Аналогичным образом можно изучать стационарные картины капиллярных волн. В этой связи особенно интересно исследование Тейлора [6] волн на тонких слоях воды. Поверхностное натяжение

доминирует, и слой настолько тонок, что приближение $h / \lambda \ll 1$ удовлетворительно. Для одной моды слой деформируется как целое, сохраняя примерно постоянную толщину, и для этой моды (антисимметричное возмущение обеих поверхностей) волны не диспергируют. Однако для симметричной моды, в которой обе поверхности симметрично осциллируют относительно центральной плоскости, имеется дисперсия. Можно применить соотношение (12.7), положив $2 h$ равным толщине невозмущенного слоя, так как для каждой половины слоя плоскость симметрии эквивалентна твердой поверхности. Поскольку слой очень тонок, допустимо использовать приближения (12.11). Картину волн от точечного источника в потоке со скоростью $U$ можно анализировать при помощи общей теории, изложенной в предыдущем параграфе, используя дисперсионное соотношение
\[
G=U k_{1}+\left(\frac{T h}{\rho}\right)^{1 / 2} k^{2}=0 .
\]

Для однородного слоя в однородном потоке величины $U$ и $h$ постоянны. В этом случае из (12.29) сразу следует, что
\[
\frac{x_{2}}{x_{1}}=\operatorname{tg} \xi=\frac{2 \alpha k_{2}}{U+2 \alpha k_{1}}, \quad \alpha=\left(\frac{T h}{\rho}\right)^{1 / 2} .
\]

Согласно (12.37), для вектора $\mathbf{k}$, записанного в полярных координатах $(k, \psi)$, имеем $k=U \cos \psi / \alpha$ и характеристическое соотношение (12.38) дает
\[
\operatorname{tg} \xi=\frac{2 \operatorname{tg} \psi}{\operatorname{tg}^{2} \psi-1}, \quad \text { т.е. } \quad \xi=\pi-2 \psi .
\]

Далее, из (12.31) следует, что угол $\mu$ равен $\psi$. На этот раз $\psi$ меня ется от 0 до $\pi / 2, \xi$ меняется от – до 0 , и мы приходим к выводу, что линии гребней имеют примерно параболическую форму, как показано на рис. 12.7. Для фазы имеем
\[
\theta=(k \cos \mu) r=\left(\frac{\rho U}{T h}\right)^{1 / 2} r \sin ^{2} \frac{\xi}{2},
\]

и последовательность линий гребня описывается кривыми $r \sin ^{2}(\xi / 2)=$ const.

Тейлор провел также эксперименты и развил соответствующую теорию для волн на радиально растягивающемся слое. Для невозмущенного состояния слоя радиальную скорость $V$ можно считать постоянной, поскольку градиенты давления не превосходят $O(h)$ и ими можно пренебречь. Вследствие этого полутолщина слоя $h$ является функцией расстояния $R$ от центра симметрии (источника течения), заданной в виде
\[
h=\frac{Q}{4 \pi V R},
\]

где $Q$ – суммарная мощность источника. Поскольку $h$ зависит от $R$, мы имеем пример волн на неоднородной среде. Достаточно
Рıс. 12.7. Картьна греб̈неї на тонком слое воды.

далеко от центра $R=0$ параметры среды мало изменяются на расстоянии порядка характерной длины волны, и можно применить
Рис. 12.8. Геометрия волн на радиально растягивающемся слое. 1 – источник течения, 2 – источник воли, 3 – характеристика.

и проиллюстрировать идеи § 11.5 и 11.7, связанные с неоднородностью среды. В полярных коөрдинатах ( $R, \widetilde{\omega}$ ) с центром в источнике течения, а не в источнике волн (см. рис. 12.8),
\[
\mathbf{k}=\left(\theta_{R}, \frac{1}{R} \theta_{\widetilde{\omega}}\right), \quad \mathbf{U}=(V, 0) .
\]

Для радиального течения дисперсионное соотношение (12.37), преобразуется к виду
\[
V \theta_{R}+\left\{\frac{T h(R)}{\rho}\right\}^{1 / 2}\left(\theta_{R}^{2}+\frac{1}{R^{2}} \theta_{\widetilde{\omega}}^{2}\right)=0 .
\]

Используя выражение (12.41), дисперсионное соотношение можно записать так:
\[
G=\frac{1}{2}\left(\theta_{R}^{2}+\frac{1}{R^{2}} \theta_{\widetilde{\omega}}^{2}\right)+\beta R^{1 / 2} \theta_{R}=0, \quad \beta=\left(\frac{\pi \rho V^{3}}{T Q}\right)^{1 / 2} .
\]

