Исследуем сначала уравнение (10.5) на устойчивость. Элементарное решение имеет вид
\[
\varphi=A e^{i k x-i \omega t},
\]

если
\[
\eta\left(\omega-k c_{1}\right)\left(\omega-k c_{2}\right)+i(\omega-k a) \boldsymbol{\rrbracket}=0 .
\]

Для сравнительно коротких волн $k c_{1} \eta \gg 1$ имеем
\[
\omega \simeq\left\{\begin{array}{l}
k c_{1}-\frac{i}{\eta} \frac{c_{1}-a}{c_{1}-c_{2}}, \\
k c_{2}-\frac{i}{\eta} \frac{a-c_{2}}{c_{1}-c_{2}} .
\end{array}\right.
\]

Если не будут выполнены условия
\[
\eta>0_{a} \quad c_{1}>a>c_{2},
\]

то одно из этих выражений будет иметь положительную мнимую часть, что свидетельствует о неустойчивости. Обратно, легко проверить, что при выполнении этих условий $\operatorname{Im} \omega<0$ при всех $k$, так что они полностью обеспечивают устойчивость. Будем теперь считать, что неравенства (10.13) выполнены, и рассмотрим более общие решения.

Основные моменты одинаково хорошо можно выявить как на решении задачи Коши при помощи преобразования Фурье, так и на решении задачи о распространении сигнала при помощи преобразования Лапласа. Мы выбрали последнюю, поскольку она содержит большее число различных частных случаев, зависящих от знаков $c_{1}, c_{2}$ и $a$.

Случай $c_{1}>a>0, c_{2}<0$. Это простейпий случай: поскольку $c_{2}<0$, возникает только $c_{1}$-семейство волн высшего порядка, а поскольку $a>0$, не существует противоречия между числом граничных условий, накладываемых при $x=0$. Для уравнения (10.5) корректно поставленная задача в этом случае имеет вид
\[
\begin{array}{ll}
\varphi=\varphi_{t}=0, & x>0, \quad t=0, \\
\varphi=f(t), & x=0, \quad t>0 .
\end{array}
\]

Для упрощенного уравнения (10.8) начальное условие $\varphi_{t}=0$ следовало бы опустить, но в любом случае рещение остается тождественно равным нулю для $x>0$ в течение некоторого интервала времени, так что никакой разницы нет. Используя преобразование Лапласа, будем искать решение уравнения (10.5) в следующем виде:
\[
\varphi(x, t)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{B}} \frac{\tilde{\varphi}(p, x) e^{p t}}{p} d p, \quad t>0,
\]

где $\mathscr{B}$ – контур $\operatorname{Re} p=$ const, проходящий правее всех особенностей пөдынтегрального выражения в комплексной $p$-плоскости. Подстановка в (10.5) дает
\[
\eta c_{1} c_{2} \tilde{\varphi}_{x x}+\left\{\eta\left(c_{1}+c_{2}\right) p+a\right\} \tilde{\varphi}_{x}+p(\eta p+1) \tilde{\varphi}=0,
\]

и общее решение $\tilde{\varphi}$ имеет вид
\[
\tilde{\varphi}=F(p) e^{x P_{1}(p)}+G(p) e^{x P_{2}(p)},
\]

где $P_{1}$ и $P_{2}$ – корни уравнения
\[
\eta c_{1} c_{2} P^{2}+\left\{\eta\left(c_{1}+c_{2}\right) p+a\right\} P+p(\eta p+1)=0,
\]

а $F$ и $G$ – произвольные функции. Для больших $p$
\[
P_{1} \sim-\frac{p}{c_{1}}, \quad P_{2} \sim-\frac{p}{c_{2}} .
\]

В этом случае, когда $c_{1}>0, c_{2}<0$, второй член в (10.16) неограничен для больших значений $\operatorname{Re} p$, так что следует положить $G(p)=0$; этот член соответствовал бы приходящим волнам со скоростью $c_{2}<0$ и поэтому исключается. Вторая функция $F(p)$ полностью определяется одним граничным условием $\varphi=$ $=f(t)$ при $x=0$. Фактически это требование состоит в том, что $F(p)$ должна быть преобразованием Лапласа функции $f(t)$. Окончательное решение, следовательно, имеет вид
\[
\varphi=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{B}} \frac{F(p)}{p} e^{p t+P_{1}(p) x} d p,
\]

\[
\begin{aligned}
F(p) & =p \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-p t} d t, \\
f(t) & =\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{B}} \frac{F(p) e^{p t}}{p} d p,
\end{aligned}
\]
a $P_{1}(p)$ – корень уравнения (10.17), имеющий асимптотику $-p / c_{1}$ при $p \rightarrow \infty$.

