Более очевидный способ избежать интегралов Фурье и найти путь к обобщению на задачи с неоднородной средой и на нелинейные системы состоит в подстановке соответствующих асимптотических рядов непосредственно в исследуемые уравнения. Для рассматриваемых сейчас линейных задач подходят ряды вида
\[
\varphi \sim e^{i \theta(\mathbf{x}, t)} \sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(\mathbf{x}, t),
\]

где $A_{n}$ – последовательные члены разложения по характерному малому параметру. В данном случае целесообразность такого выбора следует из асимптотической формулы (11.27). Ряд (11.95) является также обобщением ряда геометрической оштики (7.62). В рассмотренных в части I гиперболических задачах производные $\theta_{t}$ и $\theta_{\mathbf{x}}$ были связаны однородным соотношением, так что для фиксированной частоты $\omega$ можно было положить $\theta(\mathbf{x}, t)=\omega S(\mathbf{x}, t)$, как там и было сделано. Теперь дисперсионное соотношение между $\theta_{t}$ и $\theta_{\mathbf{x}}$ имеет более общий вид и допускается непрерывное распределение частот.

Подход, использующий разложение (11.95), вполне пригоден для ряда линейных задач, включая задачи с неоднородной средой. Но (даже в большей степени, чем это было обнаружено при обсуждении усредненного энергетического уравнения в § 11.6) после длительных вычислений, связанных со спецификой данной задачи, мы в конце концов обнаруживаем, что полученные результаты имеют общий характер. В случае обобщений на нелинейные задачи корректная форма разложения не сразу очевидна, выкладки могут стать угрожающими и общие результаты снова окажутся погребенными под ненужными деталями. Эти недостатки устраняются применением разложений, подобных (11.95), непосредственно к вариационной формулировке задачи. В сущности именно так оправдывается вариационный подход. Но для этого требуется известная изобретательность, и в качестве подготовки полезно

обсудить здесь прямое применение разложения (11.95) к изучаемым уравнениям. Достаточно рассмотреть одномерный случай.

Разложение, изученное в § 11.3, справедливо при $t \rightarrow \infty, x / t$ фиксировано. В этом случае $\theta(x, t)$ и $A_{n}(x, t)$ имели вид
\[
\theta(x, t)=t \widetilde{\theta}(x / t), \quad A_{n}(x, t)=t^{-n-1 / 2} B_{n}(x / t) .
\]

Разложение (11.95) проводится по возрастающим степеням $t^{-1}$ (или, строго говоря, по степеням $\tau / t$, где $\tau$ – характерный интервал времени, определяемый параметрами уравнений и начальными условиями). Чтобы техника была тибкой и были видны общие черты использования разложения (11.95) в различпых ситуациях, мы не будем использовать равенства (11.96) в явном виде, а вместо этого потребуем, чтобы выполнялось следующее условие:
\[
\frac{\partial A_{n}}{\partial t}, \frac{\partial A_{n}}{\partial x}=O\left(A_{n+1}\right), \quad \frac{\partial^{2} A_{n}}{\partial t^{2}}=O\left(A_{n+2}\right), \ldots,
\]
т. е. чтобы каждое дифференцирование увеличивало порядок на единицу. Аналогичным образом $\theta_{x}$ и $\theta_{t}$ – величины порядка $O(1)$, и каждое следующее дифференцирование увеличивает их порядок на единицу. Увеличение порядка прп дифференцировании означает, что $\theta_{t}, \theta_{x}$ п $A_{i}$ являются медленно изменяющимися функциями. Это общее свойство разложений (11.95) не зависит от того, по какой величине проводится разложение: по $\tau / t$ или по какой-либо другой.

Для иллюстрации возьмем одномерное уравнение Клейна Гордона
\[
\varphi_{t t}-\alpha^{2} \varphi_{\times x}+\beta^{2} \varphi=0 .
\]

Подставляя (11.95) и последовательно приравнивая нулю члены одинакового порядка, получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(\theta_{t}^{2}-\alpha^{2} \theta_{x}^{2}-\beta^{2}\right) A_{1}-\quad\left(\theta_{t}^{2}-\alpha^{2} \theta_{x}^{2}-\beta^{2}\right) A_{0}=0, \\
-\left\{2 i \theta_{t} A_{0 t}-2 i \alpha^{2} \theta_{x} A_{0 x}+i\left(\theta_{t t}-\alpha^{2} \theta_{x x}\right) A_{0}\right\}=0, \\
\left(\theta_{t}^{2}-\alpha^{2} \theta_{x}^{2}-\beta^{2}\right) A_{2}- \\
-\left\{2 i \theta_{t} A_{1 t}-2 i \alpha^{2} \theta_{x} A_{1 x}+i\left(\theta_{t t}-\alpha^{2} \theta_{x x}\right) A_{1}\right\}=A_{0 t t}-\alpha^{2} A_{0 x x}
\end{array}
\]

