Диспергирующие волны не поддаются классификации так легко, как гиперболические волны. Как уже объяснялось в связи с решением (1.3), о них идет речь при рассмотрении определенных типов осциллирующих решений, описывающих волновые пакеты. Такие решения получаются при интегрировании различных уравнений в частных производных и даже некоторых интегральных уравнений. Сразу ясно, что задача характеризуется дисперсионным соотношением
\[
\omega=W(x),
\]

связывающим частоту $\omega$ и волновое число $\chi$. Источник этого соотношения для конкретной системы уравнений, описывающей данный процесс, имеет второстепенное значение. Типичными примерами служат уравнение колебаний балки
\[
\varphi_{t t}+\gamma^{2} \varphi_{x x x x}=0, \quad \omega= \pm \gamma x^{2},
\]

линейное уравнение Кортевега — де Фриза
\[
\varphi_{t}+c_{0} \varphi_{x}+v \varphi_{x x x}=0, \quad \omega=c_{0} x-v x^{3}
\]

и тинейное уравнение Буссинеска
\[
\varphi_{t t}-\alpha^{2} \varphi_{x x}=\beta^{2} \varphi_{x x t t}, \quad \omega= \pm \alpha x\left(1+\beta^{2} x^{2}\right)^{-1 / 2} .
\]

Уравнения (1.19) и (1.20) появляются в приближенных теориях длинных волн на воде. Не приводя здесь общих уравнений для линейных волн на воде, отметим, что они имеют решение вида (1.3), описывающее возмущения свободной поверхности, с
\[
\omega= \pm(g \chi \text { th } x h)^{1 / 2},
\]

тде $h$ — невозмущенная глубина, а $g$ — ускорение свободного падения. Другим примером служит классическая теория дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках, дающая соотнотение
\[
\left(\omega^{2}-v_{0}^{2}\right)\left(\omega^{2}-c_{0}^{2} \chi^{2}\right)=\omega^{2} v_{p}^{2},
\]

где $c_{0}$ — скорость света, $v_{0}$ — собственная частота осцилтятора и $v_{p}$ — плазменная частота.

Решения линейных задач более общие, чем решение (1.3), получаются суперпозицией таких решений и имеют вид интегралов Фурье
\[
\varphi=\int_{0}^{\infty} F(x) \cos (x x-W t) d x,
\]

где $W(x)$ — дисперсионная функция (1.17), зависящая от рассматриваемой системы. Функция (1.23) является — по крайней мере формально — репением для произвольной функции $F(x)$, которая с помощью обратного преобразования Фурье выбирается так, чтобы выполнялись граничные или начальные условия.

Решение вида (1.23) является суперпозицией отдельных волн с различными волновыми числами, каждая из которых распространяется со своей фазовой скоростью
\[
c(x)=\frac{W(x)}{x} .
\]

С ростом времени эти различные составляющие моды «диспергируют» (расползаются), в результате чего, например, одиночный горб превращается в длинный осдиллирующий волновой пакет —

цуг волн. Этот процесс изучается с помощью различных асимптотических разложений интеграла (1.23). При таком анализе ключевым понятием является групповая скорость
\[
C(x)=\frac{d W}{d x}
\]

Цуг волн, получающийся из) (1.23), не имеет постоянной длины волны; по-прежнему существует целый интервал волновых чисел x. В некотором смысле (его еще нужно выяснить) различные волновые числа распространяются по этому цугу волн со скоростью, равной групповой скорости (1.25). Оказывается, что в аналогичном смысле энергия также распространяется с групповой скоростью. Для истинно диспергирующих волн случай $W \sim x$ исключается, так что фазовая скорость (1.24) и групповая скорость (1.25) не совшадают. При этом в распространении волны доминирующую роль играет именно групповая скорость.

