Когда возмущения малы, нелинейные уравнения часто линеаризуются за счет пренебрежения всеми членами порядка выше первого по степеням возмущения. Для слабых возмущений с $\left(c-c_{0}\right) / c_{0} \ll 1$ уравнение
\[
c_{t}+c c_{x}=0
\]
после линеаризации переходит в
\[
c_{t} \downarrow+c_{0} c_{x}=0 .
\]
Как уже было указано выпе, репение этого уравнения имеет вид $c-c_{0}=f\left(x-c_{0} t\right)$. Эффект опрокидывания и образование разрывов полностью отсутствуют, однако, как показывают рис. 2.11, 2.13 , и 2.15 , для достаточно больших значений времени, эти әффекты становятся определяющими, сколь бы слабым ни былс начальное возмущение. Из сравнения этих результатов следует, что линеаризованное приближение не может быть равномерным при $t \rightarrow \infty$.
Это можно установить и непосредственно, считая, что линейная теория учитывает только первые члены формальных разложений по степеням малого параметра. Пусть $\varepsilon$ характеризует наибольшее начальное значение возмущения $\left(c-c_{0}\right) / c_{0}$, п пусть решение ищется в виде
\[
c=c_{0}+\varepsilon c_{1}(x, t)+\varepsilon^{2} c_{2}(x, t)+\ldots
\]
Подставив это разложение в уравнение $c_{t}+c c_{x}=0$ и приравняв нулю коэффициенты при $\varepsilon^{n}$, получим депочку уравнений, начинающуюся уравнениями
\[
\begin{array}{l}
c_{1 t}+c_{0} c_{1 x}=0, \\
c_{2 t}+c_{0} c_{2 x}=-c_{1} c_{1 x}, \\
c_{3 t}+c_{0} c_{3 x}=-c_{2} c_{1 x}-c_{1} c_{2 x} .
\end{array}
\]
Эти уравнения легко решаются последовательно, поскольку на каждом шаге имеем уравнение вида
\[
\varphi_{t}+c_{0} \varphi_{x}=\Phi(x, t),
\]
где $Ф-$ функция, характеристическую ние можно записать так:
\[
\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)_{y=\text { const }}=\Phi\left(y+c_{0} t, t\right) ;
\]
следовательно,
\[
\varphi=\int_{0}^{t} \Phi\left(y+c_{0} \tau, \tau\right) d \tau+\Psi_{i}(y) .
\]
Для $c$ можно принять начальное Уусловие
\[
c=c_{0}+\varepsilon P(x) \text { при } t=0
\]
и положить
\[
c_{1}=P(x), \quad c_{n}=0 \quad(n>1) \text { при } t=0 .
\]
В этом случае дополнительные функции $\Psi(y)$ равны нулю для решений $c_{n}, n>1$. Первые три функции $c_{n}$ имеют вид].
\[
\begin{array}{l}
c_{1}=P(y), \\
c_{2}=-t P(y) P^{\prime}(y), \\
c_{3}=\frac{t^{2}}{2}\left(P^{2} P^{\prime}\right)^{\prime} .
\end{array}
\]
Ясно, что в общем случае $c_{n}$ содержит член вида $t^{n-1} R_{n}(y)$. Следовательно, последовательные члены предполагаемого ряда для $c$ имеют порядок $\varepsilon^{n} t^{n-1}$ и ряд не может сходиться равномерно при $t \rightarrow \infty$.
Недостаток линеаризованной теории, отчетливо проявляющийся при нахождении членов высших порядков, заключается в том, что она аппроксимирует характеристики семейством прямых $x-c_{0} t=$ const. Незначительные отклонения истинных характеристик друг от друга приводят к большим смещениям при $t \rightarrow \infty$. Правильное решение можно записать в виде телескопической
функции
\[
\begin{aligned}
c & =c_{0}+\varepsilon P(x-c t)= \\
& =c_{0}+\varepsilon P\left(x-\left[c_{0}+\varepsilon P\right] t\right)
\end{aligned}
\]
и т. д. Используя формальное разложение в ряд Тейлора, можно теперь получить разложение решения в ряд по степеням возмущения.