и т. д. Первое уравнение исключает соответствующий член в последующих уравнениях. Если теперь ввести
\[
k=\theta_{x}, \quad \omega=-\theta_{t},
\]

то цепочка примет вид
\[
\begin{aligned}
\omega^{2}-\alpha^{2} k^{2}–\beta^{2} & =0 \\
2 \omega A_{0 t}+2 \alpha^{2} k A_{0 x}+\left(\omega_{t}+\alpha^{2} k_{x}\right) A_{0} & =0 \\
2 \omega A_{1 t}+2 \alpha^{2} k A_{1 x}+\left(\omega_{t}+\alpha^{2} k_{x}\right) A_{1} & =-i\left(A_{0 t l}-\alpha^{2} A_{0 x x}\right)
\end{aligned}
\]

и т. д.

Первое уравнение является дисперсионным соотношением между $\omega$ и $k$, и если мы предпочитаем работать с этими величинами, а не с фазой $\theta$, то следует добавить еще условие совместности
\[
k_{t}+\omega_{x}=0 .
\]

Эти уравнения определяют $\theta, \omega, k$ в точности так, как описано в $\S 11.5$.
Уравнение для $A_{0}$ можно записать в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \omega A_{0} A_{0}^{*}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2} \alpha^{2} k A_{0} A_{0}^{*}\right)=0 .
\]

Поскольку $\left|A_{0}\right|^{2}=a^{2}$, и в этом случае
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}-\alpha^{2} k^{2}-\beta^{2}\right) a^{2},
\]

уравнение (11.102) совпадает с уравнением для волнового действия (11.81). Интересно, что естественным образом получается именно уравнение для волнового действия, а не энергетическое уравнение, хотя, конечно, из (11.99) можно получить и энергетическое уравнение. Заметим, что без использования лагранжиана этот момент остался бы незамеченным.

Обычно интересуются только первым членом разложения и, следовательно, первыми двумя уравнениями, а именно (11.98) и (11.99). Однако после того, как $\theta$ и $A_{0}$ определены, $A_{1}$ находится из уравнения (11.100), $A_{2}$ – из следующего уравнения цепочки и т. д.

Легко проверить, что эти уравнения имеют частные решения вида (11.96), и в этом случае разложение согласуется с разложением, полученным в § 11.3 при помощи интегралов Фурье. Подходящим решением уравнений (11.98) и (11.101) является функция $k(x / t)$, определяемая из уравнения
\[
\frac{x}{t}=C(k) .
\]

Тогда уравнение (11.102) в любой из форм дает
\[
A_{0}=t^{-1 / 2} B_{0}\left(\frac{x}{t}\right) .
\]

Поскольку $k$ есть функция от $x / t$, этот результат можно также записать в виде
\[
A_{0}=t^{-1 / 2} \mathscr{B}_{0}(k),
\]

что согласуется с (11.28). Конечно, вид функции $\mathscr{B}_{0}(k)$ определяется только по начальным условиям. В этом конкретном случае разложение неприменимо на ранних стадиях и использование преобразования Фурье или его эквивалента неизбежно. После того как функция $A_{0}$ найдена, из (11.100) можно найти $A_{1}$, причем

в результате получится (11.23). Фактически последующие члены разложения гораздо проще находить этим прямым методом, чем распространением метода стационарной фазы на высшие порядки.

Разложения не ограничиваются центрированной волной, они применимы к любому волновому пакету, медленно изменяющемуся в смысле (11.97). Например, можно рассмотреть волновой пакет, образованный модулированным источником с медленными изменениями частоты и амплитуды. Если $x$ и $t$ – нормированпые переменнье, полученные делением исходных $x$ и $t$ на характерные длину волны и период соответственно, то генерируемые источником модуляции будут функциями от $\varepsilon t$ и соответствующие выражения для $\theta$ и $A_{n}$ будут иметь вид
\[
\theta=\varepsilon^{-1} \tilde{\theta}(\varepsilon x, \varepsilon t), \quad A_{n}=\varepsilon^{n} \tilde{A}_{n}(\varepsilon x, \varepsilon t),
\]

где $\varepsilon$ – отношение характершого периода к временно́му масптабу модуляций. Эти величины медленно изменяются в смисле (11.97), причем $\varepsilon$ является соответствующим малым параметром. Для уравнения Клейна – Гордона результирующие уравнения имеют вид (11.98) – (11.100). Они отвечают носледовательным членам порядков $1, \varepsilon, \varepsilon^{2}$ соответственно, но нет необходимости в явном виде выписывать зависимость от $\varepsilon$, раз мы следуем упорядочиванию (11.97).
Неоднородная среда
Более интересен подобный предыдущему случай, когда модуляции возникают за счет медленных изменений среды. Например, можно рассмотреть первоначально однородиый волновой пакет, входящий в неоднородную среду, параметры которой медленно изменяются на характерпой длине $L$. Если $\lambda$ – характерпая длина волны (скажем, длина волны исходпого волнового пакета), то малым параметром будет $\varepsilon=\lambda / L$. В нормированных переменных среда описывается функциями от $\varepsilon x$ и для описания модулированного волпового пакета подходят выражения (11.103). Аналогичная формулировка применима и к среде, медленно меняющейся во времени.

