Уравнение Кортевега — де Фриза было выведено в 1895 г. Еще до этого Стокс [1] в 1847 г. нашел приближенные выражения для нелинейных периодических волн в случае бесконечно глубокой воды или воды умеренной глубины, а Буссинеск [1] в 1871 г. и Рэлей [2] в 1876 г. нашли приближенные выражения для уединенной волны, т. е. волны, состоящей из одиночного возвышения и распространяющейся без изменения формы и скорости. Такую волну впервые наблюдал экспериментально Скотт Рассел [1] в 1844 г.

Уединенную волну проще всего получить как частное решение уравнения, найденного Кортевегом и де Фризом; эти же авторы доказали возможность существования периодических решений. Хотя приближение Стокса не применимо, когда $\beta$ сравнимо с $\alpha$, решения Стокса переходят в решения Кортевега и де Фриза при $\alpha \ll \beta$. Мы рассмотрим сначала решения уравнения Кортевега и де Фриза, поскольку они проще (хотя и были найдены гораздо позже).

Как уединенные, так и периодические волны (все они описываются уравнением (13.99)) были найдены как решения с постоянной формой, движущиеся с постоянной скоростью. Поэтому их можно представить в виде
$$\eta =h_0\zeta (X),X=x-Ut.$$

Тогда, согласно (13.99), имеем
$$\frac{1}{6}{h}_0^2{\zeta }^{\prime \prime }+\frac{3}{2}\zeta {\zeta }^{\prime }-(\frac{U}{c_0}-1){\zeta }^{\prime }=0.$$

Интегрируя, получаем
$$\frac{1}{6}{h}_0^2{\zeta }^{\prime \prime }+\frac{3}{4}{\zeta }^2-(\frac{U}{c_0}-1)\zeta +G=0.$$

После умножения на $\zeta$ еще одно интегрирование дает
$$\frac{1}{3}{h}_0^{2{\zeta }^{\prime 2}}+{\zeta }^3-2(\frac{U}{c_0}-1){\zeta }^2+4G\zeta +H=0,$$

где $G$ и $H$ — постоянные интегрирования.
В частном случае, когда $\zeta$ и ее производные стремятся к нулю на $\mathrm{\infty }$, мы имеем $G=H=0$. Тогда последнее уравнение можно записать так:
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{3}{h}_0^2{\left(\frac{d\zeta }{dX}\right)}^2& ={\zeta }^2(\alpha -\zeta ),\\ \frac{U}{c_0}& =1+\frac{\alpha }{2}\end{array}$$

Качественно ясно, что $\zeta$ возрастает от $\zeta =0$ при $X=\mathrm{\infty }$, достигает некоторого максимума $\zeta =\alpha$ и затем симметричным образом возвращается к значению $\zeta =0$ при $X=-\mathrm{\infty }$ (см. рис. 13.4).
Рис. 13.4. Уединенная волна.

Это уединенная волна. Максимум функции $\eta$ равен ${\eta }_0=h_0\alpha$, так что $\alpha$ играет ту же роль, что и в предыдущем параграфе. Скорость уединенной волны зависит от амплитуды:
$$U=c_0(1+\frac{1}{2}\frac{{\eta }_0}{h_0}).$$

Точное репение уравнения (13.104) имеет вид
$$\zeta =\alpha {\mathrm{sech}}^2\left\{{\left(\frac{3\alpha }{4h_0^2}\right)}^{1/2}X\right\};$$

отсюда
$$\eta ={\eta }_0{\mathrm{sech}}^2\{{\left(\frac{3{\eta }_0}{4h_0^3}\right)}^{1/2}(x-Ut)\}.$$

Это решение уравнения Кортевега — де Фриза пригодно для любых ${\eta }_0/h_0$; однако само это уравнение выведено в предположении ${\eta }_0/h_0\ll 1$ и фактически оказалось, что для уединенных волн отношение ${\eta }_0/h_0$ ограничено сверху; экспериментальное максимальное значение ${\eta }_0/h_0\approx 0,7$, а теоретическое ${\eta }_0/h_0\approx 0,78$. Реальный предельный профиль волны имеет на гребне угловую точку.
В общем случае $G,Heq0$,
$${\zeta }^2=\mathcal{C}(\zeta ),$$

где $\mathcal{C}(\zeta )$ — кубический полином с простыми нулями. Для ограниченных решений нули должны быть вещественными, и ограниченные решения должны периодически осциллировать между двумя нулями полинома $\mathcal{C}$. Не теряя общности, положим эти два нуля равными $\zeta =0$ (что фиксирует $h_0$ ) и $\zeta =\alpha$ (что равно удвоенной амплитуде). Тогда третий нуль должен быть отрицательным; если положить его равным $\alpha -\beta$, то окажется, что $\beta =h_0^2/l^2$, где $l$-характерная горизонтальная длина, а параметры $\alpha$ и $\beta$

играют те же роли, что и в предыдущем параграфе. Прйтаком выборе уравнение для $\zeta (X)$ принимает следующий вид:
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{3}{h}_0^2{\left(\frac{d\zeta }{dX}\right)}^2& =\zeta (\alpha -\zeta )(\zeta -\alpha +\beta ),0<\alpha <\beta ,\\ \frac{U}{c_0}& =1+\frac{2\alpha -\beta }{2}.\end{array}$$

