Существует несколько подходов, при помощи которых можно математически изучить метод введения нелинейности для конкретных систем, и каждый из них отражает свои аспекты этого приближения.

Прежде всего предположим, что нелинейное уравнение для $\varphi$ имеет вид
\[
\varphi_{t}+\left(c_{0}+c_{1} \varphi\right) \varphi_{x}+\frac{\beta c_{0}}{x} \varphi=0 .
\]

В данной ситуации это уравнение предлагается как модель, но впоследствии мы увидим его связь с другими случаями. Јинеаризованное уравнение
\[
\varphi_{t}+c_{0} \varphi_{x}+\frac{\beta c_{0}}{x} \varphi=0
\]

имеет решение
\[
\varphi=\frac{f\left(t-x / c_{0}\right)}{x^{\beta}} .
\]

При $\beta=1$ это выражение соответствует сферической волне, при $\beta=1 / 2$ — цилиндрической. Характеристическая форма уравнения (9.35) записывается так:
\[
\begin{aligned}
\left(c_{0}+c_{1} \varphi\right) \frac{d \varphi}{d x} & =-\frac{\beta c_{0}}{x} \varphi, \\
\frac{d t}{d x} & =\frac{1}{c_{0}+c_{1} \varphi} .
\end{aligned}
\]

Уравнение (9.38) имеет точное репшение
\[
\varphi e^{c_{1} \varphi / c_{0}}=\frac{f(\tau)}{x^{\beta}},
\]

где $\tau$ — характеристическая переменная, которую следует определить из уравнения (9.39). Ясно, что выражение
\[
\varphi=\frac{f(\tau)}{x^{\beta}}
\]

для малых ч является равномерным приближением к (9.40). Это подтверждает основное предположение данного метода. Способ определения переменной $\tau$ можно изучить, используя разложения выражений (9.39) и (9.40) по степеням $\varphi$, сходящиеся при $|\varphi|<$ $<c_{0} / c_{1}$. Имеем
\[
\frac{d t}{d x}=\frac{1}{c_{0}}+\frac{\gamma_{1} f(\tau)}{x^{\beta}}+\frac{\gamma_{2} f^{2}(\tau)}{x^{2 \beta}}+\ldots,
\]

где коэффициенты $\gamma_{n}$ выражаются через $c_{0}$ и $c_{1}$; в частности, $\gamma_{1}=$ $=-c_{1} / c_{0}^{2}$. Отсюда
\[
t=T(\tau)+\frac{x}{c_{0}}+\frac{\gamma_{1} f(\tau)}{1-\beta} x^{1-\beta}+\frac{\gamma_{2} f^{2}(\tau)}{1-2 \beta} x^{1-2 \beta}+\ldots .
\]
(В случае когда $\beta=1,1 / 2$ и т. д., соответствующие степени заменяются логарифмами.) Первое равномерное приближение имеет

вид
\[
t=T(\tau)+\frac{x}{c_{0}}+\frac{\gamma_{1} f(\tau)}{1-\beta} x^{1-\beta}
\]

и согласуется с результатами, вытекающими из (9.41) и уравнения
\[
\frac{d t}{d x}=\frac{1}{c_{0}}-\frac{c_{1}}{c_{0}^{2}} \varphi .
\]

Следовательно, равномерное приближение, полученное из уравнений (9.41) и (9.43), в точности совпадает с приближением метода введения нелинейности. Заметим, что в самом деле было бы бессмысленно добавлять дальнейшие члены в разложение (9.44) без добавления соответствующих членов в приближение (9.41).

