Наиболее интересное приложение найденного цилиндрического волнового решения связано, по-видимому, со сверхзвуковой аэродинамикой. Согласно уравнению (7.7), возмущение потенциала скорости удовлетворяет двумерному волновому уравнению, причем
\[
x \leftrightarrow t, \quad M^{2}-1 \leftrightarrow 1 / c^{2} .
\]

Для тела вращения уравнение (7.7) принимает вид
\[
B^{2} \Phi_{x x}=\Phi_{r r}+\frac{1}{r} \Phi_{r}, \quad B=\sqrt{M^{2}-1},
\]

где $r$ — расстояние от оси вращения, а $x$ — расстояние от носика тела. Решение, равное нулю при $x<B r$, ищется в виде
\[
\Phi=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{x-B r} \frac{q(\eta)}{\sqrt{(x-\eta)^{2}-B^{2} r^{2}}} d \eta, \quad x>B r .
\]

Интенсивность источника $q(\eta)$ связана с формой тела. Граничные условия на поверхности тела состоят в том, что на ней нормальная составляющая скорости равна нулю. Поэтому, если тело имеет форму $r=R(x)$, то
\[
\Phi_{r}=R^{\prime}(x)\left(U+\Phi_{x}\right) \quad \text { при } \quad r=R(x) .
\]

Для линеаризации уравнений тело должно быть тонким, т. е. $R^{\prime}(x)$ мало и $\Phi_{x}$ и $\Phi_{r}$ также малы. В силу этого, граничные условия тинеаризуются, а именно
\[
\Phi_{r}=U R^{\prime}(x) \quad \text { при } \quad r=R(x) .
\]

Но $\Phi_{r} \sim q(x) /(2 \pi r)$ при $r \rightarrow 0$, так что (7.39) дает
\[
q(x)=2 \pi U R(x) R^{\prime}(x)=U S^{\prime}(x),
\]

где $S(x)=\pi R^{2}(x)$ — площадь поперечного сечения тела на расстоянии $x$ от переднего конца. Интуитивно чувствуется, что $U S^{\prime}(x)$ — скорость, с которой возрастающая площадь поперечного сечения отталкивает жидкость, а это и есть интенсивность источника. Итак, для заданного тела решение имеет вид
\[
\Phi=-\frac{U}{2 \pi} \int_{0}^{x-B_{r}} \frac{S^{\prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{(x-\eta)^{2}-B^{2} r^{2}}}, \quad x-B r>0 .
\]

Компоненты возмущения скорости получаются надлежащим изменением равенств ( 7.30$)$ :
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{x}=-\frac{U}{2 \pi} \int_{0}^{x-B r} \frac{S^{\prime \prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{(x-\eta)^{2}-B^{2} r^{2}}}, \\
\Phi_{r}=\frac{U}{2 \pi r} \int_{0}^{x-B r} \frac{(x-\eta) S^{\prime \prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{(x-\eta)^{2}-B^{2} r^{2}}} .
\end{array}
\]

В линейной теории давление определяется по формуле (7.8). Однако возникает интересный вопрос о применимости линейной теории, в особенности по отношению к давлению. Точное выражение для давления в потенциальном течении задается уравнением Бернулли (см. (6.157))
\[
\frac{p}{p_{0}}=\left(\frac{a}{a_{0}}\right)^{2 \gamma /(\gamma-1)}=\left\{1-\frac{\gamma-1}{a_{0}^{2}}\left(U \Phi_{x}+\frac{1}{2} \Phi_{x}^{2}+\frac{1}{2} \Phi_{r}^{2}\right)\right\}^{\gamma /(\gamma-1)} .
\]

Следовательно, поскольку $a_{0}^{2}=\gamma p_{0} / \rho_{0}$,
\[
\frac{p-p_{0}}{\rho_{0}}=-\left(U \Phi_{x}+\frac{1}{2} \Phi_{x}^{2}+\frac{1}{2} \Phi_{r}^{2}\right)+\ldots .
\]

Если $r$ не мало по сравнению с длиной тела, то $\Phi_{x}$ и $\Phi_{r}$ являются относительно малыми величинами порядка $\delta^{2}$, где $\delta$ — относительная толщина тела (определяемая как максимальный диаметр, деленный на длину). Тогда линеаризация, при которой пренебрегают величинами $\Phi_{x}^{2}$ и $\Phi_{r}^{2}$, корректна. Однако на поверхности тела $r=R(x)=O(\delta)$, и для малых $r$
\[
\Phi_{r} \sim \frac{U S^{\prime}(x)}{2 \pi r}, \quad \Phi_{x} \sim \frac{U S^{\prime \prime}(x)}{2 \pi} \ln r .
\]

Следовательно, на поверхности тела
\[
\Phi_{r}=O(\delta), \quad \Phi_{x}=O\left(\delta^{2} \ln \frac{1}{\delta}\right) .
\]

Отвлекаясь от члена $\ln (1 / \delta)$, который в практических ситуациях не слишком велик, видим, что член $1 / 2 \Phi_{r}^{2}$ так же важен, как и член $\Phi_{x}$. Поэтому для получения хорошего приближения для

давления, видимо, следует взять формулу
\[
\frac{p-p_{0}}{\rho_{0}}=-U \Phi_{x}-\frac{1}{2} \Phi_{r}^{2},
\]

