В каждой точке $(x, t)$ соотношения (11.25) дают определенное значение волнового числа $k(x, t)$, а дисперсионное соотношение $\omega=W(k)$ дает и частоту $\omega(x, t)$ в этой точке. Можно ввести фазу
\[
\theta(x, t)=x k(x, t)-t \omega(x, t)
\]

и переписать формулу (11.24) в виде
\[
\varphi=\operatorname{Re}\left\{A(x, t) e^{i \theta(x, t)}\right\},
\]

где комплексная амплитуда равна
\[
A(x, t)=2 F_{1}(k) \sqrt{\frac{2 \pi}{t\left|W^{\prime \prime}(k)\right|}} e^{-(\pi i / 4) \operatorname{sgn} W^{\prime \prime}} .
\]

Выражение (11.27) имеет борму элементарного решения, но велиұины $A, k, \omega$ уже не постоянны. Однако это решение все еще описывает осциллирующий волновой пакет с фазой $\theta$, представляющей изменения между локальными максимумами и минимумами. Отличие в том, что волновой пакет теперь неоднороден, расстояние и время между двумя последующими максимумами непостоянно так же, как и амплитуда.

Естественно обобщить на этот неоднородный случай понятие волнового числа и частоты, определив их как $\theta_{x}$ и – $\theta_{t}$ соответственно. Число максимумов на единицу длины является грубой и некорректно определенной величиной, в то время как величина $\theta_{x}$. более точно и непосредственно соответствует интуитивному представлению локального волнового числа. Более того, в рассматриваемом случае мы имеем
\[
\begin{aligned}
\theta(x, t) & =k x-W(k) t, \\
\frac{\partial \theta}{\partial x} & =k+\left\{x-W^{\prime}(k) t\right\} \frac{\partial k}{\partial x}, \\
\frac{\partial \theta}{\partial t} & =-W(k)+\left\{x-W^{\prime}(k) t\right\} \frac{\partial k}{\partial t} .
\end{aligned}
\]

Члены, содержащие $k_{x}$ и $k_{t}$, исключаются условием стационарности (11.25), и остается просто
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \theta}{\partial x}=k(x, t), \\
\frac{\partial \theta}{\partial t}=-W(k)=-\omega(x, t) .
\end{array}
\]

Таким образом, определение волнового числа $k$, которое было введено как специальное значение волнового числа в интеграле Фурье, согласуется с нашим расширенным определением локального волнового числа $\theta_{x}$ в осциллирующем неоднородном волновом пакете. Это же верно и для соответствующей локальной частоты. Более того, локальное волновое число и локальная частота удоелетворяют дисперсионному соотношению даже в неоднородном волновом пакете.

Такая согласованность двух определений объясняется малой неоднородностью продесса. При слишком беспорядочных осцилляциях тоже можно найти фазовую функцию $\theta$ и затем определить $\theta_{x}$ как волновое число, но если производная $\theta_{x}$ сама быстро меняется на протяжении одной осцилляции, то интуитивная интерпретация будет утеряна. В нашем случае $k(x, t)$ – медленно меняющаяся функция. Из соотношения (11.25) имеем
\[
\frac{k_{x}}{k}=\frac{W^{\prime}}{k W^{n}} \frac{1}{x}, \quad \frac{k_{t}}{k}=-\frac{1}{k W^{n}(k)} \frac{1}{t},
\]

причем обе величины $x$ и $t$ относительно велики. Следовательно, относительное изменение на одну длину волны или на один период малы, и в этом смысле $k$ – медленно меняющаяся функция; то же верно и для $\omega$. (Снова отметим сингулярное поведение в окрестности каждой точки, где $W^{\prime \prime}(k)=0$.) Исходя из выражения (11.28), легко показать, что $A$ также меняется медленно.