Остальные подходы иллюстрируются на примере уравнения для сферических волн в газовой динамике (чтобы сделать выкладки как можно проще), но не вызывает сомнений, что они пройдут (с возможными незначительными изменениями) и в других случаях. Достаточно, опять-таки простоты ради, привести детали лишь для изэнтропического течения, хотя методы не ограничены этим случаем, и даже при наличии ударных волн изменения энтропии для слабых волн не влияют на члены низшего порядка. Полные уравнения были приведены выше (см. уравнения (6.132) — (6.134)), и для изэнтропического течения их можно свести к следующей системе уравнений для скорости звука $a$ и радиальной скорости $u$ :
\[
\begin{aligned}
a_{t}+u a_{r}+\frac{\gamma-1}{2} a\left(u_{r}+\frac{2 u}{r}\right) & =0, \\
u_{t}+u u_{r}+\frac{2}{\gamma-1} a a_{r} & =0 .
\end{aligned}
\]

Разложения по малому параметру
Один очевидный подход состоит в том, чтобы продолжить формальные разложения по малой амплитуде за рамки линейной теории, посмотреть, что будет не так, и внести исправления. Здесь оказывается полезным ввести малый параметр $\varepsilon$ в явном виде; например, $\varepsilon$ можно положить равным максимальной величине отношения $u / a_{0}$ на некоторой исходной поверхности. Тогда формальные разложения примут вид
\[
\begin{array}{l}
u=\varepsilon u_{1}(r, t)+\varepsilon^{2} u_{2}(r, t)+\ldots, \\
a=a_{0}+\varepsilon a_{1}(r, t)+\varepsilon^{2} a_{2}(r, t)+\ldots
\end{array}
\]

Подставим их в (9.45) и (9.46). Приравнивая коэффициенты при последовательных степенях $\varepsilon$ к нулю, получим цепочку систем уравнений для $\left(u_{1}, a_{1}\right),\left(u_{2}, a_{2}\right), \ldots$ Очевидно для $u_{1}$ и $a_{1}$ получим линейные выражения, выведенные ранее; их главные ұлены

будут пропорциональны $F\left(t-r / a_{0}\right) / r$. Затем находятся выражения для $u_{2}$ и $a_{2}$, содержащие члөны с $r^{-1} \ln r, r^{-2} \ln r$ и $r^{-2}$. Первый из них несет ответственность за неравномерность, поскольку из-за него отношения $u_{2} / u_{1}$ и $a_{2} / a_{1}$ стремятся к бесконечности при $r \rightarrow \infty$; другие же члены безвредны. Эти выражения имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{u}{a_{0}}=\varepsilon\left\{\frac{F\left(\tau^{*}\right)}{r}\right.\left.-\frac{f\left(\tau^{*}\right)}{a_{0} r^{2}}\right\}+ \\
+\varepsilon^{2}\left\{\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} \frac{F\left(\tau^{*}\right) F^{\prime}\left(\tau^{*}\right)}{r} \ln r+\bar{u}_{2}\right\}+\ldots, \\
\frac{2}{\gamma-1} \frac{a-a_{0}}{a_{0}}=\varepsilon \frac{F\left(\tau^{*}\right)}{r}+\varepsilon^{2}\left\{\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} \frac{F\left(\tau^{*}\right) F^{\prime}\left(\tau^{*}\right)}{r} \ln r+\bar{a}_{2}\right\}+\ldots,
\end{array}
\]

где $\tau^{*}$ — линеаризованная характеристическая переменная $t$ $-r / a_{0}$. Здесь $\bar{u}_{2}$ и $\bar{a}_{2}$ обозначают члены, равномерно ограниченные по $u_{1}$ и $a_{1}, F\left(\tau^{*}\right)=-f^{\prime}\left(\tau^{*}\right) / a_{0}^{2}$, как и раньше, а $\varepsilon F$ теперь заменяет функцию $F$ в (9.20) и (9.21). Мы сразу замечаем, что появление «неправильных» членов можно интерпретировать как следствие неоправданного применения разложений в ряд Тейлора к выражениям

где
\[
\begin{aligned}
\frac{u}{a_{0}} & =\varepsilon\left\{\frac{F(\tau)}{r}-\frac{f(\tau)}{a_{0} r^{2}}\right\}, \\
\frac{2}{\gamma-1} \frac{a-a_{0}}{a_{0}} & =\varepsilon \frac{F(\tau)}{r},
\end{aligned}
\]
\[
\tau=\tau^{*}+\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} \varepsilon F(\tau) \ln r .
\]

Но эти выражения в точности совпадают с предложенным нелинейным решением (9.20), (9.21) с переменной $\tau$, определенной как в (9.24), и с $T(\tau)=\tau$. Ситуация очень напоминает ситуацию, рассмотренную в § 2.10. Процедура последовательного подправления ряда Тейлора известна в теории возмущений. Введение произвольной функции $T(\tau)$ вносит больше свободы в выбор характеристической переменной $\tau$, и этот произвол в выборе $\tau$ компенсируется при определении функции $F(\tau)$ из граничных условий, так что окончательное решение определяется однознәчно.