Длина волны составляет
$$\lambda =\frac{2h_0}{\sqrt{3}}{\int }_0^{\alpha }\frac{d\zeta }{\sqrt{\zeta (\alpha -\zeta )(\zeta -\alpha +\beta )}}.$$

В этой нелинейной задаче $U$ — фазовая скорость, поскольку любая точка профиля движется с этой скоростью. Решение можно записать в виде
$$\zeta (X)=f(\theta )=f(xx-\omega t),$$

где $f$ имеет период $2\pi$ по $\theta$. Тогда
$$\omega =Ux=(1+\frac{2\alpha -\beta }{2})x$$
n
$$x=\frac{2\pi }{\lambda }.$$

Согласно (13.110), $\beta$ является функцией от $\lambda$ и $\alpha$. Поэтому и дие персионное соотношение (13.111) принимает вид
$$\omega =\omega (\chi ,\alpha ).$$

Здесь мы впервые сталкиваемся с самым важным свойством нелинейных диспергирующих волн: в дисперсионное соотношение, свя зывающее частоту $\omega$ и волновое число $х$, входит амплитуда.

Для волн с бесконечно малой амплитудой ( $\alpha \to 0$ ) соотношения (13.108) и (13.109) сводятся к следующим:
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{3}{h}_0^2{\left(\frac{d\zeta }{dX}\right)}^2& \simeq \zeta (\alpha -\zeta )\beta ,\\ \frac{U}{c_0}& \simeq 1-\frac{\beta }{2}.\end{array}$$

Решением является
$$\begin{array}{rl}\zeta & =\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}\cos \left(V\overline{3\beta }\frac{X}{h_0}\right),\\ \frac{U}{c_0}& =1-\frac{\beta }{2}.\end{array}$$

Введем $x=\sqrt{3\beta }/h_0$; тогда
$$\begin{array}{l}\zeta =\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}\cos (xx-\omega t),\\ \omega =xU=c_{0}x(1-\frac{1}{6}{x}^2{h}_0^2),\end{array}$$

что согласуется с линейной теорией (см. (13.94) и (13.95)). В этом пределе амплитуда выпддает из диспорсионного соотношения.

В другом пределе $\alpha \to \beta$ длина волны $\lambda$, даваемая равенством (13.110), стремится к бесконечности, и мы имеем уединенную волну.

Решение уравнения (13.108) можно выразить через әллиптические функции Якоби. При этом получаем
$$\zeta =\alpha {\mathrm{cn}}^2\left\{{\left(\frac{3\beta }{4h_0^2}\right)}^{1/2}X\right\},$$

причем модуль $m$ эллиптической функции равен
$$m={\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^{1/2},$$

и для длины волны имеем формулу
$$\lambda =\frac{4h_0}{\sqrt{3\beta }}K(m)$$

где $K(m)$ — полный эллиптический интеграл первого рода. Изза того, что в (13.114) входит сn, Кортевег и де Фриз назвали эти решения кноидальными волнами. Из (13.114) следует, что $\beta$ характеризует отношение $h_0^2/l^2$. Ясно также, что модуль $m$ дает сравнительную оценку эффектов нелинейности и дисперсии. В линейном пределе $m\to 0$, cn $\xi \to \cos \xi$; в другом пределе $m\to 1$, соответствующем уединенной волне, сn $\xi \to$ sech $\xi$.

Опять следует отметить, что кноидальные волны являются решением уравнения Кортевега — де Фриза для всех $\alpha$ и $\beta$, ограниченных только условием $0⩽\alpha ⩽\beta$, но сами уравнения справедливы лишь тогда, когда $\alpha$ и $\beta$ малы. Подобно уединенным волнам, кноидальные волны ограничены по высоте и в пределе имеют острые гребни. Теоретический анализ не дает здесь полной картины.

Чтобы дополнить сведения о уединенных волнах, заметим, что, согласно численным расчетам, периодические волны на глубокой воде образуют острые гребни при $a/\lambda =0,142$ (Мичелл [1]). Строго говоря, это вне области применимости теории Кортевега — де Фриза, но, возможно, она дает примерный порядок величин. Считая $a\approx 1/2\alpha h_0,\lambda \approx \left(2\pi h_0\right)/(3\beta {)}^{1/2}$ (формулы линейной теории), мы должны интерпретировать это как $\alpha {\beta }^{1/2}\approx 1$. Критическое

значение для уединенных волн $\alpha \approx \beta \approx 0,7-0,8$ согласуется с этой грубой оценкой.

В конце § 13.6 было указано, что решения линеаризованной теории $(\alpha /\beta \ll 1$ ) перестают быть справедливыми вблизи фронта волнового пакета, так как эффективное значение отношения $\alpha /\beta$ возрастает вместе с $t$ при $t\to \mathrm{\infty }$. Поскольку приведенные выше периодические решения переходят в уединенные волны, когда $\alpha /\beta$ стремится $\kappa 1$, можно ожидать, что в результате появится серия уединенных волн.

Эту и другие задачи теперь можно изучать аналитически благодаря замечательным исследованиям Крускала, Грина, Гарднера, Миуры и их сотрудников. Они разработали метод нахождения общего решения уравнения Кортевега — де Фриза, и это решение описывает основные черты распада произвольного конечного исходного распределения на серию уединенных волн. Можно также привести явное решение для столкновения двух или более уединенных волн. Эта работа связана с аналогичными результатами для других уравнений и другими физическими приложениями, и поэтому ее изложение перенесено в гл. 17.
Продолжим теперь рассмотрение периодических волн.