С этими интерпретациями величин, фигурирующих в (11.27), мы вернемся к определению (11.25) для $k$ и $\omega$ как функций от $(x, t)$ и к определению (11.28) для $A$. Соотношения (11.25) определяют $k$ как функцию от $x$ и $t$, но полезно рассмотреть обратную функцию и выяснить, где можно найти конкретное значение $k_{0}$. Ответ очевиден: в точках, где
\[
x=W^{\prime}\left(k_{0}\right) t .
\]

Таким образом, наблюдатель, движущийся со скоростью $W^{\prime}\left(k_{0}\right)$, все время будет видеть волны с волновым числом $k_{0}$ и частотой $W\left(k_{0}\right)$.
Величина
\[
W^{\prime}(k)=\frac{d \omega}{d k}
\]

называется групповой скоростью; это понятие скорости «группы» волн с меняющимся волновым числом весьма важно. Наша интершретация определения (11.25) показывает, что каждое волновое число распространяется со своей групповой скоростью; каждое конкретное волновое число $k_{0}$ за время $t$ смещается на расстояние $W^{\prime}\left(k_{0}\right) t$.

Распространение каждого фиксированного значения фазы $\theta_{0}$ описывается уравнением
\[
\theta(x, t)=\theta_{0},
\]

иліп
\[
\theta_{x} \frac{d x}{d t}+\theta_{t}=0,
\]

откуда
\[
\frac{d x}{d t}=-\frac{\theta_{t}}{\theta_{x}}=\frac{\omega}{k} .
\]

Таким образом, фазовая скорость $c$ по-прежнему равна $\omega / k$, хотя понятия величин $\omega$ и $k$ и были расширены. Но она не совпадает с групповой скоростью. Наблюдатель, расположенный на какомлибо выбранном гребне, движется с локальной фазовой скоростью, но видит изменяющиеся локальные волновое число и частоту, т. е. гребни исходной формы уходят от него все дальше и дальше. Наблюдатель, движущийся с групповой скоростью, видит одни и те же локальные волновое число и частоту, но гребни проходят мимо него один за другим.

Для того чтобы продемонстрировать это важное различие, рассмотрим уравнение колебаний балки. Дисперсионное соотношение имеет вид
\[
W(k)=\gamma k^{2} .
\]

Поэтому (11.25) дает
\[
W^{\prime}(k)=2 \gamma k=\frac{x}{t},
\]

и мы имеем
\[
k=\frac{x}{2 \gamma t}, \quad \omega=\frac{x^{2}}{4 \gamma t^{2}}, \quad \theta=\frac{x^{2}}{4 \gamma t} .
\]

Групповым линиям с постоянными $k$ и $\omega$ соответствуют прямые
\[
\frac{x}{2 \gamma t}=\text { const, }
\]
. а фазовым линиям с постоянной $\theta$ – параболы
\[
\frac{x^{2}}{4 \gamma t}=\text { const. }
\]

Они построены на ( $x, t)$-диаграмме, представленной на рис. 11.1. В данном случае групповая скорость $2 \gamma k$ больше фазовой скорости $\gamma k$.

Для волн на глубокой воде (см. гл. 12) дисперсионное соотношение имеет вид $W=\sqrt{g k}$. Поэтому уравнение $W^{\prime}(k)=x / t$ приводит к формулам
\[
k=\frac{g t^{2}}{4 x^{2}}, \quad \omega=\frac{g t}{2 x}, \quad \theta=-\frac{g t^{2}}{4 x} .
\]

Групповая скорость $1 / 2 \sqrt{g / k}$ меньше фазовой скорости $\sqrt{g / k}$, и мы пмеем ситуацию, изображенную на рис. 11.2.
Рис. 11.1. Групюовые линии Рис. 11.2. Групповые линип (сплошные кривые) и фазовые (сплошные кривые) и фазовые линии (штриховые кривые) для линии (штриховые кривые) для волн в балке. волн на глубокой воде.
Во всех случаях (для пока что рассматривавпихся однородных сред) групповые линии являются прямыми в отличие от фазовых линий; каждое волновое число распространяется с постоянной скоростью, каждая фаза ускоряется или замедляется, проходя через различные волновые числа.

