Системы точечных масс с нелинейными взаимодействиями между соседними точками можно рассматривать как модели колебаний решеток в кристаллах, причем физический интерес представляют вопросы распределения энергии между различными модами колебаний, тепловое расширение при возбуждении и т. п. Такие системы можно рассматривать как пространственно дискретные аналоги непрерывных систем, изучаемых в этой книге.

Одномерная цепочка, описываемая уравнением (17.7), приводит к простейшей модели распространения волн. Указанное уравнение записано применительно к массам и пружинам, но допу-

скает и другие интерпретации; можно считать, например, что оно описывает распространение волн в линии передачи с отводами, исследованное Хиротой и Судзуки [1,2]. Эти авторы провели также эксперименты, подтверждающие предсказания теории о наличии уединенных волн и их взаимодействиях.
В линеаризованном пределе $f(r)=-\gamma r$ (17.7) имеет вид
\[
\ddot{m} r_{n}=\gamma\left(r_{n+1}+r_{n-1}-2 r_{n}\right) .
\]

Общеизвестно решение, описывающее бегущую волну:
\[
r_{n}=a \cos \theta, \theta=\omega t-p n .
\]

Эта функция является решением, так как подстановка дает
\[
-\frac{m \omega^{2}}{\gamma} \cos \theta=\cos (\theta-p)+\cos (\theta+p)-2 \cos \theta
\]

и правая часть оказывается пропорциональной $\cos \theta$, в ситу формул для суммы и разности тригонометрических функций. Имеем «дисперсионное соотношение»
\[
\frac{m \omega^{2}}{\gamma}=2(1-\cos p)=4 \sin ^{2} \frac{p}{2} .
\]

Параметр $p$ аналогичен волновому числу в непрерывных задачах.
Для малых амплитуд $a$ можно рассматривать разложения типа Стокса
\[
r_{n}=a \cos \theta+a_{2} \cos 2 \theta+\ldots ;
\]

они дают нелинейные поправки к (17.78), и так же, как в непрерывном случае, можно построить теорию модуляций (Лоуәлл [1]). Однако получение существенно нелинейных решений, и в частности уединенных волн, является гораздо более трудной задачей, чем в непрерывном случае. Можно ожидать, что они существуют, но были бы желательны конкретные примеры. Трудность состоит в том, что требуются функции специального вида и формулы суммирования для них, которые позволили бы обращаться с правой частью так же, как и в уравнении (17.77). Тода [1, 2] нашел такие решения для
\[
f(r)=-\alpha\left(1-e^{-\beta r}\right) .
\]