Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Исследования Стокса волн на воде (первая публикация [1] в 1847 г.) положили начало нелинейной теории диспергирующих волн. Именно в этой работе, намного опередив другие исследования в данной области, он получил следующие фундаментальные результаты: во-первых, в нелинейных системах могут существовать периодические волновые пакеты и, во-вторых, дисперсионное соотношение содержит амплитуду. Зависимость от амплитуды приводит к важным качественным изменениям в поведении решения и вводит новые явления, а не только численные поправки, Проще всего изложить подход Стокса на примере уравнения Кортевега — де Фриза и затем сформулировать более общие результаты без детального исследования полных уравнений для случая проиввольной глубины. Цель Стокса состояла в нахождении следующего приближения к линейному волновому пакету. Для уравнения Кортевега — де Фриза это соответствует разложению по степеням $\alpha$ при $\alpha \ll \beta$. Такое разложение можно получить из точного решения (13.114), но проще и поучительнее обратиться непосредственно к исходному уравнению. Будем искать решение уравнения (13.99) в виде ряда где $\varepsilon$ — малый параметр, равный $a / h_{0}$ (пропорциональный $\alpha$ ). При этом мы получим цепочку уравнений: и т. д. Первое уравнение имеет решение где $\omega_{0}(x)$ — линейная дисперсионная функция Подставив эти значения в правую часть второго уравнения для $\zeta_{2}$, получим выражение, пропорциональное $\sin 2 \theta$, и можно найти решение $\zeta_{2} \propto \cos 2 \theta$. Тогда в третьем уравнении правая часть будет линейной комбинацией $\sin \theta$ и $\sin 3 \theta$. Член с $\sin 3 \theta$ можно согласовать с решением $\zeta_{3} \propto \cos 3 \theta$, но член с $\sin \theta$ резонирует с оператором в левой части, поскольку подстановка $\zeta_{3}$ сs $\cos \theta$ обращает левую часть в нуль. Имеется решение $\zeta_{3} \propto \sin \theta$, но этот «вековой член» неограничен по $\theta$. Стокс указал, что можно найти периодическое решение, представив $\omega$ также в виде степенного ряда Поскольку неприятности возникают только в третьем порядке, можно заранее положить $\omega_{1}=0$. Цепочка теперь принимает вид Если опять положить то..найдем Правую часть уравнения для $\zeta_{3}$ можно записать так: Выберем теперь и тем самым исключим резонансный член. Окончательный результат имеет вид Второе уравнение показывает характер зависимости дисперсионного соотношения от амплитуды. Следует отметить, что параметром разложения фактически является $\varepsilon /\left(x^{2} h_{0}^{2}\right)$, а это соответствует отношению $\alpha / \beta$. Сравнивая результаты с разложением решения (13.114) для малых $m=\alpha / \beta$, следует учесть различные способы выбора начала отсчета для $\eta$ и, следовательно, различные способы выбора $h_{0}$. Использование различных систем отсчета неизбежно; для предельного случая уединенной волны удобно поместить начало отсчета у подошвы волны, тогда как для линейного предела началом отсчета удобно считать средний уровень. Следует также отметить, что выражение (13.118) можно рассматривать как ряд Фурье для периодического волнового пакета и эту общую структуру можно считать заданной с самого начала. В нашем случае $\eta=\eta(\theta), \varphi=\varphi(\theta, y), \theta=x x-\omega t$, где $\eta$ и $\varphi-$ периодические по $\theta$ функции. Можно выбрать начало отсчета $y=0$ так, чтобы $\eta$ имела нулевое среднее значение, и тогда разложение для $\eta$ будет иметь вид где $\mu_{2}$ — коэффициент, который следует найти. Согласно выбору среднего значения $\bar{\eta}=0$, из второго условия на поверхности $y=\eta$ следует, что среднее значение $\bar{\varphi}_{t}$ не может быть нулевым и функция $\varphi$ в своем разложении должна иметь по крайней мере член с $t$. Это также можно интерпретировать как следствие поглощения постоянной интегрирования при первом выводе выражения для $\left(p-p_{0}\right) / \rho$. Другая возможность — сохранить ненулевое среднее значение величины $\eta$. Поскольку в физических величинах фигурируют только производные от $\varphi$, члены, пропорциональные $t$ или $x$, приемлемы для $\varphi$. Член, пропорциональный $x$, указывает на ненулевое среднее значение горизонтальной скорости. Здесь это среднее можно положить равным нулю. В дальнейшем при изучении модулированных волновых пакетов нам понадобятся как $\bar{\eta} Чтобы снова избежать появления в третьем порядке вековых членов, $\omega$ следует также разложить в ряд Когда все это выполнено, оказывается, что и Дисперсионное соотношение (13.123) является основным результатом. При $x^{2} h_{0}^{2} \ll 1$ возвращаемся к (13.119), а при $x^{2} h_{0}^{2} \gg 1$ получаем принадлежащую Стоксу формулу для глубокой воды Детали выкладок в случае произвольной глубины становятся довольно громоздкими. Их можно отчасти сократить подстановкой разложений в виде рядов Фурье в вариационный принцип (13.16) (13.17) и нахождением коэффициентов из вариационных уравнений (см. Уизем [11]). Выражения, полученные Стоксом, ограничены малой амплитудой и не могут описывать самые высокие волновые пакеты, у которых, как показывают наблюдения, гребни становятся острыми. Однако Стокс, рассматривая этот случай в точной постановке, показал, что если острые гребни имеются у волны со стационарным профилем, то угол при верпине должен быть равным $120^{\circ}$. Его рассуждения существенно опираются на предположение, что волна имеет постоянную форму и распространяется с постоянной скоростью. В этой ситуации течение стационарно в системе отсчета, движущейся вместе с гребнем. Решения уравнения Лапласа являются аналитическими функциями от $z=x+i y$, и достаточно общая сингулярная функция (при выборе вершины гребня в качестве начала отсчета) имеет вид В локальных полярных координатах $(r, \tilde{\omega})$, где $\tilde{\omega}$ отсчитывается от направленной вниз вертикали, имеем Записав уравнение свободной поверхности в виде $\eta=-r \cos \tilde{\omega}_{0}$, из условия для давления получаем, что Сравнивая показатели степени $r$, получаем Вторым граничным условием, определяющим свободную поверхность, является равенство $\partial \varphi / \partial \widetilde{\omega}=0$ при $\tilde{\omega}=\widetilde{\omega}_{0}$, откуда Полный угол $2 \tilde{\omega}_{0}$ равен $120^{\circ}$. Указанный вывод величины угла при вершине гребня несправедлив для нестационарных задач. Для стоячих волн теоретические соображения, предложенные Пенни и Прайсом [1] и менее убедительные чем в случае, рассмотренном Стоксом, предсказывают угол, равный $90^{\circ}$; эта величина экспериментально подтверждена Тейлором [5].
|
1 |
Оглавление
|