Это уравнение можно решить методом характеристик, но вычисления гораздо сложнее, чем для соотношений (12.27) – (12.29), поскольку теперь вектор $\mathbf{k}$ не постоянен на характеристиках и характеристики не прямолинейны. Однако характеристическую форму можно найти при помощи общих формул, приведенных в $\S 2.13$. Положим $p=\theta_{R}, q=\theta_{\widetilde{\omega}}$; тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{d R}{d \tau}=G_{p}=p+\beta R^{1 / 2}, \quad \frac{d \widetilde{\omega}}{d \tau}=G_{q}=\frac{q}{R^{2}}, \\
\frac{d p}{d \tau}=-G_{R}-p G_{\theta}=\frac{q^{2}}{R^{3}}-\frac{1}{2} \beta p, \\
\frac{d q}{d \tau}=-G_{\widetilde{\omega}}-q G_{\theta}=0,
\end{array}
\]

где $\tau$ – параметр характеристики. Поскольку $q$ постоянна на каждой характеристике, она становится удобной характеристической переменной, и, согласно (12.42),
\[
p=\beta R^{1 / 2}\left(1-\frac{q^{2}}{\beta^{2} R^{3}}\right)^{1 / 2}-\beta R^{1 / 2} .
\]

Характеристики определяются уравнением
\[
\frac{\tilde{d \omega}}{d R}=\frac{q / R^{2}}{p+\beta R^{1 / 2}}=\frac{q}{\beta R^{5 / 2}\left(1-q^{2} /\left(\beta^{2} R^{3}\right)\right)^{1 / 2}} .
\]

Они проходят через источник волн (скажем, $R=R_{0}, \widetilde{\omega}=0$ ), и соответствующее интегрирование дает
\[
\left(\frac{R_{0}}{R}\right)^{3 / 2}=\frac{\sin (\sigma-3 / 2 \widetilde{\omega})}{\sin \sigma}, \quad \sin \sigma=\frac{q}{\beta R_{0}^{3 / 2}} .
\]

Из этого уравнения для характеристик можно выразить $q$ как функцию от $R$ и $\tilde{\omega}$, а затем, используя (12.43), найти $p$. Имеем
\[
\begin{aligned}
q & =\theta_{\widetilde{\omega}}=\frac{\beta R^{3 / 2} \sin (3 / 2 \widetilde{\omega})}{\left\{\left(R / R_{0}\right)^{3}-2\left(R / R_{0}\right)^{3 / 2} \cos \left({ }^{3 / 2} \widetilde{\omega}\right)+1\right\}^{1 / 2}}, \\
p & =\theta_{R}=\frac{\beta R^{1 / 2}\left\{\left(R / R_{0}\right)^{3 / 2}-\cos (3 / 2 \widetilde{\omega})\right\}}{\left\{\left(R / R_{0}\right)^{3}-2\left(R / R_{0}\right)^{3 / 2} \cos (3 / 2 \widetilde{\omega})+1\right\}^{1 / 2}}-\beta R^{1 / 2},
\end{aligned}
\]

и, наконец,
\[
\begin{array}{r}
\theta=\frac{2}{3} \beta R_{0}^{3 / 2}\left\{\left(\frac{R}{R_{0}}\right)^{3}-2\left(\frac{R}{R_{0}}\right)^{3 / 2} \cos \left(\frac{3}{2} \tilde{\omega}\right)+1\right\}^{1 / 2}+ \\
+\frac{2}{3} \beta R_{0}^{3 / 2}\left\{1-\left(\frac{R}{R_{0}}\right)^{3 / 2}\right\} .
\end{array}
\]

Этот результат впервые был получен Урселлом [2], уточнившим рассуждения Тейлора. Для малых $\tilde{\omega}$ имеем
\[
\theta \simeq \frac{3}{4} \beta R_{0}^{3 / 2} \widetilde{\omega}^{2}\left\{1-\left(\frac{R_{0}}{R}\right)^{3 / 2}\right\}^{-1} ;
\]

әто согласуется с уравнением Тейлора для линий гребней и хорошо подтверждается экспериментом.

Этот конкретный пример показывает силу кинематической теории, поскольку любая попытка прямого подхода к получающейся здесь краевой задаче представляется совершенно безнадежной.