Если начальные условия взять в виде $\delta$-функции, так что $F_{1}(k)=1 /(4 \pi)$, то амплитуду $A(x, t)$ можно также найти в явном виде и полные асимптотические решения равны соответственно
\[
\varphi \sim \frac{1}{\sqrt{4 \pi \gamma t}} \cos \left(\frac{x^{2}}{4 \gamma t}-\frac{\pi}{4}\right)
\]

для балки и
\[
\varphi \sim \frac{1}{2}\left(\frac{g}{\pi}\right)^{1 / 2} \frac{t}{x^{3 / 2}} \cos \left(\frac{g t^{2}}{4 x}-\frac{\pi}{4}\right)
\]

для волн на воде. (В действительности равенство (11.32) является точным, поскольку для балки $W(x)$ совпадает с квадратичной функцией.)

Вторая важная роль групповой скорости проявляется при изучении амплитуды $A(x, t)$. Формула (11.28) наводит на мысль, что удобнее рассматривать величину $|A|^{2}$, и это естественно с физической точки зрения, поскольку данная величина подобна энергии. Связь $|A|^{2}$ с истинной энергией и так называемым «волновым действием» будет выяснена ниже, а пока что $A(x, t)$ вполне определенная величина, заданная формулой (11.28), и мы можем рассматривать $|A|^{2}$.

Интеграл от $|A|^{2}$ по отрезку $x_{2}>x_{1}>0$, согласно (11.28), равен
\[
Q(t)=\int_{x_{1}}^{x_{2}} A A^{*} d x=8 \pi \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{F_{1}(k) F_{1}^{*}(k)}{t\left|W^{\prime \prime}(k)\right|} d x .
\]

В этом интеграле $k$ как функция от $x$ и $t$ определяется равенством (11.25). Поскольку $k$ входит в подынтегральное выражение, а $x$ в него не входит, естественно принять $k$ за новую переменную интегрирования, проведя замену
\[
x=W^{\prime}(k) t .
\]

При $W^{\prime \prime}(k)>0$ имеем
\[
Q(t)=8 \pi \int_{k_{1}}^{k_{2}} F_{1}(k) F_{1}^{*}(k) d k,
\]

где $k_{1}$ и $k_{2}$ определяются равенствами
\[
x_{1}=W^{\prime}\left(k_{1}\right) t, \quad x_{2}=W^{\prime}\left(k_{2}\right) t .
\]

Если $W^{\prime \prime}(k)<0$, то пределы интегрирования меняются местами.
Пусть теперь $k_{1}$ и $k_{2}$ фиксированы, а $t$ меняется; тогда интеграл $Q(t)$ остается постоянным. Согласно равенствам (11.35), при этом точки $x_{1}$ и $x_{2}$ движутся с соответствующими групповыми скоростями. Мы, следовательно, доказали, что полный интеграл от $|A|^{2}$ между любой парой групповых линий остается неизменным. $B$ этом смысле $|A|^{2}$ распространяется с аруппоєой скоростью. Групповые линии расходятся на расстояние, пропорциональное $t$, так что $|A|$ убывает как $t^{-1 / 2}$.

В частном случае волнового пакета, для которого исходное возмущение локализовано в пространстве и имеет значительные амплитуды только для волновых чисел, близких к некоторому определенному значению $k^{*}$, результирующее возмущение сосредоточено в окрестности групповой линии $k^{*}$ и волновой пакет как целое движется с групповой скоростью $W^{\prime}\left(k^{*}\right)$. Описание свойств групповой скорости часто ограничивают только этим случаем. Однако предыдущие рассуждения не связаны этим ограничением и допускают произвольное распределение по всем волновым

числам с полной картиной дисперсии, изображенной на рис. 11.1 и рис. 11.2, когда в игру вступает вся область значений функции $W^{\prime}(k)$.