Связь уравнения
\[
i u_{t}+u_{x x}+v|u|^{2} u=0
\]

с приближенным описанием модулированных пучков в нелинейной оптике была объяснена в § 16.4. Здесь мы отметим его общее значение для зависящих от времени диспергирующих волн. Общее решение для линейной диспергирующей моды имеет вид
\[
\int_{-\infty}^{\infty} F(k) e^{i k x-i \omega(k) t} d k
\]

причем равенство $\omega=\omega(k)$ представляет собой дисперсионное соотношение. Для модулированного волнового пакета с большєй частью энергии, сосредоточенной в гармониках с волновыми числами, близкими к некоторому значению $k_{0}$, функция $F(k)$ сконцентрирована около $k=k_{0}$, и интеграл (17.61) можно аппроксимировать выражением
\[
\Phi=\int_{-\infty}^{\infty} F(k) \exp \left(i k x-\left\{\omega_{0}+\left(k-k_{0}\right) \omega_{0}^{\prime}+\frac{1}{2}\left(k-k_{0}\right)^{2} \omega_{0}^{\prime \prime}\right\} t\right) d k,
\]

где $\omega_{0}=\omega\left(k_{0}\right), \omega_{0}^{\prime}=\omega^{\prime}\left(k_{0}\right), \ldots$ Это в свою очередь можно записать в виде
\[
\Phi=\varphi \exp \left\{i\left(k_{0} x-\omega_{0} t\right)\right\},
\]

где
\[
\varphi=\int_{-\infty}^{\infty} F\left(k_{0}+x\right) \exp \left\{i x x-i\left(x \omega_{0}^{\prime}+\frac{1}{2} x^{2} \omega_{0}^{\prime \prime}\right) t\right\} d x
\]

и произведена подстановка $k=k_{0}+\varkappa$. Функция $\varphi$ описывает модуляции в (17.62); она удовлетворяет уравнению
\[
i\left(\varphi_{t}+\omega_{0}^{\prime} \varphi_{x}\right)+\frac{1}{2} \omega_{0}^{\prime \prime} \varphi_{x x}=0
\]

и соответствует дисперсионному соотношению
\[
W=x \omega_{0}^{\prime}+\frac{1}{2} x^{2} \omega_{0}^{\prime \prime} .
\]

Уравнение для Ф соответствует исходному разложению
\[
\omega=\omega_{0}+\left(k-k_{0}\right) \omega_{0}^{\prime}+\frac{1}{2}\left(k-k_{0}\right)^{2} \omega_{0}^{\prime \prime},
\]
т. е. имеет вид
\[
i \Phi_{t}-\left(\omega_{0}-k_{0} \omega_{0}^{\prime}+\frac{1}{2} k_{0}^{2} \omega_{0}^{\prime \prime}\right) \Phi+i\left(\omega_{0}^{\prime}-k_{0} \omega_{0}^{\prime \prime}\right) \Phi_{x}-\frac{1}{2} \omega_{0}^{\prime \prime} \Phi_{x x}=0 .
\]

Преобразование (17.62) исключает дополнительные члены.
Если это приближение к линейной дисперсии объединить с кубической нелинейностью, то получится
\[
i\left(\varphi_{t}+\omega_{0}^{\prime} \varphi_{x}\right)+\frac{1}{2} \omega_{0}^{\prime \prime} \varphi_{x x}+q|\varphi|^{2} \varphi=0 .
\]

Поскольку $\varphi=a e^{i \varkappa x-i W t}$ по-прежнему является решением, видим, что нелинейная поправка к дисперсионному соотношению модифицирует выражение (17.64) так:
\[
W=\chi \omega_{0}^{\prime}+\frac{1}{2} x^{2} \omega_{0}^{\prime \prime}-q a^{2} .
\]

Следовательно, устойчивость или соответственно неустойчивость модуляций в смысле § 14.2 и 15.3 устанавливаются следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
q \omega_{9}^{\prime \prime}<0: \text { устойчивость }, \\
q \omega_{9}^{\prime \prime}>0: \text { неустойчивость. }
\end{array}
\]

Уравнение (17.65) можно привести к каноническому виду, сначала перейдя к системе отсчета, движущейся с линейной групповой скоростью $\omega_{0}^{\prime}$ (это позволит исключить член с $\varphi_{x}$ ), а затем перенормировав переменные. В результате мы получим уравнение
\[
i u_{t}+u_{x x}+v|u|^{2} u=0,
\]

в котором коэффициент $v$ имеет тот же знак, что и $q \omega_{0}^{\prime \prime}$.