Когда $t-x / c_{1}<0$, контур можно замкнуть большой полуокружностью в правой полуплоскости и показать, что $\varphi=0$. Таким образом, волновой фронт описывается уравнением $x-c_{1} t=0$. Поведение $\varphi$ вблизи волнового фронта определяется более подробным асимптотическим представлением подынтегрального выражения в (10.18) при $p \rightarrow \infty$. Если контур $\mathscr{B}$ сдвинуть достаточно далеко вправо, то в (10.18) можно подставить разложение
\[
P_{1}=-\frac{p}{c_{1}}-\frac{1}{\eta c_{1}} \frac{c_{1}-a}{c_{1}-\frac{a}{c_{2}}}+O\left(\frac{1}{p}\right)
\]

и получить приближенное выражение
\[
\varphi \simeq f\left(t-\frac{x}{c_{1}}\right) \exp \left\{-\frac{c_{1}-a}{c_{1}-c_{2}} \frac{x}{c_{1} \eta}\right\} .
\]

Данный результат совпадает с первым членом разложения геометрической оптики (см. § 7.7); дальнейшие члены этого ряда можно получить, продолжив разложение функции $e^{P_{1} x}$ для больших $p$. Общий вид разложения можно найти, подставив разложение геометрической оптики непосредственно в (10.5), но (10.20), кроме того, связывает функцию от $t-x / c_{1}$ с граничными условиями. Выражение (10.20) справедливо вблизи волнового фронта. Оно показывает, что первое возмущение распространяется с $c_{1}$-волной, но это возмущение экспоненциально затухает и становится пренебрежимо малым на расстоянии порядка $c_{1} \eta$. При $\eta \rightarrow 0$ это возмущение становится пренебрежимо малым для всех $x>0$ в соответствии с упрощенным описанием.

Спросим теперь, где находится основное возмущение, описываемое формулой (10.18). Для получения ответа на этот вопрос исследуем поведение данного выражения на семействе прямых $x / t=$ const в $(x, t)$-плоскости, поскольку каждая из них является траекторией волны, движущейся с постоянной скоростью. Следует соблюдать разумную осторожность при вычислении пределов, и поэтому целесообразно ввести безразмерные величины
\[
q=\eta p, \quad Q(q)=\eta c_{1} P_{1}(p), \quad m=\frac{x}{c_{1} t} .
\]

Вообще говоря, граничная функция $f(t)$ вводит другой масштаб времени, скажем $T$, и $F(p)$ следует записать в виде
\[
F(p)=\mathscr{F}\left(q \frac{T}{\eta}\right) .
\]

Тогда (10.18) преобразуется в следующее выражение:
\[
\varphi=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{B}} \frac{\mathscr{F}(q T / \eta)}{q} e^{(q+m Q) t / \eta} d q,
\]

где $Q(q)$ – подходящий корень уравнения
\[
\frac{c_{2}}{c_{1}} Q^{2}+\left\{\left(1+\frac{c_{2}}{c_{1}}\right) q+\frac{a}{c_{1}}\right\} Q+q(q+1)=0 .
\]

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение выражения (10.21), когда $t / \eta \rightarrow \infty$ при фиксированном $m$. Согласно методу перевала, доминирующий вклад дается окрестностью точки $q=q^{*}$, для которой

или
\[
\frac{d}{d q}(q+m Q)=0
\]
\[
1+m Q^{\prime}\left(q^{*}\right)=0 .
\]

Первый член асимптотического разложения находится деформированием контура интегрирования в кривую скорейшего спуска $\mathscr{C}$, проходящую через точку $q=q^{*}$, и разложением величины $q+$ $+m Q$ по $q-q^{*}$ с точностью до квадратичных членов включительно. Таким образом, имеем
\[
\begin{aligned}
\varphi \sim \exp \left(\frac{t}{\eta}\right. & \left.\left\{q^{*}+m Q\left(q^{*}\right)\right\}\right) \times \\
& \times \frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{C}} \frac{\mathscr{F}(q T / \eta)}{q} \exp \left\{\frac{1}{2} \frac{t}{\eta} m Q^{\prime \prime}\left(q^{*}\right)\left(q-q^{*}\right)^{2}\right\} d q
\end{aligned}
\]

