Свойства семейства гиперболических волн одинаковой природы изучены теперь довольно подробно, включая различные әффекты геометрии, диффузии и затухания. Для завершения этой первой части обсудим ситуацию, когда в одной и той же задаче получаются волны различных порядков. Типичные примеры указывались в гл. 3, где были сделаны некоторые предварительные замечания. Например, потоку транспорта на одном из уровней описания соответствует система уравнений
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+(\rho v)_{x} & =0, \\
\tau\left(v_{t}+v v_{x}\right)+\frac{v}{\rho} \rho_{x}+v-V(\rho) & =0 .
\end{aligned}
\]

Эта система имеет два семейства характеристик с характеристическими скоростями
\[
v+\sqrt{v / \tau}, \quad v-\sqrt{v / \tau} .
\]

Как следствие волны с этими скоростями должны сыграть свою важную роль. Однако упрощенные уравнения
\[
\rho_{t}+(\rho v)_{x}=0, \quad v=V(\rho),
\]

которые считаются хорошим приближением при достаточно малых значениях $v$ и $\tau$, имеют одно семейство характеристик, причем характеристическая скорость не совпадает ни с одной из двух скоростей (10.2), а составляет
\[
V(\rho)+\rho V^{\prime}(\rho) .
\]

Для того чтобы не было противоречия между двумя уровнями описания, волны со скоростью (10.4) также должны играть важную роль в решениях системы (10.1), хотя они больше и не связаны с характеристиками. Наша цель здесь состоит в том, чтобы глубже выяснить роль «волн высщего порядка» (10.2) и «волн низшего порядка» (10.4) и посмотреть, как каждое из этих семейств волн модифицируется наличием другого семейства.

Рассмотрим сначала линеаризованные варианты систем типа (10.1), цоскольку в этом случае можно найти (при помощи преобразования Фурье) общие решения типичных задач и затем использовать их для выяснения наиболее характерных черт таких систем. Подобные аналитические решения полных нелинейных систем

редко удается найти, но линейные результаты можно использовать для оценки соответствующего поведения различных нелинейных волн, чтобы на этой основе ввести упрощающие предположения для их приближенного описания.

Когда системы типа (10.1) линеаризованы, то удобнее работать с эквивалентным уравнением второго порядка. Оно имеет общий вид
\[
\eta\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{2} \frac{\partial}{\partial x}\right) \varphi+\left(\frac{\partial}{\partial t}+a \frac{\partial}{\partial x}\right) \varphi=0,
\]

где коэффициенты постоянны и для определенности принято, что $c_{1}>c_{2}$. С точностью до обозначений это совпадает с уравнением (3.4) для потока транспорта; $c_{1}$ и $c_{2}$ являются линеаризованными формами выражений (10.2), а именно значениями в невозмущенном потоке, и $a$ – линеаризованной формой (10.4).

Нелинейная система (3.37) для паводковых волн аналогична системе (10.1). Характеристические скорости равны $v \pm \sqrt{g^{\prime} h}$, но приведенная система (3.38) указывает также на наличие волн низшего порядка со скоростью $3 v / 2$. Линеаризованное уравнение (3.41) имеет тот же вид, что и уравнение (10.5). Линейное уравнение (3.74), описывающее химические процессы обмена, является точным и соответствует частному виду уравнения (10.5), где одна из скоростей $c$ положена равной нулю. Другие примеры будут упомянуты ниже.

Если рассматриваемая система имеет порядок выпе второго, то число сомножителей в левой части уравнения (10.5) соответственно возрастает.

Волны высшего порядка, очевидно, описываются факторизованным оператором в (10.5). Действительно, если бы отсутствовали члены низшего порядка ( $\eta=\infty$ ), то общее решение имело бы вид
\[
\varphi=\varphi_{1}\left(x-c_{1} t\right)+\varphi_{2}\left(x-c_{2} t\right) .
\]

С другой стороны, если бы отсутствовали члены высшего порядка $(\eta=0)$, то это решение имело бы вид
\[
\varphi=\varphi_{0}(x-a t) .
\]

Последнее, конечно, соответствует упрощенному уровню описания, линеаризованный вариант которого дается уравнением
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+a \frac{\partial \varphi}{\partial x}=0
\]

Наши вопросы касаются комбинированных систем, различных ролей, которые играют волны на двух уровнях описания, и модификаций выражений (10.6) и (10.7) …

Мы можем заранее представить себе, что должно произойти. Поскольку характеристики уравнения (10.5) определяются чде-

нами высшего порядка, то первые сигналы и волновые фронты должны перемещаться со скоростями $c_{1}$ и $c_{2}$. Но чтобы не возникло противоречие с упрощенным описанием, часть возмущения должна перемещаться со скоростью $a$. Это изображено на $(x, t)$-диаграмме, приведенной на рис. 10.1. Когда параметр $\eta$ уменьпается, первые ситналы должны становиться малыми, основное возмущение должно распространятеся со скоростью $a$ и с разумной точностью аппоксимироваться выражением (10.7).
Рис. 10.1. ( $x, t$ )-диаграмма для задачи Коши. 1 – основное возмуцение, 2 – малые возмущения.
Эта картина имеет смысл только в том случае, когда $a$ лежит между $c_{1}$ и $c_{2}$. Но, как мы видели в гл. 3 , именно это условие необходимо для устойчивости, так что условие устойчивости тесно связано с идеями распространения волн. Трудно удержаться от высказығания, что неустойчигость, возникающая при $a$, не лежащем в интервале между $c_{1}$ и $c_{2}$, объясняется тем, что в соревновании двух множеств волн волны, распространяющиеся со скоростью $a$, не могут одержать победу.

Здесь также возникает вопрос о подходящих граничных условиях, так как число граничных условий определяется числом характеристик, направленных в интересующую нас $(x, t)$-область. Однако число характеристик может меняться при переходе от (10.1) к (10.3) или от (10.5) к (10.8), и требуется разъяснить әто кажущееся несоответствие. В силу неравенства
\[
c_{1}>a>c_{2},
\]

накладываемого устойчивостью, уравнение (10.5) может потребовать лишь больше граничных условий, чем (10.8). Когда это имеет место, то между двумя уровнями описания не будет противоречия, если дополнительная информация для уравнения (10.5) будет влиять на решение только в нограничном слое, тонком для малых $\eta$, а вне этого слоя решение уравнения (10.5) будет хорошо аппрок-

симироваться решением уравнения (10.8). Соответствующее решение уравнения (10.8) будет удовлетворять только части граничных условий, согласование же с дополнительными граничными условиями будет происходить в пограничном слое.

Детали всех этих рассуждений подтверждаются точными решениями уравнения (10.5). Затем подходящие идеи можно частично перенести на нелинейную ситуацию. В нелинейном случае имеется возможность возникновения ударных волн, и на различных уровнях описания эти волны будут иметь различную структуру. Понимание связей между ударными волнами различных типов приводит к простому критерию, предсказывающему, когда структура ударной волны все еще будет включать разрыв. Примерами таких условий являются неравенства (3.17) и (3.52). Теперь мы сможем рассмотреть эти условия более общей точки зрения и привести дальнейшие примеры.|