В одной из наиболее интересных работ, относящихся к этой области, Захаров и Шабат [1] показали, как, следуя Лаксу [1], можно применить обратную задачу рассеяния по аналогии с методом репения уравнения Кортевега – де Фриза. Этот метод годится для любого уравнения
\[
u_{t}=S u,
\]
которое можно представить в виде
\[
\frac{\partial L}{\partial t}=i[L, A]=i(L A-A L),
\]
где $L$ и $A$ – линейные дифференциальные операторы с коэффициентами, содержащими функцию $u(x, t)$, а $\partial L / \partial t$ отвечает дифференцированию $u$ по $t$ в выражении для $L$. Как только такое представление получено (весьма нетривиальный шаг), решение строится следующим образом.
Рассмотрим задачу на собственные значения
\[
L \psi=\lambda \psi \text {. }
\]
Дифференцирование по $t$ дает
\[
\begin{aligned}
i \psi \frac{d \lambda}{d t}+i \lambda \frac{\partial \psi}{\partial t} & =i L \psi_{t}+i \frac{\partial L}{\partial t} \psi= \\
& =i L \psi_{t}-(L A-A L) \psi= \\
& =L\left(i \psi_{t}-A \psi\right)+\lambda A \psi .
\end{aligned}
\]
Следовательно,
\[
i \psi \frac{d \lambda}{d t}=(L-\lambda)\left(i \psi_{t}-A \psi\right) .
\]
Если в начальный момент функция $\psi$ удовлетворяет уравнению $L \psi=\lambda \psi$ и ее эволюция во времени описывается уравнением
\[
i \psi_{t}=A \psi,
\]
то она продолжает удовлетворять уравнению $L \psi=\lambda \psi$ с тем же значеннем $\lambda$. Уравнение (17.69) связывает функцию $u(x, t)$ с задачей рассеяния, а уравнение (17.70) дает зависимость данных рассеяния от времени. Решение затем строится так же, как и выше. Уравнение (17.68) при этом является условием совместности уравнений (17.69) и (17.70).
Решающий шат состоит в выделении оператора $L$, входящего в уравнение (17.68). Захаров и Шабат заметили (по-видимому, нужно было просчитать много вариантов), что матричные операторы
\[
\begin{array}{c}
L=i\left[\begin{array}{cc}
1+p & 0 \\
0 & 1-p
\end{array}\right] \frac{\partial}{\partial x}+\left[\begin{array}{cc}
0 & u^{*} \\
u & 0
\end{array}\right], \quad v=\frac{2}{1-p^{2}}, \\
A=-p\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right] \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\left[\begin{array}{cc}
\frac{|u|^{2}}{1+p} & i u_{x}^{*} \\
-i u_{x} & \frac{-|u|^{2}}{1-p}
\end{array}\right]
\end{array}
\]
осуществляют требуемое представление (17.68).
Начиная с этого места, их анализ аналогичен исследованию уравнения Кортевега – де Фриза, хотя существенное изменение вносится необходимостью рассмотрения обратной задачи рассеяния для уравнения (17.69), поскольку оператор $L$ несамосопряженный. Была разработана соответствующая: техника сингулярных интегральных уравнений, несколько отличающаяся от подхода Гельфанда – Јевитана. Захаров и Шабат использовали эволюцию $\psi$, описываемую уравнением (17.70), для получения информации о поведении матрицы рассеяния, а затем по этой информации построили $u(x, t)$. Здесь также оказывается полезной альтернативная версия, основанная на уравнениях, аналогичных уравнениям $(17.38)-(17.39)$.
Качественно результаты аналогичны результатам для уравнения Кортевега – де Фриза. Решения, описывающие взаимодействующие уединенные волны, получаются в явном виде и отвечают случаю, когда вклад дает только точечный спектр. Выражение для $|u|^{2}$ снова имеет вид
\[
|u|^{2} \propto \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln |P|,
\]
где $|P|$ – определитель из экспонент, на этот раз связанный с оператором
\[
i \frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} .
\]
Это решение опять подтверждает, что уединенные волны сохраняют свою структуру и выходят из области взаимодействия в своем первоначальном виде с возможными задержками, вызванными взаимодействием.
Решение задачи с начальными значениями находится так же, как и выше, и кажется ясным, что при больших значениях времени доминирует вклад точечного спектра. Это означает, что возмущения стремятся перейти в серию уединенных волн. Анализ ограничен решениями, для которых $|u| \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$, но кажется справедливым предположение, что серии уединенных волн являются конечным результатом развития волновых пакетов, неустойчивых по отношению к модуляциям.