Предыдущее исследование показывает, что во избежание неравномерностей следует начинать с разложений
\[
\begin{array}{l}
u=\varepsilon u_{1}(r, \tau)+\varepsilon^{2} u_{2}(r, \tau)+\ldots, \\
a=a_{0}+\varepsilon a_{1}(r, \tau)+\varepsilon^{2} a_{2}(r, \tau)+\ldots,
\end{array}
\]

где $\tau=\tau(t, r, \varepsilon)$ выбирается надлежащим образом. Еще лучше добавить к (9.47) разложение
\[
t=t_{0}(r, \tau)+\varepsilon t_{1}(r, \tau)+\ldots
\]

и определять функцию $t(r, \tau, \varepsilon)$, подбирая $t_{1}(r, \tau), t_{2}(r, \tau), \ldots$ так, чтобы не возникали члены, нарупающие равномерность приближения. В волновых задачах мы ожидаем, что последнее разложение будет определяться требованием, чтобы кривые $\tau=$ = const были характеристиками. (Этот метод «деформированных координат» (strained coordinate) был предложен Лайтхиллом [3] в связи с другими задачами.) Предполагая заранее, что $\tau$ окажется характеристической переменной, очевидно предпочтительнее перейти в уравнениях (9.45)-(9.46) к независимым переменным $\tau$ и $r$, полагая $t=t(\tau, r)$. При этом, в силу уравнения для характеристик,
\[
\frac{\partial t}{\partial r}=\frac{1}{a+u} .
\]

Тогда уравнения можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{\gamma-1} a_{r}+u_{r}+\frac{2 a u}{a+u} \frac{1}{r} & =0, \\
\frac{2}{\gamma-1} a_{\tau}-u_{\tau}-\left(\frac{2}{\gamma-1} a a_{r}+u u_{r}\right) \frac{a+u}{a} t_{\tau} & =0 .
\end{aligned}
\]

Система несимметрична вследствие смешанного использования характеристической переменной $\tau$ и радиального расстояния $r$. Однако (9.50) можно рассматривать как характеристическое уравнение для изменений вдоль характеристик $\tau=$ const.

Уравнения (9.49) — (9.51) теперь решаются с помощью разложений (9.47) и (9.48). В низшем порядке уравнение (9.49) дает
\[
\frac{\partial t_{0}}{\partial r}=\frac{1}{a_{0}},
\]

откуда
\[
t_{0}=\frac{r}{a_{0}}+T(\tau) .
\]

Члены первого порядка в (9.50) и (9.51) дают нам уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{2}{\gamma-1} a_{1 r}+u_{1 r}+\frac{2 u_{1}}{r}=0, \\
\frac{2}{\gamma-1} a_{1 \tau}-u_{1 \tau}-\frac{2}{\gamma-1} a_{0} a_{1 r} T^{\prime}(\tau)=0 .
\end{array}
\]

При решении этих уравнений следует помнить, что они являются замаскированными линеаризованными уравнениями. Легко проверить, что решение имеет вид
\[
\begin{aligned}
\frac{u_{1}}{a_{0}} & =\frac{F(\tau)}{r}-\frac{f(\tau)}{a_{0} r^{2}}, \\
\frac{2}{\gamma-1} \frac{a_{1}}{a_{0}} & =\frac{F(\tau)}{r},
\end{aligned}
\]

где $f^{\prime}(\tau)=-a_{0}^{2} F(\tau) T^{\prime}(\tau)$. В следующем порядке (9.49) дает
\[
\frac{\partial t_{1}}{\partial r}=-\frac{u_{1}+a_{1}}{a_{0}^{2}} .
\]

Отсюда
\[
t_{1}=-\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} F(\tau) \ln r-\frac{1}{a_{0}^{2}} \frac{f(\tau)}{r} .
\]

