Рассмотрим теперь поведение точного решения (4.10) при $v \rightarrow 0$, причем $x$, $t$ и $F(x)$ фиксированы. Когда $v \rightarrow 0$, основной вклад в интегралы, входящие в формулу (4.10), дают окрестности стационарных точек функции $G$. Стационарная точка – это такая точка, где
\[
\frac{\partial G}{\partial \eta}=F(\eta)-\frac{x-\eta}{t}=0
\]

Пусть $\eta=\xi(x, t)$ – стационарная точка, т. е. $\xi(x, t)$ определяется как решение уравнения
\[
F(\xi)-\frac{x-\xi}{t}=0 .
\]

Вклад окрестности стационарной точки $\eta=\xi$ в интеграл
\[
\int_{-\infty}^{\infty} g(\eta) e^{-G(\eta) /(2 v)} d \eta
\]

равен
\[
g(\xi) \sqrt{\frac{4 \pi v}{\left|G^{\prime \prime}(\xi)\right|}} e^{-G(\xi) /(2 v)} ;
\]

это обычная формула метода геревала.
Предположим сначала, что существует только одна стационарная точка $\xi(x, t)$, удовлетворяющая уравнению (4.13). Тогда
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x-\eta}{t} e^{-G /(2 v)} d \eta \sim \frac{x-\xi}{t} \sqrt{\frac{4 \pi v}{\left|G^{\prime \prime}(\xi)\right|}} e^{-G(\xi) /(2 v)}, \\
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-G /(2 v)} d \eta \sim \sqrt{\frac{4 \pi v}{\left|G^{\prime \prime}(\xi)\right|}} e^{-G(\xi) /(2 v)},
\end{array}
\]

и из равенства (4.10) получаем
\[
c \sim \frac{x-\xi}{t},
\]
i.

где $\xi(x, t)$ определяется уравнением (4.13). Полученное асимптотическое решение можно переписать следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
c=F(\xi), \\
x=\xi+F(\xi) t .
\end{array}
\]

Это в точности совпадает с решением уравнения (4.4), приведенным в $(2.5)-(2.6)$; стационарная точка $\xi(x, t)$ соответствует характеристической переменной.

Однако мы видим, что при достаточно больших значениях времени формулы (4.17) в некоторых случаях дают многозначное решение и приходится вводить разрывы. В то же время решение (4.10) уравнения Бюргерса, очевидно, однозначно и непрерывно для любого $t$. Дело в том, что, когда достигается такая стадия, появляются две стационарные точки, удовлетворяющие уравнению (4.13), и необходимо пересмотреть предыдущий анализ асимптотического поведения. Если обозначить эти две стационарные точки через $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$, причем $\xi_{1}>\xi_{2}$, то как от $\xi_{1}$, так и от $\xi_{2}$ получатся вклады вида (4.14) и (4.15). Следовательно, главная часть

решения будет учтена, если положить
\[
\begin{array}{l}
c \sim \frac{\left\{\left(x-\xi_{1}\right) / t\right\}\left|G^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)\right|^{-1 / 2} e^{-G\left(\xi_{1}\right) /(2 v)}}{\left|G^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)\right|^{-1 / 2} e^{-G\left(\xi_{1}\right) /(2 v)}+\left|G^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)\right|^{-1 / 2} e^{-G\left(\xi_{2}\right) /(2 v)}}+ \\
+\frac{\left\{\left(x-\xi_{2}\right) / t\right\}\left|G^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)\right|^{-1 / 2} e^{-G\left(\xi_{2}\right) /(2 v)}}{\left|G^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)\right|^{-1 / 2} e^{-G\left(\xi_{1}\right) /(2 v)}+\left|G^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)\right|^{-1 / 2} e^{-G\left(\xi_{2}\right) /(2 v)}} . \\
\end{array}
\]

Когда $G\left(\xi_{1}\right)
eq G\left(\xi_{2}\right)$, наличие в экспонентах малого знаменателя $v$ делает один из членов преобладающим при $v \rightarrow 0$. Если $G\left(\xi_{1}\right)<$ $<G\left(\xi_{2}\right)$, то
\[
c \sim \frac{x-\xi_{1}}{t},
\]

