Диспергирующие волны не поддаются классификации так легко, как гиперболические волны. Как уже объяснялось в связи с решением (1.3), о них идет речь при рассмотрении определенных типов осциллирующих решений, описывающих волновые пакеты. Такие решения получаются при интегрировании различных уравнений в частных производных и даже некоторых интегральных уравнений. Сразу ясно, что задача характеризуется дисперсионным соотношением
$$\omega =W(x),$$

связывающим частоту $\omega$ и волновое число $\chi$. Источник этого соотношения для конкретной системы уравнений, описывающей данный процесс, имеет второстепенное значение. Типичными примерами служат уравнение колебаний балки
$${\phi }_{tt}+{\gamma }^2{\phi }_{xxxx}=0,\omega =\pm \gamma x^2,$$

линейное уравнение Кортевега — де Фриза
$${\phi }_t+c_0{\phi }_x+v{\phi }_{xxx}=0,\omega =c_{0}x-v{x}^3$$

и тинейное уравнение Буссинеска
$${\phi }_{tt}-{\alpha }^2{\phi }_{xx}={\beta }^2{\phi }_{xxtt},\omega =\pm \alpha x{(1+{\beta }^2{x}^2)}^{-1/2}.$$

Уравнения (1.19) и (1.20) появляются в приближенных теориях длинных волн на воде. Не приводя здесь общих уравнений для линейных волн на воде, отметим, что они имеют решение вида (1.3), описывающее возмущения свободной поверхности, с
$$\omega =\pm (g\chi \text{ th }xh{)}^{1/2},$$

тде $h$ — невозмущенная глубина, а $g$ — ускорение свободного падения. Другим примером служит классическая теория дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках, дающая соотнотение
$$({\omega }^2-v_0^2)({\omega }^2-c_0^2{\chi }^2)={\omega }^2{v}_p^2,$$

где $c_0$ — скорость света, $v_0$ — собственная частота осцилтятора и $v_p$ — плазменная частота.

Решения линейных задач более общие, чем решение (1.3), получаются суперпозицией таких решений и имеют вид интегралов Фурье
$$\phi ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}F(x)\cos (xx-Wt)dx,$$

где $W(x)$ — дисперсионная функция (1.17), зависящая от рассматриваемой системы. Функция (1.23) является — по крайней мере формально — репением для произвольной функции $F(x)$, которая с помощью обратного преобразования Фурье выбирается так, чтобы выполнялись граничные или начальные условия.

Решение вида (1.23) является суперпозицией отдельных волн с различными волновыми числами, каждая из которых распространяется со своей фазовой скоростью
$$c(x)=\frac{W(x)}{x}.$$

С ростом времени эти различные составляющие моды «диспергируют» (расползаются), в результате чего, например, одиночный горб превращается в длинный осдиллирующий волновой пакет —

цуг волн. Этот процесс изучается с помощью различных асимптотических разложений интеграла (1.23). При таком анализе ключевым понятием является групповая скорость
$$C(x)=\frac{dW}{dx}$$

Цуг волн, получающийся из) (1.23), не имеет постоянной длины волны; по-прежнему существует целый интервал волновых чисел x. В некотором смысле (его еще нужно выяснить) различные волновые числа распространяются по этому цугу волн со скоростью, равной групповой скорости (1.25). Оказывается, что в аналогичном смысле энергия также распространяется с групповой скоростью. Для истинно диспергирующих волн случай $W\sim x$ исключается, так что фазовая скорость (1.24) и групповая скорость (1.25) не совшадают. При этом в распространении волны доминирующую роль играет именно групповая скорость.