при $t / \eta \rightarrow \infty$.
В обычном методе перевала оставшаяся часть подынтегрального выражения также раскладывается в ряд Тейлора с центром в точке $q=q^{*}$ и $\mathscr{F}(q T / \eta) / q$ заменяется на $\mathscr{F}\left(q^{*} T / \eta\right) / q^{*}$. Этот дальнейший шаг будет справедлив для предела $t / \eta \rightarrow \infty, T / \eta$ фиксировано, что соответствует случаю, когда $t \gg \eta, t \gg T$. Но нас интересует случай $t \gg \eta, T \gg \eta$ независимо от величины $t / T$. Для того чтобы включить этот случай, в формуле (10.23) следует допустить возможность $T / \eta \rightarrow \infty$ и сохранить более общее выражение.

При исследовании поведения функции (10.23) удобво вернуться к исходным переменным. Имеем
\[
\varphi \sim \exp \left\{t p^{*}+x P_{1}\left(p^{*}\right)\right\} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{C}} \frac{F(p)}{p} \exp \left\{\frac{1}{\frac{1}{2}} x P_{1}^{\prime \prime}\left(p^{*}\right)\left(p-p^{*}\right)^{2}\right\} d p,
\]

где $p^{*}$ – функция от $x$ и $t$, определяемая равенством
\[
t+x P_{1}^{\prime}\left(p^{*}\right)=0 \text {. }
\]

Это выражение дает асимптотическое поведение функции $\varphi$, когда $t / \eta \rightarrow \infty, x /\left(c_{1} t\right)$ фиксировано. Простоты ради предположим, что $\int_{0}^{\infty} f(t) d t$ сходится, так что $F(p) / p$ конечно при $p \rightarrow 0$ и полюс отсутствует. (Случай, когда $f(t)$ стремится к постоянной при $t \rightarrow \infty$, также представляет интерес, но его очень легко исследовать, переформулировав задачу в терминах функции $\varphi_{t}$.) В асимптотическом выражении (10.24) доминирует экспонендиальный множитель, стоящий перед интегралом. Стационарные точки әкспоненты находятся из уравнения
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left\{t p^{*}+x P_{1}\left(p^{*}\right)\right\}=0,
\]

которое, в силу равенства (10.25), определяющего $p^{*}(x, t)$, сводится к равенству
\[
P_{1}\left(p^{*}\right)=0 \text {. }
\]

Согласно (10.17), равенство $P_{1}\left(p^{*}\right)=0$ должно соответствовать либо $p^{*}=0$, либо $p^{*}=-1 / \eta$, и легко проверить, что правильным выбором для $P_{1}$ является $p^{*}=0$. Следовательно, әкспоненциальный множитель в (10.24) имеет стационарное значение (в действительности локальный максимум) для тех значений $x$ и $t$, для которых $p^{*}=0$ является решением уравнения (10.25). Таким образом, максимум определяется из равенства
\[
t+P_{1}^{\prime}(0) x=0 .
\]

При помощи (10.17) легко проверить, что $P_{1}^{\prime}(0)=-a^{-1}$. Поэтому максимум экспоненциального множителя лежит на прямой
\[
x=a t
\]

и этот максимум является единственным. Возмущение (в рассматриваемом пределе) экспонендиально мало всюду, за исключением окрестности прямой $x=a t$. Таким образом, основная часть возмущения со временем начинает распространяться со скоро-

стью $a$. При $\eta \rightarrow 0$ это будет происходить все раньше и раньше, поскольку рассматриваемое приближение получено для $t \gg \eta$.

Можно получить и дальнейшую информацию о поведении основного возмущения. В окрестности прямой $x=a t$ соответствующие значения переменной $p^{*}$ малы. Детали возмущения можно найти, взяв дальнейшие члены разложения выражения (10.24) около точки $p^{*}=0$. Но тогда интеграл (10.18) мы аппроксимировали бы в два этапа: сначала разложили $p t+P_{\mathbf{1}}(p) x$ вблизи $p=p^{*}$, а затем полученное выражение разложили вблизи $p^{*}=0$. Очевидно, окончательный результат можно получить, просто разложив $p t+P_{1}(p) x$ вблизи $p=0$. Имеем
\[
P_{1}(p) \sim-\frac{p}{a}+\frac{p^{2} \eta\left(c_{1}-a\right)\left(a-c_{2}\right)}{a^{3}}+\ldots .
\]