Для иллюстрации опять обратимся к уравнению Клейна – Гордона. Для неодіородной среды это уравнение обычно получается в самосопряженной форме
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial}{\partial x}\left\{\alpha^{2}(x, t) \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right\}+\beta^{2}(x, t) \varphi=0 .
\]

Будем считать, что $x, t$ уже нормированы на характерные длину волны и период (можно использовать характерные значения для $\alpha \beta^{-1}$ и $\beta^{-1}$ ), и чтобы включить пространственные и временны́е вариации в общий анализ, предположим, что
\[
\alpha=\widetilde{\alpha}(\varepsilon x, \varepsilon t), \quad \beta=\widetilde{\beta}(\varepsilon x, \varepsilon t) .
\]

Как и ранее, мы не вводим зависимость от $\varepsilon$ в явном виде, а работаем непосредственно с выражениями (11.95) и (11.104), подразумевая, что все функции
\[
k=\theta_{x}, \quad \omega=-\theta_{t}, \quad A_{0}, \quad \alpha, \quad \beta
\]

имеют порядок $O$ (1) и что каждое дифференцирование или увеличение индекса у $A$ повышает порядок на единицу. В полученной цепочке уравнений первые два таковы:
\[
\begin{array}{c}
\omega^{2}-\alpha^{2} k^{2}-\beta^{2}=0, \\
2 \omega A_{0 t}+2 \alpha^{2} k A_{0 x}+\left(\omega_{t}+\alpha^{2} k_{x}+2 k \alpha \alpha_{x}\right) A_{0}=0 ;
\end{array}
\]

к ним следует добавить условие совместности
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0 .
\]

Система уравнений (11.106) и (11.108) для функций $k$, $\omega$ и $\theta$ совнадает с уравнениями, полученными сначала на основании более интуитивных соображений в § 11.5 , а затем при помощи вариационного подхода в § 11.7. Как уже было отмечено в § 11.5, значения волнового числа $k$ распространяются с групповой скоростью $\partial \omega / \partial k$, определенной из (11.106), но ни групповая скорость, ни значения $k$ не обязаны оставаться постоянными на групповой линии.

В данном случае групповая скорость равна $\alpha^{2} k / \omega$, так что характеристики для уравнения (11.107) те же, что и для уравнения (11.108), и $A_{0}$ в принципе можно найти интегрированием вдоль этих характеристик.

Однако основной момент состоит в том, что уравнение (11.107) все еще можно записать в виде уравнения сохранения
\[
\left(\frac{1}{2} \omega A_{0} A_{0}^{*}\right)_{t}+\left(\frac{1}{2} \alpha^{2} k A_{0} A_{0}^{*}\right)_{x}=0 .
\]

Таким образом, уравнение для волнового действия (11.102) остается справедливым и в неоднородной среде, когда и $\alpha$, и соотношение между $\omega$ и $k$ зависят от $x$ и $t$. Это согласуется с тем, что утверждается в вариационном подходе.
Действительно, рассмотрим выражение
\[
\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}+\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial x},
\]

в котором плотность и поток энергии определены формулами (11.53) и (11.54). При помощи (11.106)-(11.108) находим, что
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{1}{4}\left(\omega^{2}+\alpha^{2} k^{2}+\beta^{2}\right) A_{0} A_{0}^{*}\right\}+ & \frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{1}{2} \alpha^{2} \omega k A_{0} A_{0}^{*}\right\}= \\
& =\frac{1}{4}\left\{k^{2} \frac{\partial \alpha^{2}}{\partial t}+\frac{\partial \beta^{2}}{\partial t}\right\} A_{0} A_{0}^{*} .
\end{aligned}
\]

Это согласуется с (11.94), так как
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}+\alpha^{2} k^{2}-\beta^{2}\right) \alpha^{2} .
\]

Прямая подстановка в уравнения разложения (11.95) приводит к требуемым результатам, но без общности и глубины вариационного подхода. Оба метода будут объединены в гл. 14. Рассмотрим сначала приложения развитой выше теории и уточним изложенные идеи на конкретных задачах.