Уравнение Кортевега – де Фриза было выведено в 1895 г. Еще до этого Стокс [1] в 1847 г. нашел приближенные выражения для нелинейных периодических волн в случае бесконечно глубокой воды или воды умеренной глубины, а Буссинеск [1] в 1871 г. и Рэлей [2] в 1876 г. нашли приближенные выражения для уединенной волны, т. е. волны, состоящей из одиночного возвышения и распространяющейся без изменения формы и скорости. Такую волну впервые наблюдал экспериментально Скотт Рассел [1] в 1844 г.

Уединенную волну проще всего получить как частное решение уравнения, найденного Кортевегом и де Фризом; эти же авторы доказали возможность существования периодических решений. Хотя приближение Стокса не применимо, когда $\beta$ сравнимо с $\alpha$, решения Стокса переходят в решения Кортевега и де Фриза при $\alpha \ll \beta$. Мы рассмотрим сначала решения уравнения Кортевега и де Фриза, поскольку они проще (хотя и были найдены гораздо позже).

Как уединенные, так и периодические волны (все они описываются уравнением (13.99)) были найдены как решения с постоянной формой, движущиеся с постоянной скоростью. Поэтому их можно представить в виде
\[
\eta=h_{0} \zeta(X), \quad X=x-U t .
\]

Тогда, согласно (13.99), имеем
\[
\frac{1}{6} h_{0}^{2} \zeta^{\prime \prime}+\frac{3}{2} \zeta \zeta^{\prime}-\left(\frac{U}{c_{0}}-1\right) \zeta^{\prime}=0 .
\]

Интегрируя, получаем
\[
\frac{1}{6} h_{0}^{2} \zeta^{\prime \prime}+\frac{3}{4} \zeta^{2}-\left(\frac{U}{c_{0}}-1\right) \zeta+G=0 .
\]

После умножения на $\zeta$ еще одно интегрирование дает
\[
\frac{1}{3} h_{0}^{2 \zeta^{\prime 2}}+\zeta^{3}-2\left(\frac{U}{c_{0}}-1\right) \zeta^{2}+4 G \zeta+H=0,
\]

где $G$ и $H$ – постоянные интегрирования.
В частном случае, когда $\zeta$ и ее производные стремятся к нулю на $\infty$, мы имеем $G=H=0$. Тогда последнее уравнение можно записать так:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{3} h_{0}^{2}\left(\frac{d \zeta}{d X}\right)^{2} & =\zeta^{2}(\alpha-\zeta), \\
\frac{U}{c_{0}} & =1+\frac{\alpha}{2}
\end{aligned}
\]

Качественно ясно, что $\zeta$ возрастает от $\zeta=0$ при $X=\infty$, достигает некоторого максимума $\zeta=\alpha$ и затем симметричным образом возвращается к значению $\zeta=0$ при $X=-\infty$ (см. рис. 13.4).
Рис. 13.4. Уединенная волна.

Это уединенная волна. Максимум функции $\eta$ равен $\eta_{0}=h_{0} \alpha$, так что $\alpha$ играет ту же роль, что и в предыдущем параграфе. Скорость уединенной волны зависит от амплитуды:
\[
U=c_{0}\left(1+\frac{1}{2} \frac{\eta_{0}}{h_{0}}\right) .
\]

Точное репение уравнения (13.104) имеет вид
\[
\zeta=\alpha \operatorname{sech}^{2}\left\{\left(\frac{3 \alpha}{4 h_{0}^{2}}\right)^{1 / 2} X\right\} ;
\]

отсюда
\[
\eta=\eta_{0} \operatorname{sech}^{2}\left\{\left(\frac{3 \eta_{0}}{4 h_{0}^{3}}\right)^{1 / 2}(x-U t)\right\} .
\]

Это решение уравнения Кортевега – де Фриза пригодно для любых $\eta_{0} / h_{0}$; однако само это уравнение выведено в предположении $\eta_{0} / h_{0} \ll 1$ и фактически оказалось, что для уединенных волн отношение $\eta_{0} / h_{0}$ ограничено сверху; экспериментальное максимальное значение $\eta_{0} / h_{0} \approx 0,7$, а теоретическое $\eta_{0} / h_{0} \approx 0,78$. Реальный предельный профиль волны имеет на гребне угловую точку.
В общем случае $G, H
eq 0$,
\[
\zeta^{2}=\mathscr{C}(\zeta),
\]

где $\mathscr{C}(\zeta)$ – кубический полином с простыми нулями. Для ограниченных решений нули должны быть вещественными, и ограниченные решения должны периодически осциллировать между двумя нулями полинома $\mathscr{C}$. Не теряя общности, положим эти два нуля равными $\zeta=0$ (что фиксирует $h_{0}$ ) и $\zeta=\alpha$ (что равно удвоенной амплитуде). Тогда третий нуль должен быть отрицательным; если положить его равным $\alpha-\beta$, то окажется, что $\beta=h_{0}^{2} / l^{2}$, где $l$-характерная горизонтальная длина, а параметры $\alpha$ и $\beta$

играют те же роли, что и в предыдущем параграфе. Прйтаком выборе уравнение для $\zeta(X)$ принимает следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{3} h_{0}^{2}\left(\frac{d \zeta}{d X}\right)^{2} & =\zeta(\alpha-\zeta)(\zeta-\alpha+\beta), \quad 0<\alpha<\beta, \\
\frac{U}{c_{0}} & =1+\frac{2 \alpha-\beta}{2} .
\end{aligned}
\]

Длина волны составляет
\[
\lambda=\frac{2 h_{0}}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\alpha} \frac{d \zeta}{\sqrt{\zeta(\alpha-\zeta)(\zeta-\alpha+\beta)}} .
\]