Учитывая ее огромную важность и помня о неоднородных средах и нелинейных волнах, желательно найти способы непосредственного опредетения групповой скорости и ее свойств без промежуточного преобразования Фурье. На интуитивном уровне это можно сделать очень просто, а в дальнейшем это оправдывается. Предшоложим, тто осциллирующий волновой пакет приближенно описывается выражением
$$\phi =a\cos \theta ,$$

где $a$ и $\theta$ — функции от $x$ и $t$. Функция $\theta (x,t)$ представляет собой «фазу», определяющую положение точки между экстремальными значениями $\pm 1$ на полупериоде $\cos \theta$, а $a(x,t)$ — амплитуду. В частном случае монохроматического волнового пакета
$$a=\text{ const, }\theta =xx-\omega t,\omega =W(x).$$

В более общем случае определим локальное волновое число $k(x,t)$ и локальную частоту $\omega (x,t)$ равенствами
$$k(x,t)=\frac{\partial \theta }{\partial x},\omega (x,t)=-\frac{\partial \theta }{\partial t}.$$

Предположим теперь, что эти величины все еще связаны дисперсионным соотнопением
$$\omega =W(k);$$

тогда получим для $\theta$ уравнение
$$\frac{\partial \theta }{\partial t}+W\left(\frac{\partial \theta }{\partial x}\right)=0,$$

решение которого определяет кинематические свойства волнового пакета: Удобнее с помощью соотношений (1.28) исключить
2-01551

$\theta$, что дает уравнение
$$\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega }{\partial x}=0,$$

и работать с системой уравнений (1.29) и (1.31). Подставив в уравнение (1.31) $W(k)$ вместо $\omega$, получим
$$\frac{\partial k}{\partial t}+C(k)\frac{\partial k}{\partial x}=0$$

где $C(k)$ — групповая скорость, определяемая равенством (1.25). Это уравнение для $k$ является как раз простейшим нелинейным гиперболическим уравнением вида (1.12)! Его можно интерпретировать как волновое уравнение для распространения волнового числа $k$ со скоростью $C(k)$. В таком завуалированном виде в диспергирующих волнах содержатся гиперболические эффекты. Это позволяет использовать методы, описанные в части I книги, для репения задач по диспергирующим волнам.

Предложенный здесь в основном интуитивный анализ групповой скорости легко обобдается на случаи большего числа измерений и неоднородной среды, где либо точные решения громоздки, либо их невозможно найти. В таких случаях результаты обычно можно оправдать непосредственно, рассматривая их как первые члены некоторого асимштотического решения. Эти основные вопросы изучаотся в гл. 11, причем специально подчеркивается роль групповой скорости.

Как только введено понятие групповой скорости, в нашем распоряжении оказывается удивительно простой, но мощный метод установления основных свойств любой диспергирующей системы. Это иллюстрируется разнообразными примерами, приведенными в гл. 12.

При помощи асимптотического разложения интеграла Фурье (1.23) легко показать, что энергия передается обязательно с групповой скоростыю. Для возможности обобщений снова важно иметь прямые доказательства этого фундаментального результата. Некоторые из них приводятся в гл. 11 , но полностью удовлетворительного подхода до недавних пор не существовало. В самое последнее время решение этой задачи было получено как побочный результат исследования аналогичных вопросов для нелинейных волн.

В целом для решения нелинейных задач требуются более мощные методы, и постепенно была осознана возможность использования вариационных принципов. Они, по-видимому, обеспечивают корректный математический аппарат для выяснения ряда вопросов, связанных как с линейными, так и с нелинейными задачами. Судя по успехам, достигнутым недавно при помощи такого вариационного подхода, он привел к совершенно новому взгляду на вещи. Этот подход в упрощенном виде для линейных волн излагается в гл. 11, а во всей общности описывается в гл. 14.

Промежуточная глава 13 посвящена волнам на воде. Это, пожалуй, самая разнообразная и захватывающая область из всех, связанных с волновым движением. Она включает широкий класс природных явлений в океанах и реках и — при надлежащей интерпретации — охватывает гравитационные волны в атмосфере и различных жидкостях. Она явилась стимулом для развития теории диспергирующих волн и основой этой теории, сыграв в ней такую же роль, какую газовая динамика сыграла в теории гиперболических волн. В частности, все основные идеи теории нелинейных диспергирующих волн возникли при изучении волн на воде.