а не формулу (7.8). Лайтхилл [1] и Бродерик [1], тщательно исследовав приближения высших порядков, показали, что (7.43) верно с ошибкой $O\left(\delta^{4} \ln ^{2}(1 / \delta)\right)$. В то же время следует выяснить вопрос о корректности линейной теории, поскольку граничные условия накладываются в области, где $\Phi_{x}$ и $\Phi_{r}$ имеют различный порядок. В цитированных работах показано, что (7.41) и (7.42) действительно являются главными членами в разложении по степеням малого параметра и что единственное существенное изменение состоит в введении нелинейного соотношения (7.43).
Сопротивление
Сопротивление, вызванное возмущением давления, выражается формулой
\[
D=\int_{0}^{l}\left(p-p_{0}\right) S^{\prime}(x) d x,
\]

где интегрирование проводится по длине тела $l$. Вблизи тела имеем
\[
\Phi \sim-\frac{U}{2 \pi} \int_{0}^{x} S^{\prime \prime}(\eta) \ln \frac{2(x-\eta)}{B r} d \eta
\]
(см. (7.31)), а давление дается равенством (7.43). Отсюда для сопротивления имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{2 \pi D}{\rho_{0} U^{2}}=\int_{0}^{l} S^{\prime}(x)\left\{-S^{\prime \prime}(x) \ln R(x)+\right. \\
\left.+\frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{x} S^{\prime \prime}(\eta) \ln \frac{2(x-\eta)}{B} d \eta-\frac{1}{4 \pi} \frac{S^{\prime 2}(x)}{R^{2}(x)}\right\} d x . \\
\end{array}
\]

Поскольку $S^{\prime}=2 \pi R R^{\prime}$, первый и третий члены объединяются в
\[
-\int_{0}^{l}\left\{S^{\prime}(x) S^{\prime \prime}(x) \ln R(x)+\frac{S^{\prime 2}(x)}{2 R(x)} R^{\prime}(x)\right\} d x,
\]

и это дает
\[
-\int_{0}^{l} \frac{d}{d x}\left\{\frac{1}{2} S^{2}(x) \operatorname{In} R(x)\right\} d x=0
\]

для тела с $S^{\prime}(0)=S^{\prime}(l)=0$. После интегрирования по частям второй член дает
\[
\begin{aligned}
D & =\frac{\rho_{0} U^{2}}{2 \pi} \int_{0}^{l} S^{\prime \prime}(x) \int_{0}^{x} S^{\prime \prime}(\eta) \ln \frac{1}{(x-\eta)} d \eta d x= \\
& =\frac{\rho_{0} U^{2}}{4 \pi} \int_{0}^{l} \int_{0}^{l} S^{\prime \prime}(x) S^{\prime \prime}(\eta) \ln \frac{1}{|x-\eta|} d x d \eta .
\end{aligned}
\]
(Член $\mathbf{c} \ln (2 / B)$ при интегрировании дает нуль.) Эта знаменитая формула для сверхзвукового сопротивления впервые получена Карманом и Муром [1] в 1932 г.
Поведение вблизи конуса Маха и на больших расстояниях
Волновой фронт определяется уравнением $x-B r=0$; это конус Маха, образующие которого составляют угол $\operatorname{arc} \sin (1 / M)$ с осью $x$. Когда $(x-B r) /(B r) \ll 1$, из равенств $(7.32)$ п (7.33), должным образом преобразованных для сверхзвукового течения, имеем
\[
\Phi \sim-\frac{U}{2 \pi \sqrt{2 B r}} \int_{0}^{\xi} \frac{S^{\prime}(\eta)}{\sqrt{\xi-\eta}} d \eta, \quad \xi=x-B r .
\]

Для компонент скорости получаем, следовательно,
\[
\Phi_{x} \sim-\frac{U F(x-B r)}{\sqrt{2 B r}}, \quad \Phi_{r} \sim U B \frac{F(x-B r)}{\sqrt{2 B r}}, \frac{x-B r}{B r} \ll 1,
\]

где
\[
F(\xi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\xi} \frac{S^{\prime \prime}(\eta)}{\sqrt{\xi-\eta}} d \eta .
\]

Итак, функции $\Phi_{x}$ и $\Phi_{r}$ имеют одинаковый порядок и для давления с точностью до членов второго порядка имеем
\[
\frac{p-p_{0}}{\rho_{0} U^{2}} \sim \frac{F(x-B r)}{\sqrt{2 B r}} .
\]

Опять следует отметить, что поведение вблизи волнового фронта и на больших расстояниях можно описывать одной общей формулой.

Если тело имеет острый носик с $R^{\prime}(0)=\varepsilon$, то $S(x) \sim \pi \varepsilon^{2} x^{2}$ для малых $x$ и тогда
\[
F(\xi) \sim 2 \varepsilon^{2 \xi \xi^{1 / 2}} \text { при } \quad \xi \rightarrow 0 .
\]

На рис. 7.3 изображена типичная кривая $F(\xi)$. Появление отрицательной фазы типично даже для тела, имеющего форму снаряда, для которого интенсивность источника $U S^{\prime}(x)$ не меняет знака. Действительно, легко показать, что
\[
\int_{0}^{\infty} F(\xi) d \xi=0,
\]

и физическое объяснение в терминах потока массы аналогично объяснению для сферических волн, приведенному в конце $\S 7.3$.

Рис. 7.3. Типичная кривая $F(\xi)$ для сверхзвукового обтекания осесимметричного тела.
Можно заметить, что, согласно этой линейной теории, компоненты скорости и давление непрерывны на конусе Маха. На салом же деле возникает ударная волна, и мы встречаемся с важным явлением звукового удара. Этот эффект упущен, поскольку он нелинеен. Теория звукового удара будет подробно изучаться в гл.9.