Следовательно,
\[
\varphi \sim \frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{C}} \frac{F(p)}{p} \exp \left\{p\left(t-\frac{x}{a}\right)+\frac{p^{2} \eta\left(c_{1}-a\right)\left(a-c_{2}\right) x}{a^{3}}\right\} d p
\]

в окрестности прямой $x-a t=0$ при $t / \eta \rightarrow \infty$. В первом приближении
\[
\varphi \sim \frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{C}} \frac{F(p)}{p} \exp \left\{p\left(t-\frac{x}{a}\right)\right\} d p=f\left(t-\frac{x}{a}\right),
\]

что в точности совпадает с решением уравнения первого порядка (10.8). Таким образом, мы убедились в том, что формулиговка низшего порядка дает правильное описание основного возмущения.

Чтобы понять роль квадратичного члена в экспоненте в (10.26), целесообразнее найти уравнение, которому удовлетворяет интеграл (10.26), а не исследовать сам интеграл. Действительно, это выражение совпадает с решением уравнения
\[
\varphi_{t}+a \varphi_{x}=\frac{\eta\left(c_{1}-a\right)\left(a-c_{2}\right)}{a^{2}} \varphi_{t t},
\]

удовлетворяющим тому же самому граничному условию $\varphi=f(t)$ при $x=0$. Правая часть уравнения (10.27) уже является малой поправкой (порядка $\eta / t$ по сравнению с другими членами), так что имеет смысл использовать в ней первое приближение $\partial / \partial t \simeq$ $\simeq-a(\partial / \partial x)$ и перейти к эквивалентной форме
\[
\varphi_{t}+a \varphi_{x}=\eta\left(c_{1}-a\right)\left(a-c_{2}\right) \varphi_{x x} .
\]

Это уравнение нагляднее ${ }^{1}$ ); оно показываєт, что основная часть возмущения распространяется со скоростью $a$ и диффундирует

за счет членов высшего порядка в уравнении. Но последний эффект мал, когда $\eta$ мало.

Результаты для случая $c_{1}>a>0, c_{2}<0$ можно резюмировать следующим образом. Первые сигналы распространяются со скоростью $c_{1}$, но затухают, как показано в (10.20). Основное возмущение отстает и движется со скоростью волны низшего порядка $a$. В рассматриваемом случае нет противоречия между числом граничных условий, накладываемых при $x=0$; условие $\varphi=f(t)$ годится как для (10.5), так и для (10.8). Начиная со значения времени порядка $\eta$, первые сигналы становятся экспоненциально малыми и основная часть решения уравнения (10.5) хорошо описывается уравнением (10.8) с тем же самым граничным условием при $x=0$. Влияние членов высшего порядка заключается в диффузии волн низшего порядка, как показывает уравнение (10.28), но эта диффузия мала, если $\eta$ достаточно мало.

Случай $c_{1}>0, c_{2}<a<0$. В этом случае максимальное значение экспоненциального множителя в (10.24) все еще достигается на прямой $x=a t$, но при $a<0$ это происходит вне области $x>0$. Выражение (10.24) экспоненциально мало по всей области $x>0$. Метод перевала неприменим при $x=0$, поскольку, согласно (10.25), седловая точка, очевидно, отсутствует; однако при помощи (10.18) легко показать, что решение экспоненциально убывает от значения $\varphi=f(t)$ при $x=0$ и возмущение сосредоточено в пограничном слое толщиной $\eta / c_{1}$. В этом случае первый сигнал экспоненциально затухает, а основное возмущение не распространяется.

Упрощенное уравнение (10.8) не позволяет задавать значения $\varphi$ при $x=0$ и имеет решение $\varphi \equiv 0$. Это согласуется с предыдущим описанием в области вне пограничного слоя, и различие в граничных условиях поглощается пограничным слоем.

