется условие совместности
\[
\frac{\partial k}{\partial T}-\frac{\partial
u}{\partial X}=0 .
\]
Это и есть уравнения (14.28) – (14.30) с $v=-\omega$.
В случае уравнения Клейна – Гордона лагранжиан
\[
L=1 / 2\left(v^{2}-k^{2}\right) \Phi_{\theta}^{2}-V(\Phi)
\]
и преобразование Гамильтона дает
\[
\begin{array}{l}
\Pi=\frac{\partial L}{\partial \Phi_{\theta}}=\left(v^{2}-k^{2}\right) \Phi_{\theta}, \\
H=\Phi_{\theta} \frac{\partial L}{\partial \Phi_{\theta}}-L=1 / 2\left(v^{2}-k^{2}\right)^{-1} \Pi^{2}+V(\Phi) .
\end{array}
\]
Из интеграла $H=A$ получаем
\[
\Pi=\left\{2\left(v^{2}-k^{2}\right)\right\}^{1 / 2}\{A-V(\Phi)\}^{1 / 2}
\]
и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L} & =\frac{1}{2 \pi} \oint \Pi d \Phi-A= \\
& =\frac{1}{2 \pi}\left\{2\left(v^{2}-k^{2}\right)\right\}^{1 / 2} \oint\{A-V(\Phi)\}^{1 / 2} d \Phi-A,
\end{aligned}
\]
что согласуется с (14.26).
Естественно, преобразование Гамильтона можно использовать также и в линейном или почти линейном случаях. Выражения для $\mathscr{L}$ при этом могут отличаться по форме от полученных ранее, но, конечно, результирующие вариационные уравнения будут эквивалентными.