если же $G\left(\xi_{1}\right)>G\left(\xi_{2}\right)$, то
\[
c \sim \frac{x-\xi_{2}}{t} .
\]

В каждом из этих случаев справедливо решение (4.17), где либо $\xi=\xi_{1}$, либо $\xi=\xi_{2}$. Но выбор теперь однозначен: и $\xi_{1}$, и $\xi_{2}$ являются функциями от $(x, t)$, критерий $G\left(\xi_{1}\right) \gtreqless G\left(\xi_{2}\right)$ определяет выбор $\xi_{1}$ или $\xi_{2}$ при заданных $(x, t)$. Переход от $\xi_{1}$ к $\xi_{2}$ происходит в тех точках $(x, t)$, где
\[
G\left(\xi_{1}\right)=G\left(\xi_{2}\right) .
\]

В силу (4.11), это имеем место, когда
\[
\int_{0}^{\xi_{2}} F\left(\eta^{\prime}\right) d \eta^{\prime}+\frac{\left(x-\xi_{2}\right)^{2}}{2 t}=\int_{0}^{\xi_{1}} F\left(\eta^{\prime}\right) d \eta^{\prime}+\frac{\left(x-\xi_{1}\right)^{2}}{2 t} .
\]

Поскольку и $\xi_{1}$, и $\xi_{2}$ удовлетворяют уравнению (4.13), последнее условие можно записать в виде
\[
\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{1}\right)+F\left(\xi_{2}\right)\right\}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)=\int_{\xi_{2}}^{\xi_{1}} F\left(\eta^{\prime}\right) d \eta^{\prime} .
\]

Это в точности совпадает с уравнением (2.45) для определения разрыва. Изменение выбора членов в (4.18) приводит в пределе $v \rightarrow 0$ к разрыву функции $c(x, t)$. Все остальные утверждения $\S 2.8$ можно подтвердить аналогичным образом. Таким образом, мы приходим к выводу, что решения уравнения Бюргерса при $v \rightarrow 0$ переходят в решения уравнения (4.4) с разрывами (4.5).

В действительности $v$ фиксировано, но сравнительно мало, и следует ожидать, что предельное решение при $v \rightarrow 0$ обычно будет хорошим приближением. Поскольку $v$-размерная величина, для обоснования этих рассуждений необходимо измерять $v$ в безразмерных единицах, введя ее отношение к какой-либо другой величине той же размерности. Это нетрудно сделать. Например,

в задаче с одиночным горбом, где $F(x)$ имеет изображенную на рис. 2.9 форму, можно ввести параметр
\[
A=\int_{-\infty}^{\infty}\left\{F(x)-c_{0}\right\} d x .
\]

Размерности величин $A$ и $v$ рєвны $L^{2} T^{-1}$, так что
\[
R=\frac{A}{2 v}
\]

является безразмерным числом, и мы говорим, что $v$ мало, если $R \gg 1$. Если длина горба равна $L$, то число $R$ характеризует отношение нелинейного члена ( $c-c_{0}$ ) $c_{x}$ к диффузионному члену $v c_{x x}$ в области, где характерный масштаб по $х$ для производных равен $L$. (В области ударной волны, например, характерны более короткие расстояния.) Следуя принятой в теории вязкой жидкости терминологии, удобно назнвать $R$ числом Рейнольдса.

Даже после уточнения смысла понятия «малое v» остается различие между предельными решением при $v \rightarrow 0$ и решением при фиксированном малом $v$. Как было показано в (2.26), толщина ударной волны стремится к бесконечности, если ее интенсивность стремится к нулю. Следовательно, для фиксированного $R$, если даже оно сколь угодно велико, любое решение, описывающее формирование ударной волны или ее затухание при $t \rightarrow \infty$, не всегда будет хорошо аппоксимироваться разрывной теорией в этих областях. Что касается области формирования ударной волны, точные подробности обычно несущественны и достаточно иметь хорошую оценку самой области, где она образуется, а не детальный вид профиля, но это и обеспечивается разрывной теорией. Эффекты диффузии в затухающих при $t \rightarrow \infty$ ударных волнах более интересны. Мы разберем эти вопросы на характерных примерах в следующих параграфах.