В этой нелинейной задаче $U$ – фазовая скорость, поскольку любая точка профиля движется с этой скоростью. Решение можно записать в виде
\[
\zeta(X)=f(\theta)=f(x x-\omega t),
\]

где $f$ имеет период $2 \pi$ по $\theta$. Тогда
\[
\omega=U x=\left(1+\frac{2 \alpha-\beta}{2}\right) x
\]
n
\[
x=\frac{2 \pi}{\lambda} .
\]

Согласно (13.110), $\beta$ является функцией от $\lambda$ и $\alpha$. Поэтому и дие персионное соотношение (13.111) принимает вид
\[
\omega=\omega(\chi, \alpha) .
\]

Здесь мы впервые сталкиваемся с самым важным свойством нелинейных диспергирующих волн: в дисперсионное соотношение, свя зывающее частоту $\omega$ и волновое число $х$, входит амплитуда.

Для волн с бесконечно малой амплитудой ( $\alpha \rightarrow 0$ ) соотношения (13.108) и (13.109) сводятся к следующим:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{3} h_{0}^{2}\left(\frac{d \zeta}{d X}\right)^{2} & \simeq \zeta(\alpha-\zeta) \beta, \\
\frac{U}{c_{0}} & \simeq 1-\frac{\beta}{2} .
\end{aligned}
\]

Решением является
\[
\begin{aligned}
\zeta & =\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2} \cos \left(V \overline{3 \beta} \frac{X}{h_{0}}\right), \\
\frac{U}{c_{0}} & =1-\frac{\beta}{2} .
\end{aligned}
\]

Введем $x=\sqrt{3 \beta} / h_{0}$; тогда
\[
\begin{array}{l}
\zeta=\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2} \cos (x x-\omega t), \\
\omega=x U=c_{0} x\left(1-\frac{1}{6} x^{2} h_{0}^{2}\right),
\end{array}
\]

что согласуется с линейной теорией (см. (13.94) и (13.95)). В этом пределе амплитуда выпддает из диспорсионного соотношения.

В другом пределе $\alpha \rightarrow \beta$ длина волны $\lambda$, даваемая равенством (13.110), стремится к бесконечности, и мы имеем уединенную волну.

Решение уравнения (13.108) можно выразить через әллиптические функции Якоби. При этом получаем
\[
\zeta=\alpha \operatorname{cn}^{2}\left\{\left(\frac{3 \beta}{4 h_{0}^{2}}\right)^{1 / 2} X\right\},
\]

причем модуль $m$ эллиптической функции равен
\[
m=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1 / 2},
\]

и для длины волны имеем формулу
\[
\lambda=\frac{4 h_{0}}{\sqrt{3 \beta}} K(m)
\]

где $K(m)$ – полный эллиптический интеграл первого рода. Изза того, что в (13.114) входит сn, Кортевег и де Фриз назвали эти решения кноидальными волнами. Из (13.114) следует, что $\beta$ характеризует отношение $h_{0}^{2} / l^{2}$. Ясно также, что модуль $m$ дает сравнительную оценку эффектов нелинейности и дисперсии. В линейном пределе $m \rightarrow 0$, cn $\xi \rightarrow \cos \xi$; в другом пределе $m \rightarrow 1$, соответствующем уединенной волне, сn $\xi \rightarrow$ sech $\xi$.

Опять следует отметить, что кноидальные волны являются решением уравнения Кортевега – де Фриза для всех $\alpha$ и $\beta$, ограниченных только условием $0 \leqslant \alpha \leqslant \beta$, но сами уравнения справедливы лишь тогда, когда $\alpha$ и $\beta$ малы. Подобно уединенным волнам, кноидальные волны ограничены по высоте и в пределе имеют острые гребни. Теоретический анализ не дает здесь полной картины.

Чтобы дополнить сведения о уединенных волнах, заметим, что, согласно численным расчетам, периодические волны на глубокой воде образуют острые гребни при $a / \lambda=0,142$ (Мичелл [1]). Строго говоря, это вне области применимости теории Кортевега – де Фриза, но, возможно, она дает примерный порядок величин. Считая $a \approx 1 / 2 \alpha h_{0}, \lambda \approx\left(2 \pi h_{0}\right) /(3 \beta)^{1 / 2}$ (формулы линейной теории), мы должны интерпретировать это как $\alpha \beta^{1 / 2} \approx 1$. Критическое

значение для уединенных волн $\alpha \approx \beta \approx 0,7-0,8$ согласуется с этой грубой оценкой.

В конце § 13.6 было указано, что решения линеаризованной теории $(\alpha / \beta \ll 1$ ) перестают быть справедливыми вблизи фронта волнового пакета, так как эффективное значение отношения $\alpha / \beta$ возрастает вместе с $t$ при $t \rightarrow \infty$. Поскольку приведенные выше периодические решения переходят в уединенные волны, когда $\alpha / \beta$ стремится $\kappa 1$, можно ожидать, что в результате появится серия уединенных волн.

Эту и другие задачи теперь можно изучать аналитически благодаря замечательным исследованиям Крускала, Грина, Гарднера, Миуры и их сотрудников. Они разработали метод нахождения общего решения уравнения Кортевега – де Фриза, и это решение описывает основные черты распада произвольного конечного исходного распределения на серию уединенных волн. Можно также привести явное решение для столкновения двух или более уединенных волн. Эта работа связана с аналогичными результатами для других уравнений и другими физическими приложениями, и поэтому ее изложение перенесено в гл. 17.
Продолжим теперь рассмотрение периодических волн.