Полученные члены низшего порядка в точности совпадают с нелинейной модификацией решения, описанной формулами (9.20) (9.23), оправдывая, таким образом, наш метод и давая последовательную схему для приближений высших порядков.
Разложения на больших расстояниях
Вариантом этого подхода является использование разложений функций $u(r, \tau), a(r, \tau), t(r, \tau)$ не по стеценям малого амплитудного параметра $\varepsilon$, а по отрицательным степеням $r$ (дополненным при необходимости логарифмическими членами) с коэффициентами, зависящими от $\tau$. Это по существу совпадает с подходом, использованным автором в его ранних статьях (Уизем $[1,2]$ ).
Разложение вблизи волнового фронта
Другой подход, не в такой мере использующий разложения по степеням $\varepsilon$, основан на аналогии с простыми волнами в плоском случае. Полная система характеристических уравнений для $(9.45)-(9.46)$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\left\{\frac{\partial}{\partial t}+(u-a) \frac{\partial}{\partial r}\right\}\left(\frac{2}{\gamma-1} a-u\right)+\frac{2 a u}{r}=0, \\
\left\{\frac{\partial}{\partial t}+(u+a) \frac{\partial}{\partial r}\right\}\left(\frac{2}{\gamma-1} a+u\right)+\frac{2 a u}{r}=0 .
\end{array}
\]

В плоском случае член $2 a u / r$ отсутствует и для простой волны уравнение (9.52) заменяется следующим утверждением: величина
\[
\frac{2 a}{\gamma-1}-u
\]

постоянна всюду. В сферическом случае это заключение в точной формулировке неверно. Однако изменение рассматриваемой римановой переменной будет зависеть от величины интеграла
\[
\int_{C_{-}} 2 a u \frac{d t}{r},
\]

взятого вдоль характеристики $C_{-}$. Вблизи фронта волны этот вклад будет малым, поскольку область интегрирования мала (см. рис. 9.1). Относительное изменение римановой переменной за

счет интеграла фактически будет иметь порядок $a_{0} \tau / r$, поскольку $\tau$ дает оценку изменения времени вблизи фронта волны. Далее, из сказанного выше следует, что наибольший интерес представ-

Рис. 9.1. Характеристики и ударная волна в случае сферических волн.

ляет область $a_{0} \tau / r \ll 1$. Поэтому ясно, что предположение о постоянстве инварианта Римана является в этой области хоропим приближением. Примем в качестве приближения к уравнению (9.52) равенство
\[
\frac{2 a}{\gamma-1}-u=\frac{2 a_{0}}{\gamma-1} ;
\]

тогда уравнение (9.53) окажется единственным уравнением первого порядка для определения $u$. При его решении потребуется интегрирование вдоль характеристик $C_{+}$и область интегрирования вдоль $C_{+}$не мала. Это уравнение для $u$ имеет вид
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+\left(a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} u\right) \frac{\partial u}{\partial r}+\left(a_{0}+\frac{\gamma-1}{2} u\right) \frac{u}{r}=0 .
\]

Оно почти что совнадает с уравнением (9.35) при $\beta=1$ и может исследоваться аналогичным образом. Полезно также сравнить уравнение (9.55) с уравнением (6.83) для плоского случая. Точное решение (9.55) имеет вид
\[
\frac{u}{a_{0}}\left(1+\frac{\gamma-1}{2} \frac{u}{a_{0}}\right)^{2 /(\gamma-1)}=\frac{F(\tau)}{r},
\]

где $\tau$ — характеристическая переменная, которую следует определять из уравнения
\[
\frac{\partial t}{\partial r}=\left(a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} u\right)^{-1} \simeq \frac{1}{a_{0}}-\frac{\gamma+1}{2} \frac{u}{a_{0}^{2}} .
\]

Равномерное приближение имеет вид
\[
\frac{i}{a_{0}}=\frac{F(\tau)}{r}, \quad t_{2}=\frac{r}{a_{0}}-\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} F(\tau) \ln r+T(\tau),
\]

и, согласно (9.54),
\[
\frac{2}{\gamma-1} \frac{a-a_{0}}{a_{0}}=\frac{u}{a_{0}}=\frac{F(\tau)}{r} .
\]

Это совпадает с предложенным выше решением (9.24). Следует, однако, отметить, что в этом подходе в отличие от предыдущего мы получаем для $u$ и $a$ только приближения, соответствующие геометрической акустике. Этого вполне достаточно для описания поведения в области $a_{0} \tau / r \ll 1$, но для определения $F(\tau)$ требуются другие методы.