Учитывая ее огромную важность и помня о неоднородных средах и нелинейных волнах, желательно найти способы непосредственного опредетения групповой скорости и ее свойств без промежуточного преобразования Фурье. На интуитивном уровне это можно сделать очень просто, а в дальнейшем это оправдывается. Предшоложим, тто осциллирующий волновой пакет приближенно описывается выражением
\[
\varphi=a \cos \theta,
\]

где $a$ и $\theta$ — функции от $x$ и $t$. Функция $\theta(x, t)$ представляет собой «фазу», определяющую положение точки между экстремальными значениями $\pm 1$ на полупериоде $\cos \theta$, а $a(x, t)$ — амплитуду. В частном случае монохроматического волнового пакета
\[
a=\text { const, } \theta=x x-\omega t, \omega=W(x) .
\]

В более общем случае определим локальное волновое число $k(x, t)$ и локальную частоту $\omega(x, t)$ равенствами
\[
k(x, t)=\frac{\partial \theta}{\partial x}, \quad \omega(x, t)=-\frac{\partial \theta}{\partial t} .
\]

Предположим теперь, что эти величины все еще связаны дисперсионным соотнопением
\[
\omega=W(k) ;
\]

тогда получим для $\theta$ уравнение
\[
\frac{\partial \theta}{\partial t}+W\left(\frac{\partial \theta}{\partial x}\right)=0,
\]

решение которого определяет кинематические свойства волнового пакета: Удобнее с помощью соотношений (1.28) исключить
2-01551

$\theta$, что дает уравнение
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0,
\]

и работать с системой уравнений (1.29) и (1.31). Подставив в уравнение (1.31) $W(k)$ вместо $\omega$, получим
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+C(k) \frac{\partial k}{\partial x}=0
\]

где $C(k)$ — групповая скорость, определяемая равенством (1.25). Это уравнение для $k$ является как раз простейшим нелинейным гиперболическим уравнением вида (1.12)! Его можно интерпретировать как волновое уравнение для распространения волнового числа $k$ со скоростью $C(k)$. В таком завуалированном виде в диспергирующих волнах содержатся гиперболические эффекты. Это позволяет использовать методы, описанные в части I книги, для репения задач по диспергирующим волнам.

Предложенный здесь в основном интуитивный анализ групповой скорости легко обобдается на случаи большего числа измерений и неоднородной среды, где либо точные решения громоздки, либо их невозможно найти. В таких случаях результаты обычно можно оправдать непосредственно, рассматривая их как первые члены некоторого асимштотического решения. Эти основные вопросы изучаотся в гл. 11, причем специально подчеркивается роль групповой скорости.

Как только введено понятие групповой скорости, в нашем распоряжении оказывается удивительно простой, но мощный метод установления основных свойств любой диспергирующей системы. Это иллюстрируется разнообразными примерами, приведенными в гл. 12.

При помощи асимптотического разложения интеграла Фурье (1.23) легко показать, что энергия передается обязательно с групповой скоростыю. Для возможности обобщений снова важно иметь прямые доказательства этого фундаментального результата. Некоторые из них приводятся в гл. 11 , но полностью удовлетворительного подхода до недавних пор не существовало. В самое последнее время решение этой задачи было получено как побочный результат исследования аналогичных вопросов для нелинейных волн.

В целом для решения нелинейных задач требуются более мощные методы, и постепенно была осознана возможность использования вариационных принципов. Они, по-видимому, обеспечивают корректный математический аппарат для выяснения ряда вопросов, связанных как с линейными, так и с нелинейными задачами. Судя по успехам, достигнутым недавно при помощи такого вариационного подхода, он привел к совершенно новому взгляду на вещи. Этот подход в упрощенном виде для линейных волн излагается в гл. 11, а во всей общности описывается в гл. 14.

Промежуточная глава 13 посвящена волнам на воде. Это, пожалуй, самая разнообразная и захватывающая область из всех, связанных с волновым движением. Она включает широкий класс природных явлений в океанах и реках и — при надлежащей интерпретации — охватывает гравитационные волны в атмосфере и различных жидкостях. Она явилась стимулом для развития теории диспергирующих волн и основой этой теории, сыграв в ней такую же роль, какую газовая динамика сыграла в теории гиперболических волн. В частности, все основные идеи теории нелинейных диспергирующих волн возникли при изучении волн на воде.