Рассмотрим систему (5.9) в случае, когда она допускает постоянные решения $u_{j}=u_{j}^{0}$. Для этого необходимо, чтобы вектор b не зависел от $x$ и $t$ и чтобы вектор $\mathbf{u}^{(0)}$ удовлетворял условию
\[
b_{i}\left(\mathbf{u}^{(0)}\right)=0 .
\]

Для систем вида (5.9) характеристики никогда не направлены вдоль оси $x$, так что $t$ можно использовать как параметр на волновом фронте и записать уравнение волнового фронта в виде $x=$ $=X(t)$. Вместо того чтобы вычислять пределы производных с помощью уравнений, в задаче о волновом фронте особенно удобно использовать әквивалентный способ разложения решения по степеням
\[
\xi=x-X(t) .
\]

Если первые производные разрывны, то удобно строить решение в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
u_{j}=u_{j}^{(0)}, \quad \xi>0, \\
u_{j}=u_{j}^{(0)}+u_{j}^{(1)}(t) \xi+\frac{1}{2} u_{j}^{(2)}(t) \xi^{2}+\ldots, \xi<0 .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\left[\frac{\partial u_{j}}{\partial t}\right]=\dot{X}(t) u_{j}^{(1)}(t), \quad\left[\frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right]=-u_{j}^{(1)}(t),
\]

и производные высших порядков аналогичным образом сзязаны с другими коэффициентами.

Разложение в степенной ряд удобно для обобщения на особенности иного вида. Если наинизшие пропзводные, имеющие разрывы, – это производные $m$-го порядка, то степенной ряд после $u_{j}^{(0)}$ содержит члены порядка $\xi^{m}$; кроме того, можно включить особенности, соответствующие разложению по дробным степеням $|\xi|$ или по степеням $\ln |\xi|$. Вопросы сходимости здесь не существенны, мы пспользуем формалыные степенные ряды как способ вычисления производных, которые можно было бы получить и переходом к соответствующим пределам в уравнениях.

Коэффициенты в (5.27) получены подстановкой ряда в (5.9) и последовательным приравниванием коэффициентов при степенях $\xi$ к нулю. Если величины $a_{i j}$ функции от $x, t$ и $\mathbf{u}$, то их следует разложить в степенные ряды по है с коэффициентами, зависящими от $t$. Таким образом,
\[
a_{i j}=a_{i j}^{(0)}+\xi\left(\frac{\partial a_{i j}^{(0)}}{\partial u_{k}} u_{k}^{(1)}+\frac{\partial a_{i j}^{(0)}}{\partial x}\right)+\ldots,
\]

где нулевой верхний индекс означает, что аргументы у соответствующих функций равны $x=X(t), t$ и $\mathbf{u}=\mathbf{u}^{(0)}$. Однако, выписывая окончательные уравнения для $u_{j}^{(m)}(t)$, мы будем для простоты опускать нулевой верхний индекс. Подстановкой в (5.9) получаем
\[
\begin{array}{r}
a_{i j} u_{j}^{(1)}-c u_{i}^{(1)}=0, \\
a_{i j} u_{j}^{(2)}-c u_{i}^{(2)}+\left\{\frac{d u_{i}^{(1)}}{d t}+\frac{\partial a_{i j}}{\partial u_{k}} u_{j}^{(1)} u_{k}^{(1)}+\left(\frac{\partial a_{i j}}{\partial x}+\frac{\partial b_{i}}{\partial u_{j}}\right) u_{j}^{(1)}\right\}=0
\end{array}
\]

ит. д., причем $c$ означает $\dot{X}$. Эти равенства, конечно, соответствуют (5.20) и (5.24).

Из (5.30) мы выводим прежде всего, что скорость $\dot{X}=c$ должна удовлетворять уравнению
\[
\left|a_{i j}-c \delta_{i j}\right|=0
\]

и волновой фронт должен быть одной из характеристик. Если будем считать, что ранг матрицы в (5.30) равен $n-1$, то получим
\[
u_{j}^{(1)}=\sigma L_{j},
\]

где $L_{j}$ – произвольное нетривиальное решение уравнения
\[
\left(a_{i j}-c \delta_{i j}\right) L_{j}=0 .
\]

Существует также нетривиальный собственный вектор 1 , удовлетворяющий уравнению
\[
l_{i}\left(a_{i j}-c \delta_{i j}\right)=0 .
\]
(Это левый собственный вектор, отвечающий характеристической форме (5.10).) С учетом этого из уравнения (5.31) можно исключить члены с $u_{j}^{(2)}$ и получить
\[
l_{i} \frac{d u_{i}^{(1)}}{d t}+l_{i} \frac{\partial a_{i j}}{\partial u_{k}} u_{j}^{(1)} u_{k}^{(1)}+l_{i}\left(\frac{\partial a_{i j}}{\partial x}+\frac{\partial b_{i}}{\partial u_{j}}\right) u_{j}^{(1)}=0 .
\]