Случай $c_{1}>a>c_{2}>0$. В этом случае обе характеристики уравнения (10.5) направлены в область $x>0$ и следует наложить два условия
\[
\varphi=f(t), \quad \varphi_{x}=g(t) \quad \text { при } x=0, \quad t>0 .
\]

Заметим, однако, что только одно из них или, может быть, их комбинацию можно сохранить для (10.8). Два условия (10.29) в точности соответствуют положительности $c_{1}$ и $c_{2}$; оба члена в (10.16) следует сохранить, так что имеем две произвольные функции, которые надо определить. Пусть $\widetilde{f}(p)$ и $\tilde{g}(p)$ – преобразования Јапласа функций $f(t)$ и $g(t)$; тогда произвольные функции, входящие в решение (10.16), определяются из уравнений
\[
F+G=\widetilde{f}, \quad P_{1} F=P_{2} G=\tilde{g} .
\]

Исследование слагаемого вида (10.18) выдолняется точно так же, как и выше, и приводит к тому же заключению, а именно: первые сигналы распространяются со скоростью $c_{1}$, но затухают; основное возмущение распространяется соскоростью $a$ и диффундирует под действием эффектов высшего порядка. Основное возмущение опять хорошо ошисывается уравнением (10.8), и единственный новый вопрос связан с выбором подходящего граничного условия. Функция $F(p)$, фигурирующая в соответствующем решении (10.26), находится из уравнений (10.30):
\[
F=\frac{P_{2} \tilde{f}-\tilde{\mathrm{g}}}{P_{2}-P_{1}} .
\]

Но при выводе формулы (10.26) $P_{1}$ аппроксимируется для малых значений $\eta p$, и $P_{2}$ тоже следует аппроксимировать аналогичным образом. Из (10.17) легко получить, что
\[
\eta P_{1}=-\frac{\eta p}{a}+O\left(\eta^{2} p^{2}\right), \quad \eta P_{2}=-\frac{a}{c_{1} c_{2}}+O(\eta p) ;
\]

в этом ириближении равенство (10.31) сводится к
\[
F=\tilde{f} \text {. }
\]

Следовательно, граничное условие $\varphi=f(t)$ действительно выполняется; его следует использовать для ушрощенного уравнения. Второй член полного решения имеет вид
\[
\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathscr{B}} \frac{G(p)}{p} \exp \left\{p t+P_{2}(p) x\right\} d p .
\]

Поскольку $P_{2} \sim-p / c_{2}$ при $p \rightarrow \infty$, это выражение равно нулю при $x>c_{2} t$; следовательно, второй волновой фронт связан с волнами, распространяющимися со скоростью $c_{2}$. Как и ранее, легко показатъ, что эти волны экспоненциально затухают и становятся пренебрежимо малыми при $x /\left(c_{2} \eta\right) \gg 1$. Метод перевала затем показывает, что вклад интеграла (10.32) мал всюду, за исключением окрестности прямой $x=0$. Чтобы исследовать поведение решения вблизи $x=0$, можно использовать асимптотическое разложение, соответствующее предельному переходу
\[
\frac{t}{\eta} \rightarrow \infty, \frac{x}{c_{2} \eta} \text { фиксировано. }
\]

Известно, что эта асимптотика определяется видом подынтегрального выражения в (10.32) при малых $\eta p$. Имеем
\[
P_{2} \sim-\frac{a}{c_{1} c_{2} \eta}, \quad G(p) \sim-\left(\tilde{g}+\frac{p}{a} \tilde{f}\right) \frac{c_{1} c_{2} \eta}{a} .
\]

Следовательно, интеграл (10.32) имеет асимптотику
\[
-\left\{g(t)+\frac{1}{a} f^{\prime}(t)\right\} \frac{c_{1} c_{2}}{a} \eta \exp \left(-\frac{a}{c_{1} c_{2}} \frac{x}{\eta}\right) .
\]

Таким образом, первый вклад от интеграла (10.32) распространяется с $c_{2}$-волнами, но затухает, а его основной вклад соответствует пограничному слою и определяется выражением (10.33).

Pис. 10.2. ( $x, t$ )-диаграмма для задачи о расиространеннг сигнала. $A$ – пограничныї слой, $B$ – экспоненциальное затухание, $C$ – осповное возмущенше.
Полное репение при $t / \eta \gg 1$ получается сложением двух основных вкладов и имеет вид
\[
\varphi==f\left(t-\frac{x}{a}\right)-\left\{g(t)+\frac{1}{a} f^{\prime}(t)\right\} \frac{c_{1} c_{2}}{a} \eta \exp \left(-\frac{a}{c_{1} c_{2}} \frac{x}{\eta}\right) .
\]

В первом приближении это выражение удовлетворяет обоим граничным условиям. Второй член необходим для удовлетворения второго граничного условия, но быстро затухает вне пограничного слоя толщипой порядка $\eta c_{1} c_{2} / a$. Полученные результаты удобно изобразить на ( $x, t$ )-диаграмме, как показано па рис. 10.2.