Исследования Стокса волн на воде (первая публикация [1] в 1847 г.) положили начало нелинейной теории диспергирующих волн. Именно в этой работе, намного опередив другие исследования в данной области, он получил следующие фундаментальные результаты: во-первых, в нелинейных системах могут существовать периодические волновые пакеты и, во-вторых, дисперсионное соотношение содержит амплитуду. Зависимость от амплитуды приводит к важным качественным изменениям в поведении решения и вводит новые явления, а не только численные поправки,

Проще всего изложить подход Стокса на примере уравнения Кортевега – де Фриза и затем сформулировать более общие результаты без детального исследования полных уравнений для случая проиввольной глубины. Цель Стокса состояла в нахождении следующего приближения к линейному волновому пакету. Для уравнения Кортевега – де Фриза это соответствует разложению по степеням $\alpha$ при $\alpha \ll \beta$. Такое разложение можно получить из точного решения (13.114), но проще и поучительнее обратиться непосредственно к исходному уравнению. Будем искать решение уравнения (13.99) в виде ряда
\[
\begin{array}{c}
\frac{\eta}{h_{0}}=\zeta=\varepsilon \zeta_{1}(\theta)+\varepsilon^{2 \zeta_{2}}(\theta)+\varepsilon^{3} \zeta_{3}(\theta)+\ldots, \\
\theta=x x-\omega t,
\end{array}
\]

где $\varepsilon$ – малый параметр, равный $a / h_{0}$ (пропорциональный $\alpha$ ). При этом мы получим цепочку уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\left(\omega-c_{0} x\right) \zeta_{1}^{\prime}-\gamma x^{3} \zeta_{1}^{\prime \prime \prime}=0, \\
\left(\omega-c_{0} x\right) \zeta_{2}^{\prime}-\gamma x^{3} \zeta_{2}^{\prime \prime \prime}=\frac{3}{2} c_{0} x \zeta_{1} \zeta_{1}^{\prime}, \\
\left(\omega-c_{0} x\right) \zeta_{3}^{\prime}-\gamma x^{3} \zeta_{3}^{\prime \prime \prime}=\frac{3}{2} c_{0} x\left(\zeta_{1} \zeta_{2}\right)^{\prime},
\end{array}
\]

и т. д. Первое уравнение имеет решение
\[
\zeta_{1}=\cos \theta, \quad \omega=\omega_{0}(x),
\]

где $\omega_{0}(x)$ – линейная дисперсионная функция
\[
\omega_{0}(x)=c_{0}(x)-\gamma x^{3} .
\]

Подставив эти значения в правую часть второго уравнения для $\zeta_{2}$, получим выражение, пропорциональное $\sin 2 \theta$, и можно найти решение $\zeta_{2} \propto \cos 2 \theta$. Тогда в третьем уравнении правая часть будет линейной комбинацией $\sin \theta$ и $\sin 3 \theta$. Член с $\sin 3 \theta$ можно согласовать с решением $\zeta_{3} \propto \cos 3 \theta$, но член с $\sin \theta$ резонирует с оператором в левой части, поскольку подстановка $\zeta_{3}$ сs $\cos \theta$ обращает левую часть в нуль. Имеется решение $\zeta_{3} \propto \sin \theta$, но этот «вековой член» неограничен по $\theta$. Стокс указал, что можно найти периодическое решение, представив $\omega$ также в виде степенного ряда
\[
\omega=\omega_{0}(x)+\varepsilon \omega_{1}(x)+\varepsilon^{2} \omega_{2}(x)+\ldots
\]

Поскольку неприятности возникают только в третьем порядке, можно заранее положить $\omega_{1}=0$. Цепочка теперь принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\left(\omega_{0}-c_{0} x\right) \zeta_{1}^{\prime}-\gamma x^{3} \zeta_{1}^{\prime \prime \prime}=0, \\
\left(\omega_{0}-c_{0} x\right) \zeta_{2}^{\prime}-\gamma x^{3} \zeta_{2}^{\prime \prime}=\frac{3}{2} c_{0} x \zeta_{1} \zeta_{1}^{\prime} \\
\left(\omega_{0}-c_{0} x\right) \zeta_{3}^{\prime}-\gamma x^{3} \zeta_{3}^{\prime \prime \prime}=\frac{3}{2} c_{0} x\left(\zeta_{1} \zeta_{2}\right)^{\prime}-\omega_{2} \zeta_{1}^{\prime}
\end{array}
\]

