Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим теперь поведение точного решения (4.10) при $v \rightarrow 0$, причем $x$, $t$ и $F(x)$ фиксированы. Когда $v \rightarrow 0$, основной вклад в интегралы, входящие в формулу (4.10), дают окрестности стационарных точек функции $G$. Стационарная точка — это такая точка, где Пусть $\eta=\xi(x, t)$ — стационарная точка, т. е. $\xi(x, t)$ определяется как решение уравнения Вклад окрестности стационарной точки $\eta=\xi$ в интеграл равен это обычная формула метода геревала. и из равенства (4.10) получаем где $\xi(x, t)$ определяется уравнением (4.13). Полученное асимптотическое решение можно переписать следующим образом: Это в точности совпадает с решением уравнения (4.4), приведенным в $(2.5)-(2.6)$; стационарная точка $\xi(x, t)$ соответствует характеристической переменной. Однако мы видим, что при достаточно больших значениях времени формулы (4.17) в некоторых случаях дают многозначное решение и приходится вводить разрывы. В то же время решение (4.10) уравнения Бюргерса, очевидно, однозначно и непрерывно для любого $t$. Дело в том, что, когда достигается такая стадия, появляются две стационарные точки, удовлетворяющие уравнению (4.13), и необходимо пересмотреть предыдущий анализ асимптотического поведения. Если обозначить эти две стационарные точки через $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$, причем $\xi_{1}>\xi_{2}$, то как от $\xi_{1}$, так и от $\xi_{2}$ получатся вклады вида (4.14) и (4.15). Следовательно, главная часть решения будет учтена, если положить Когда $G\left(\xi_{1}\right) если же $G\left(\xi_{1}\right)>G\left(\xi_{2}\right)$, то В каждом из этих случаев справедливо решение (4.17), где либо $\xi=\xi_{1}$, либо $\xi=\xi_{2}$. Но выбор теперь однозначен: и $\xi_{1}$, и $\xi_{2}$ являются функциями от $(x, t)$, критерий $G\left(\xi_{1}\right) \gtreqless G\left(\xi_{2}\right)$ определяет выбор $\xi_{1}$ или $\xi_{2}$ при заданных $(x, t)$. Переход от $\xi_{1}$ к $\xi_{2}$ происходит в тех точках $(x, t)$, где В силу (4.11), это имеем место, когда Поскольку и $\xi_{1}$, и $\xi_{2}$ удовлетворяют уравнению (4.13), последнее условие можно записать в виде Это в точности совпадает с уравнением (2.45) для определения разрыва. Изменение выбора членов в (4.18) приводит в пределе $v \rightarrow 0$ к разрыву функции $c(x, t)$. Все остальные утверждения $\S 2.8$ можно подтвердить аналогичным образом. Таким образом, мы приходим к выводу, что решения уравнения Бюргерса при $v \rightarrow 0$ переходят в решения уравнения (4.4) с разрывами (4.5). В действительности $v$ фиксировано, но сравнительно мало, и следует ожидать, что предельное решение при $v \rightarrow 0$ обычно будет хорошим приближением. Поскольку $v$-размерная величина, для обоснования этих рассуждений необходимо измерять $v$ в безразмерных единицах, введя ее отношение к какой-либо другой величине той же размерности. Это нетрудно сделать. Например, в задаче с одиночным горбом, где $F(x)$ имеет изображенную на рис. 2.9 форму, можно ввести параметр Размерности величин $A$ и $v$ рєвны $L^{2} T^{-1}$, так что является безразмерным числом, и мы говорим, что $v$ мало, если $R \gg 1$. Если длина горба равна $L$, то число $R$ характеризует отношение нелинейного члена ( $c-c_{0}$ ) $c_{x}$ к диффузионному члену $v c_{x x}$ в области, где характерный масштаб по $х$ для производных равен $L$. (В области ударной волны, например, характерны более короткие расстояния.) Следуя принятой в теории вязкой жидкости терминологии, удобно назнвать $R$ числом Рейнольдса. Даже после уточнения смысла понятия «малое v» остается различие между предельными решением при $v \rightarrow 0$ и решением при фиксированном малом $v$. Как было показано в (2.26), толщина ударной волны стремится к бесконечности, если ее интенсивность стремится к нулю. Следовательно, для фиксированного $R$, если даже оно сколь угодно велико, любое решение, описывающее формирование ударной волны или ее затухание при $t \rightarrow \infty$, не всегда будет хорошо аппоксимироваться разрывной теорией в этих областях. Что касается области формирования ударной волны, точные подробности обычно несущественны и достаточно иметь хорошую оценку самой области, где она образуется, а не детальный вид профиля, но это и обеспечивается разрывной теорией. Эффекты диффузии в затухающих при $t \rightarrow \infty$ ударных волнах более интересны. Мы разберем эти вопросы на характерных примерах в следующих параграфах.
|
1 |
Оглавление
|