Перринг и Скирм [1], по-видимому, догадались, что их численное решение для двух взаимодействующих уединенных волн может быть представлено выражением
\[
\psi=\operatorname{tg} \frac{\varphi}{4}=U \frac{\operatorname{sh} x\left(1-U^{2}\right)^{-1 / 2}}{\operatorname{ch} U t\left(1-U^{2}\right)^{-1 / 2}},
\]
а затем установили, что это точное решение! Для того чтобы убедиться в том, что формула (17.71) описывает взаимодействие двух уединенных волн, заметим, что при $t \rightarrow \pm \infty$ она дает следующую асимптотику:
\[
\begin{aligned}
t \rightarrow-\infty: & \Psi \sim U \exp \left(\frac{x+U t}{\sqrt{1-U^{2}}}\right)-U \exp \left(-\frac{x-U t}{\sqrt{1-U^{2}}}\right) . \\
t \rightarrow+\infty: & \psi \sim-U \exp \left(-\frac{x+U t}{\sqrt{1-U^{2}}}\right)+U \exp \left(\frac{x-U t}{\sqrt{1-U^{2}}}\right) .
\end{aligned}
\]
Каждое из этих выражений описывает уединенные волны, движущиеся в противоположных направлениях. Положительная петля движется со скоростью $U$, приходит из $x=-\infty$ и остается положительной после взаимодействия. Множитель $U$ перед экспонентами можно включить в экспоненты как сдвиги по $x$. Положительная петля, приходящая из $-\infty$, в результате взаимодействия сдвигается на
\[
2 \sqrt{1-U^{2}} \ln (1 / U) .
\]
Выражение, содержащее $\psi=\operatorname{tg}(\varphi / 4)$, наводит на мысль, что преобразование исходного уравнения в уравнение для $\psi$ может оказаться полезным в общем случае. Уравнение, которому удовлетворяет $\psi$, а именно
\[
\left(1+\psi^{2}\right)\left(\psi_{t t}-\psi_{x x}+\psi\right)-2 \psi\left(\psi_{t}^{2}-\psi_{x}^{2}+\psi^{2}\right)=0,
\]
обладает более симметричной структурой и вводит наиболее естественный для данной задачи линейный оператор
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+1
\]
Это в некоторой степени напоминает роль, которую играет уравнение (17.11) для функции $F$ в обсуждении уравнения Кортевегаде Фриза. Решения уравнения (17.72), соответствующие уединенным волнам, имеют вид
\[
\psi= \pm \exp \left( \pm \frac{x-U t}{\sqrt{1-U^{2}}}\right),
\]
так что данное преобразование спова согласуется с грубым рабочим правилом: надо найти замену переменных, которая переводит уединенные волны в экспоненты, удовлетворяющие уравнению с линейным оператором (17.73).
Решения Перринга – Скирма можно найти с помощью разделения переменных, т. е. в виде
\[
\psi=f(x) g(t),
\]
хотя уравнение для $\psi$ и нелинейно. Уравнение удовлетворяется при условии, что
\[
\begin{array}{l}
f^{\prime 2}=\mu f^{4}+(1+\lambda) f^{2}-v, \\
g^{\prime 2}=v g^{4}+\lambda g^{2}-\mu,
\end{array}
\]
где $\lambda, \mu$ и $v$ – постоянные. Эти уравнения имеют решения в эллиптических функциях, для которых решения Перринга – Скирма являются частными случаями.
Однако более содержателен подход к взаимодействию уединенных волн, развитый Дж. Ләмбом [1, 2] и использующий преобразования Беклунда. Этот подход не связан с уравнением (17.72).