Если опять положить

то..найдем
\[
\zeta_{1}=\cos \theta, \omega_{0}=c_{0} x-\gamma x^{3},
\]
\[
\zeta_{2}=\frac{c_{0}}{8 \gamma x^{2}} \cos 2 \theta .
\]

Правую часть уравнения для $\zeta_{3}$ можно записать так:
\[
-\frac{3 c_{0}^{2}}{32 \gamma^{\chi}}(\sin \theta+3 \sin 3 \theta)+\omega_{2} \sin \theta .
\]

Выберем теперь
\[
\omega_{2}=\frac{3 c_{0}^{2}}{32 \gamma x}
\]

и тем самым исключим резонансный член. Окончательный результат имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\eta}{h_{0}}=\varepsilon \cos \theta+\frac{3 \varepsilon^{2}}{44 \chi^{2} h_{0}^{2}} \cos 2 \theta+\frac{27 \varepsilon^{3}}{64 \chi^{4} h_{0}^{4}} \cos 3 \theta+\ldots, \\
\frac{\omega^{*}}{c_{0} c_{0} x_{0}}=1-\frac{1}{6} \dot{x}^{2} h_{0}^{2}+\frac{9 \varepsilon^{2}}{16 x^{2} h_{0}^{2}}+\ldots . \\
\end{array}
\]

Второе уравнение показывает характер зависимости дисперсионного соотношения от амплитуды.

Следует отметить, что параметром разложения фактически является $\varepsilon /\left(x^{2} h_{0}^{2}\right)$, а это соответствует отношению $\alpha / \beta$. Сравнивая результаты с разложением решения (13.114) для малых $m=\alpha / \beta$, следует учесть различные способы выбора начала отсчета для $\eta$ и, следовательно, различные способы выбора $h_{0}$. Использование различных систем отсчета неизбежно; для предельного случая уединенной волны удобно поместить начало отсчета у подошвы волны, тогда как для линейного предела началом отсчета удобно считать средний уровень.

Следует также отметить, что выражение (13.118) можно рассматривать как ряд Фурье для периодического волнового пакета и эту общую структуру можно считать заданной с самого начала.
Случай произвольной глубины
В общем случае цель состоит в нахождении разложений по малой амплитуде периодических решений системы
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{x x}+\varphi_{y y}=0, \quad-h_{0}<y<\eta, \\
\varphi_{y}=0, \quad y=-h_{0}, \\
\eta_{t}+\varphi_{x} \eta_{x}-\varphi_{y}=0, \\
\left.\varphi_{t}+1 / 2 \varphi_{x q}^{2}+1 / 2 \varphi_{y_{1}}^{2}+g \eta=0\right\} y=\eta . \\
\end{array}
\]

В нашем случае $\eta=\eta(\theta), \varphi=\varphi(\theta, y), \theta=x x-\omega t$, где $\eta$ и $\varphi-$ периодические по $\theta$ функции. Можно выбрать начало отсчета $y=0$ так, чтобы $\eta$ имела нулевое среднее значение, и тогда разложение для $\eta$ будет иметь вид
\[
\eta=a \cos \theta+\mu_{2} u^{2} \cos 2 \theta+\ldots,
\]

где $\mu_{2}$ – коэффициент, который следует найти. Согласно выбору среднего значения $\bar{\eta}=0$, из второго условия на поверхности $y=\eta$ следует, что среднее значение $\bar{\varphi}_{t}$ не может быть нулевым и функция $\varphi$ в своем разложении должна иметь по крайней мере член с $t$. Это также можно интерпретировать как следствие поглощения постоянной интегрирования при первом выводе выражения для $\left(p-p_{0}\right) / \rho$.

Другая возможность – сохранить ненулевое среднее значение величины $\eta$. Поскольку в физических величинах фигурируют только производные от $\varphi$, члены, пропорциональные $t$ или $x$, приемлемы для $\varphi$. Член, пропорциональный $x$, указывает на ненулевое среднее значение горизонтальной скорости. Здесь это среднее можно положить равным нулю. В дальнейшем при изучении модулированных волновых пакетов нам понадобятся как $\bar{\eta}
eq 0$, так и $\bar{\varphi}_{x}
eq 0$, поскольку они изменяются при модуляциях и их нельзя исключить. Обобщения очевидны, так что здесь мы положим $\bar{\eta}=0, \bar{\varphi}_{x}=0$. Тогда разложение для $\varphi$ можно записать в виде
$\varphi=v_{0} a^{2} t+v_{1} a \operatorname{ch} x\left(y+h_{0}\right) \sin \theta+$
\[
+v_{2} a^{2} \operatorname{ch} 2 x\left(y+h_{0}\right) \sin 2 \theta+\ldots .
\]