Когда в головной части волны имеется ударная волна, скачки энтропии и инварианта Римана (9.54) будут величинами третьего порядка по интенсивности ударной волны и не окажут влияния на приближение низшего порядка.
Разложение $N$-волны
При наличии ударных волн типичное асимптотическое поведение окончательного волнового профиля на больших расстояниях представляется $N$-волной с центром на предельной характеристике $\tau_{0}$. Для сферических волн, уточнив коэффициенты в (9.24), получим
\[
\frac{2}{\gamma-1} \frac{a-a_{0}}{a_{0}} \sim \frac{u}{a_{0}} \sim-\frac{2 a_{0}}{\gamma+1}\left\{t-\frac{r}{a_{0}}-T\left(\tau_{0}\right)\right\}(r \ln r)^{-1} .
\]

Это указывает на то, что окончательный профиль в виде $N$-волны можно получить непосредственно, если искать решения в виде разложений
\[
\begin{array}{l}
u=v_{1}(r)\left(\zeta-\zeta_{0}\right)+v_{2}(r)\left(\zeta-\zeta_{0}\right)^{2}+\ldots, \\
a=a_{0}+b_{1}(r)\left(\zeta-\zeta_{0}\right)+b_{2}(r)\left(\zeta-\zeta_{0}\right)^{2}+\ldots,
\end{array}
\]

где $\zeta=t-r / a_{0}$ и $\zeta_{0}$ обозначает асимптотически прямую характеристику между ударными волнами. Если эти разложения подставить в уравнения (9.45) — (9.46), то приравнивание коэффициентов при последовательных степенях ( к цепочке уравнений для $\left(v_{1}, b_{1}\right),\left(v_{2}, b_{2}\right), \ldots$ Первая система уравнений такова:
\[
\begin{aligned}
b_{1} & =\frac{\gamma-1}{2} v_{1}, \\
\frac{d v_{1}}{d r} & =\frac{\gamma+1}{2} \frac{v_{1}^{2}}{a_{0}^{2}}-\frac{v_{1}}{r} .
\end{aligned}
\]

Первое уравнение подтверждает соотношение между $a$ и $u$. Второе уравнение можно переписать в виде
\[
\frac{d}{d r}\left(\frac{1}{v_{1} r}\right)+\frac{\gamma+1}{2 a_{0}^{2}} \frac{1}{r}=0
\]

и проинтегрировать, что даст
\[
v_{1}=-\frac{2 a_{0}^{2}}{\gamma+1} \frac{1}{r \ln r} ;
\]

это подтверждает зависимость от $r$, указанную в (9.58).
Изложенный простой подход к асимптотическому поведению является одним из выдающихся результатов данной теории. Можно, действуя так же, определить положение ударной волны. Если на фронте ударной волны $\zeta-\zeta_{0}=G(r)$, то (9.59) дает разложения по степеням $G(r)$ для параметров течения на ударной волне. Условие на разрыве (9.28) в данном случае имеет вид
\[
\frac{d G}{d r}=-\frac{1}{2} \frac{u+a-a_{0}}{a_{0}^{2}},
\]

и при помощи (9.60)-(9.62) находим
\[
\frac{d G}{d r}=\frac{1}{2} \frac{G}{r \ln r}+O\left(G^{2}\right) ;
\]

следовательно,
\[
G(r) \propto \ln ^{1 / 2} r .
\]

Это согласуется с выражением (9.31) для сферических волн.
Хотя этот последний метод является, возможно, и наиболее простым и позволяет легко находить поправки высших порядков, он не может предсказать зависимость коэффициентов в уравнении ударной волны и интенсивности ударной волны от исходного источника.