Вертикальные отклонения $\eta$ поверхности спокойной воды описываются элементарными решениями вида (11.1):
$$\eta =A{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-i\omega t}$$

причем
$${\omega }^2=(gk\text{ th }kh)(1+\frac{T}{\rho g}{k}^2),k=|\mathbf{k}|.$$

Здесь $h$ — невозмущенная глубина, $g$ — ускорение свободного падения, $\rho -$ потность, $T$ — поверхностное натяжение. На спокойной воде волны изотропны и дисперсионные соотношения содержат только модуль $k$ волнового вектора. Существует несколько интересных предельных случаев, которые при соответствующих обстоятельствах принято использовать в качестве аппроксимаций.
Гравитационные волны
В системе единиц CGS $g=981,\rho =1$ и $T=74$, так что ${\lambda }_m=2\pi (T/\rho g{)}^{1/2}=1,73$ см. Поэтому эффекты поверхностного натяжения становятся пренебрежимо малыми для волн, длины которых в несколько раз больше этой величины. Тогда имеем обычную формулу для гравитационных волн
$${\omega }^2=gk\text{ th }kh,\lambda \gg {\lambda }_m.$$

Для таких волн фазовая и групповая скорости соответственно равны
$$\begin{array}{l}c(k)={\left(\frac{g}{k}\text{ th }kh\right)}^{1/2},\\ C(k)=\frac{\partial \omega }{\partial k}=\frac{1}{2}c(k)(1+\frac{2kh}{\mathrm{sh}2kh}).\end{array}$$

В этом приближении имеем следующие предельные случаи:
$$\begin{array}{l}\omega \sim (gk{)}^{1/2},c\sim {\left(\frac{g}{k}\right)}^{1/2},C\sim \frac{1}{2}{\left(\frac{g}{k}\right)}^{1/2},kh\to \mathrm{\infty },\\ \omega \sim (gh{)}^{1/2}k,c\sim (gh{)}^{1/2},C\sim (gh{)}^{1/2},kh\to 0.\end{array}$$

Таким образом, при фиксированной глубине $h$ как $c$, так и $C$ возрастают с ростом $\lambda =2\pi /k$, причем $C<c$; в длинноволновом пределе (12.6) $C\to c$ и дисперсионные эффекты становятся малыми. Конечно, коротковолновое приближение (12.5) справедливо лишь при условии, что ${\lambda }_m\ll \lambda \ll h$.
Капиллярные болны
При $\lambda \ll {\lambda }_m$ эффект поверхностного натяжения мижет стать доминирующим, и тогда соотношение (12.1) будет аппроксимироваться выражением
$${\omega }^2=\frac{T}{\rho }{k}^3\mathrm{th}kh$$

В этом случае
$$\begin{array}{l}c(k)={\left(\frac{T}{\rho }k\mathrm{th}kh\right)}^{1/2},\\ C(k)=\frac{3}{2}c(1+\frac{2kh}{3\mathrm{sh}2kh}).\end{array}$$

В предельных ситуациях имеем
$$\omega \sim {\left(\frac{T}{\rho }\right)}^{1/2}{k}^{3/2},c\sim {\left(\frac{T}{\rho }\right)}^{1/2}{k}^{1/2},C\sim \frac{3}{2}{\left(\frac{T}{\rho }\right)}^{1/2}{k}^{1/2},$$

и
$$\omega \sim {\left(\frac{Th}{\rho }\right)}^{1/2}{k}^2,c\sim {\left(\frac{Th}{\rho }\right)}^{1/2}k,C\sim 2{\left(\frac{Th}{\rho }\right)}^{1/2}{k}^2,$$

Для капиллярных волн $c$ и $C$ убывают с ростом $\lambda$, причем $C>c$.

Комбинированные эффекты гравитации и поверхностного натяжения

Когда важны оба эффекта, обычно достаточно рассмотреть относительно короткие волны с $kh\gg 1$. При этом
$${\omega }^2=gk+\frac{T}{\rho }{k}^3,$$

а фазовая и групповая скорости выражаются формулами
$$\begin{array}{l}c={(\frac{g}{k}+\frac{T}{\rho }k)}^{1/2},\\ C=\frac{1}{2}c\frac{1+(3T/\rho g)k^2}{1+(T/\rho g)k^2}.\end{array}$$

Фазовая скорость имеет минимум при $k=k_m$, где
$$k_m={\left(\frac{\rho g}{T}\right)}^{1/2},{\lambda }_m=\frac{2\pi }{k_m}=1,73\mathrm{cm};$$

соответствующие значения $c$ и $C$ совпадают и равны
$$c_m=23,2\mathrm{cm}/\mathrm{c}.$$

В области $\lambda >{\lambda }_m$, часто называемой гравитационной ветвью, $C<c$, тогда как в области $\lambda <{\lambda }_m$, называемой капиллярной ветвью, $C>c$. Для любого значения $c>c_m$ существуют две допустимые длины волны. Минимум групповой скорости достигается при $\lambda =2,54{\lambda }_m=4,39$ см и составляет $C=0,77c_m=$ $=17,9\mathrm{cm}/\mathrm{c}$.
Теория мелкой воды с учетом дисперсии
При $kh\to 0$ выражение (12.1) можно разложить в ряд
$${\omega }^2\sim gh{k}^2\{1+(\frac{T}{\rho g{h}^2}-\frac{1}{3})k^2{h}^2+\dots \}$$

и получить
$$c\sim (gh{)}^{1/2}\{1+\frac{1}{2}(\frac{T}{\rho g{h}^2}-\frac{1}{3})k^2{h}^2+\dots \}.$$

Когда дисперсией полностью пренебрегают, уравнения для нелинейной теории мелкой воды становятся гиперболическими и уподобляются уравнениям газовой динамики; эта так называемая гидравлическая аналогия используется в экспериментах. При гидравлическом моделировании дисперсия должна быть минимальной и $h$ выбирается из условия
$$\frac{T}{\rho g{h}^2}-\frac{1}{3}=0,$$

или
$$h={\left(\frac{3T}{\rho g}\right)}^{1/2}=0,48\mathrm{cm}.$$

Магнитнал гидродинамика
В проводящей жидкости, к которой приложено горизонтальное магнитное поле и через которую протекают горизонтальные токи, можно ввести третью вертикальную возвращающую силу. Этот случай был исследован Шерклифом [1], установившим, что дисперсионное соотношение имеет вид
$$\rho {\omega }^2=k\text{ th }kh(\rho g+k^{2}T+J_s{B}_n),$$

где $B_n$ — магнитное поле, нормальное к гребням волн, и $J_s$ ток вдоль них. Член $J_s{B}_n$ описывает вертикальную компоненту силы Лоренца. Интересно, что распространение волн зависит от их ориентации относительно поля и становится анизотропным. Выражения для фазовой и групповой скоростей, включая различные предельные случаи, можно найти в указанной выше статье. Мы не будем заниматься здесь этим случаем, хотя соответствующие картины волн можно изучать развиваемыми ниже методами.