Чтобы снова избежать появления в третьем порядке вековых членов, $\omega$ следует также разложить в ряд
\[
\omega=\omega_{0}(x)+a^{2} \omega_{2}(x)+\ldots .
\]

Когда все это выполнено, оказывается, что
\[
\frac{\omega^{2}}{g x \operatorname{th}^{2} x h_{0}}=1+\left(\frac{9 \operatorname{th}^{4} x h_{0}-10 \operatorname{th}^{2} \varkappa h_{0}+9}{8 \operatorname{th}^{4} \varkappa h_{0}}\right) \varkappa^{2} a^{2}+\ldots
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\mu_{2}=\frac{1}{2} x \operatorname{cth} x h_{0}\left(1+\frac{3}{2 \operatorname{sh}^{2} x h_{0}}\right), \\
v_{0}=-\frac{g \chi}{2 \operatorname{sh} 2 x h_{0}}, \quad v_{1}=\frac{\omega_{0}}{\varkappa \operatorname{sh} x h_{0}}, \quad v_{2}=\frac{3}{8} \frac{\omega_{0}}{\operatorname{sh}^{4} x h_{\theta}} .
\end{array}
\]

Дисперсионное соотношение (13.123) является основным результатом. При $x^{2} h_{0}^{2} \ll 1$ возвращаемся к (13.119), а при $x^{2} h_{0}^{2} \gg 1$ получаем принадлежащую Стоксу формулу для глубокой воды
\[
\omega^{2}=g \chi\left(1+x^{2} a^{2}+\ldots\right) .
\]

Детали выкладок в случае произвольной глубины становятся довольно громоздкими. Их можно отчасти сократить подстановкой разложений в виде рядов Фурье в вариационный принцип (13.16) (13.17) и нахождением коэффициентов из вариационных уравнений (см. Уизем [11]).

Выражения, полученные Стоксом, ограничены малой амплитудой и не могут описывать самые высокие волновые пакеты, у которых, как показывают наблюдения, гребни становятся острыми. Однако Стокс, рассматривая этот случай в точной постановке, показал, что если острые гребни имеются у волны со стационарным профилем, то угол при верпине должен быть равным $120^{\circ}$. Его рассуждения существенно опираются на предположение, что волна имеет постоянную форму и распространяется с постоянной

скоростью. В этой ситуации течение стационарно в системе отсчета, движущейся вместе с гребнем. Решения уравнения Лапласа являются аналитическими функциями от $z=x+i y$, и достаточно общая сингулярная функция (при выборе вершины гребня в качестве начала отсчета) имеет вид
\[
\varphi+i \psi \propto z^{m} .
\]

В локальных полярных координатах $(r, \tilde{\omega})$, где $\tilde{\omega}$ отсчитывается от направленной вниз вертикали,

имеем
\[
x=r \sin \tilde{\omega}, \quad y=-r \cos \tilde{\omega}, \quad z=-i r e^{-i \tilde{\omega}},
\]
\[
\varphi=C r^{m} \sin \tilde{\omega} \tilde{\omega} .
\]

Записав уравнение свободной поверхности в виде $\eta=-r \cos \tilde{\omega}_{0}$, из условия для давления
\[
\varphi_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}} \varphi_{\widetilde{\omega}}^{2}+g \eta=\mathrm{const}
\]

получаем, что
\[
C^{2} m^{2} r^{2 m-2}-g r \cos \tilde{\omega}_{0}=\text { const. }
\]

Сравнивая показатели степени $r$, получаем
\[
m=\frac{3}{2} \text {. }
\]

Вторым граничным условием, определяющим свободную поверхность, является равенство $\partial \varphi / \partial \widetilde{\omega}=0$ при $\tilde{\omega}=\widetilde{\omega}_{0}$, откуда
\[
\cos m \tilde{\omega}_{0}=0, \quad \tilde{\omega}_{0}=\frac{\pi}{2 m}=\frac{\pi}{3} .
\]

Полный угол $2 \tilde{\omega}_{0}$ равен $120^{\circ}$.
Мичелл [1] численно нашел периодическую волну наибольшей высоты для воды с бесконечной глубиной и обнаружил, что предельная высота достигается при $a / \lambda=0,142$, как уже было отмечено выше.

Указанный вывод величины угла при вершине гребня несправедлив для нестационарных задач. Для стоячих волн теоретические соображения, предложенные Пенни и Прайсом [1] и менее убедительные чем в случае, рассмотренном Стоксом, предсказывают угол, равный $90^{\circ}$; эта величина экспериментально подтверждена Тейлором [5].