Наконец, подставляя скда выражения (5.33) для $u_{j}^{(1)}$, приходим к уравнению
\[
l_{i} L_{i} \frac{d \sigma}{d t}+Q \sigma^{2}+P \sigma=0,
\]

где $l_{i} L_{i}, Q$ п $P$ – известные функции от $t$.
Для гиперболических систем можно показать, что $l_{i} L_{i}
eq 0$. В других случаях, однако, может оказаться, тто $l_{i} L_{i}=0, Q=0$, $P
eq 0$, и придется заключить, что $\sigma=0$, т. е. что разрывы невозможны. Например, для системы
\[
\begin{aligned}
u_{t}-v & =0, \\
v_{t}-u_{x} & =0,
\end{aligned}
\]

эквивалентной уравнению теплопроводности, в котором $t$ и $x$ переставлены для того, чтобы привести ее к канонпческому виду (5.9), двойными характеристиками являются прямые $x=$ const. Однако $\mathbf{l}=(1,0), \mathbf{L}=(0,1), Q=0, P=-1$, так что разрывы невозможны.

Для гиперболических систем уравнение (5.37) записывается так:
\[
\frac{d \sigma}{d t}+q \sigma^{2}+p \sigma=0 .
\]

Это уравнение Риккати, которое можно репить в явном виде и найти изменение $\sigma$ (а следовательно, и $u_{j}^{(1)}$ ) вдоль волнового фронта.

Если исходная система линейна, то коэффициенты $a_{i j}$ не зависят от и п квадратичный член отсутствует. Тогда решением является
\[
\sigma(t)=\sigma(0) e^{-p_{1}(t)}, \quad p_{1}(t)=\int_{0}^{t} p\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

где $\sigma(0)$ определяется начальными условиями. Заметим, в частности, что разрывы в решении могут появиться только как следствие соответствующих разрывов граничных и начальных условий. Более того, раз появившись, они не могут исчезнуть за конечный интервал времени.

Для нелинейных систем с $q
eq 0$ уравнение (5.38) можно перешисать следующим образом:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{1}{\sigma}\right)-\frac{p}{\sigma}-q=0 ;
\]

тогда решение имеет вид
\[
\frac{1}{\sigma}=\frac{e^{p_{1}(t)}}{\sigma(0)}+e^{p_{1}(t)} \int_{0}^{t} q\left(t^{\prime}\right) e^{-p_{1}\left(t^{\prime}\right)} d t^{\prime} .
\]

Снова разрывы, однажды появившись, не могут исчезнуть за конечный интервал времени, они могут лишь стремиться к нулю при $t \rightarrow \infty$. Однако в нелинейном случае открывается новая возможность, состоящая в том, что $\sigma \rightarrow \infty$ при конечном значении $t$. Реализация этой возможности зависит от знаков $p(t), q(t)$ и от величины $\sigma(0)$. Пусть, например, речь идет об уравнении
\[
\frac{d \sigma}{d t}=v \sigma^{2}-\mu \sigma,
\]

где $\mu, v$ – положительные постоянные и $\sigma(0)=\sigma_{0}>0$. Если $\sigma_{0}<\mu / v$, то правая часть уравнения (5.41) в начальный момент отрицательна, так что $\sigma$ начинает убывать. Но тогда правая часть остается всегда отрицательной и $\sigma$ продолжает убывать. В пределе $\sigma \rightarrow 0$ как $e^{-\mu t}$ при $t \rightarrow \infty$. Однако если $\sigma_{0}>\mu / v$, то справедливо обратное и $\sigma$ монотонно возрастает. Со временем член $v \sigma^{2}$ начинает доминировать и в результате $\sigma \rightarrow \infty$ при конечном значении времени. Решение можно записать в следующем явном виде:
\[
\sigma(t)=\frac{\mu}{v} \frac{\sigma_{0}}{\sigma_{0}-\left(\sigma_{0}-\mu / v\right) e^{\mu t}} .
\]

Если $\sigma_{0}-\mu /
u>0$, то $\sigma \rightarrow \infty$ при
\[
t \rightarrow \frac{1}{\mu} \ln \frac{\sigma_{0}}{\sigma_{0}-\mu /
u} .
\]

Этот результат предсказывает нелинейное опрокидывание волнового фронта и возникновение после этого ударной волны с разрывами самих функций $u_{j}$. Хотя это рассуждение об опрокидывании и критерий вида (5.43) ограничены частным случаем волны с разрывной производной, они все же чрезвычайно ценны, поскольку в данном стучае все выкладки всегда можно провести в явном виде. Функции $p(t)$ и $q(t)$, входящие в уравнение (5.38), зависят только от коэффициентов $a_{i j}$ и $b_{i}$, п для решения этого уравнения вовсе не требуется построение решения во всей плоскости течения. Непрерывный профиль ведет себя несколько иначе, но мы получаем приблизительную оценку величин производных, нужных для возникновения опрокидывания, а также оценку времени образования разрыва. Вывести точный критерий опрокидывания на основе явной формулы для непрерывного профиля оказывается, как правило, невозможным.