Вертикальные отклонения $\eta$ поверхности спокойной воды описываются элементарными решениями вида (11.1):
\[
\eta=A e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-i \omega t}
\]
причем
\[
\omega^{2}=(g k \text { th } k h)\left(1+\frac{T}{\rho g} k^{2}\right), \quad k=|\mathbf{k}| .
\]
Здесь $h$ – невозмущенная глубина, $g$ – ускорение свободного падения, $\rho-$ потность, $T$ – поверхностное натяжение. На спокойной воде волны изотропны и дисперсионные соотношения содержат только модуль $k$ волнового вектора. Существует несколько интересных предельных случаев, которые при соответствующих обстоятельствах принято использовать в качестве аппроксимаций.
Гравитационные волны
В системе единиц CGS $g=981, \rho=1$ и $T=74$, так что $\lambda_{m}=2 \pi(T / \rho g)^{1 / 2}=1,73$ см. Поэтому эффекты поверхностного натяжения становятся пренебрежимо малыми для волн, длины которых в несколько раз больше этой величины. Тогда имеем обычную формулу для гравитационных волн
\[
\omega^{2}=g k \text { th } k h, \lambda \gg \lambda_{m} .
\]
Для таких волн фазовая и групповая скорости соответственно равны
\[
\begin{array}{l}
c(k)=\left(\frac{g}{k} \text { th } k h\right)^{1 / 2}, \\
C(k)=\frac{\partial \omega}{\partial k}=\frac{1}{2} c(k)\left(1+\frac{2 k h}{\operatorname{sh} 2 k h}\right) .
\end{array}
\]
В этом приближении имеем следующие предельные случаи:
\[
\begin{array}{ll}
\omega \sim(g k)^{1 / 2}, \quad c \sim\left(\frac{g}{k}\right)^{1 / 2}, \quad C \sim \frac{1}{2}\left(\frac{g}{k}\right)^{1 / 2}, \quad k h \rightarrow \infty, \\
\omega \sim(g h)^{1 / 2} k, \quad c \sim(g h)^{1 / 2}, \quad C \sim(g h)^{1 / 2}, \quad k h \rightarrow 0 .
\end{array}
\]
Таким образом, при фиксированной глубине $h$ как $c$, так и $C$ возрастают с ростом $\lambda=2 \pi / k$, причем $C<c$; в длинноволновом пределе (12.6) $C \rightarrow c$ и дисперсионные эффекты становятся малыми. Конечно, коротковолновое приближение (12.5) справедливо лишь при условии, что $\lambda_{m} \ll \lambda \ll h$.
Капиллярные болны
При $\lambda \ll \lambda_{m}$ эффект поверхностного натяжения мижет стать доминирующим, и тогда соотношение (12.1) будет аппроксимироваться выражением
\[
\omega^{2}=\frac{T}{\rho} k^{3} \operatorname{th} k h
\]
В этом случае
\[
\begin{array}{l}
c(k)=\left(\frac{T}{\rho} k \operatorname{th} k h\right)^{1 / 2}, \\
C(k)=\frac{3}{2} c\left(1+\frac{2 k h}{3 \operatorname{sh} 2 k h}\right) .
\end{array}
\]
В предельных ситуациях имеем
\[
\omega \sim\left(\frac{T}{\rho}\right)^{1 / 2} k^{3 / 2}, \quad c \sim\left(\frac{T}{\rho}\right)^{1 / 2} k^{1 / 2}, \quad C \sim \frac{3}{2}\left(\frac{T}{\rho}\right)^{1 / 2} k^{1 / 2},
\]
и
\[
\omega \sim\left(\frac{T h}{\rho}\right)^{1 / 2} k^{2}, \quad c \sim\left(\frac{T h}{\rho}\right)^{1 / 2} k, \quad C \sim 2\left(\frac{T h}{\rho}\right)^{1 / 2} k^{2},
\]
Для капиллярных волн $c$ и $C$ убывают с ростом $\lambda$, причем $C>c$.
Комбинированные эффекты гравитации и поверхностного натяжения
Когда важны оба эффекта, обычно достаточно рассмотреть относительно короткие волны с $k h \gg 1$. При этом
\[
\omega^{2}=g k+\frac{T}{\rho} k^{3},
\]
а фазовая и групповая скорости выражаются формулами
\[
\begin{array}{l}
c=\left(\frac{g}{k}+\frac{T}{\rho} k\right)^{1 / 2}, \\
C=\frac{1}{2} c \frac{1+(3 T / \rho g) k^{2}}{1+(T / \rho g) k^{2}} .
\end{array}
\]
Фазовая скорость имеет минимум при $k=k_{m}$, где
\[
k_{m}=\left(\frac{\rho g}{T}\right)^{1 / 2}, \quad \lambda_{m}=\frac{2 \pi}{k_{m}}=1,73 \mathrm{~cm} ;
\]
соответствующие значения $c$ и $C$ совпадают и равны
\[
c_{m}=23,2 \mathrm{~cm} / \mathrm{c} .
\]
В области $\lambda>\lambda_{m}$, часто называемой гравитационной ветвью, $C<c$, тогда как в области $\lambda<\lambda_{m}$, называемой капиллярной ветвью, $C>c$. Для любого значения $c>c_{m}$ существуют две допустимые длины волны. Минимум групповой скорости достигается при $\lambda=2,54 \lambda_{m}=4,39$ см и составляет $C=0,77 c_{m}=$ $=17,9 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
Теория мелкой воды с учетом дисперсии
При $k h \rightarrow 0$ выражение (12.1) можно разложить в ряд
\[
\omega^{2} \sim g h k^{2}\left\{1+\left(\frac{T}{\rho g h^{2}}-\frac{1}{3}\right) k^{2} h^{2}+\ldots\right\}
\]
и получить
\[
c \sim(g h)^{1 / 2}\left\{1+\frac{1}{2}\left(\frac{T}{\rho g h^{2}}-\frac{1}{3}\right) k^{2} h^{2}+\ldots\right\} .
\]
Когда дисперсией полностью пренебрегают, уравнения для нелинейной теории мелкой воды становятся гиперболическими и уподобляются уравнениям газовой динамики; эта так называемая гидравлическая аналогия используется в экспериментах. При гидравлическом моделировании дисперсия должна быть минимальной и $h$ выбирается из условия
\[
\frac{T}{\rho g h^{2}}-\frac{1}{3}=0,
\]
или
\[
h=\left(\frac{3 T}{\rho g}\right)^{1 / 2}=0,48 \mathrm{~cm} .
\]
Магнитнал гидродинамика
В проводящей жидкости, к которой приложено горизонтальное магнитное поле и через которую протекают горизонтальные токи, можно ввести третью вертикальную возвращающую силу. Этот случай был исследован Шерклифом [1], установившим, что дисперсионное соотношение имеет вид
\[
\rho \omega^{2}=k \text { th } k h\left(\rho g+k^{2} T+J_{s} B_{n}\right),
\]
где $B_{n}$ – магнитное поле, нормальное к гребням волн, и $J_{s}$ ток вдоль них. Член $J_{s} B_{n}$ описывает вертикальную компоненту силы Лоренца. Интересно, что распространение волн зависит от их ориентации относительно поля и становится анизотропным. Выражения для фазовой и групповой скоростей, включая различные предельные случаи, можно найти в указанной выше статье. Мы не будем заниматься здесь этим случаем, хотя соответствующие картины волн можно изучать развиваемыми ниже методами.
