В линейных задачах диспергирующие волны обычно распознают по существованию әлементарных решений в виде синусоидальных волновых пакетов
\[
\varphi(\mathbf{x}, t)=A e^{i x \cdot \mathbf{x}-i \omega t},
\]

где $x$ – волновой вектор, $\omega$ – частота, а $A$ – амшлитуда. В элементарном решении (11.1) величины $x$, $\omega$ и $A$ являются постоянными. Поскольку уравнения линейны, множитель $A$ сокращается и может быть выбран произвольно. Но для того чтобы уравнения удовлетворялись, $x$ и $\omega$ должны быть связаны равенством
\[
G(\omega, x)=0 .
\]

Функция $G$ определяется конкретными уравнениями задачи. Например, если $\varphi$ представляет собой решение уравнения колебаний балки

то
\[
\varphi_{t t}+\gamma^{2} \varphi_{x x x x}=0,
\]
\[
\omega^{2}-\gamma^{2} \chi^{4}=0 \text {. }
\]

Зависимость между $\omega$ и $х$ называется дисперсионным соотношением, и, как станет очевидным ниже, зная дисперсионное соотношение, можно забыть о самом уравнении; в свою очередь, по дисперсионному соотношению можно восстановить исходное уравнение.

Будем считать, что дисперсионное соотнопение имеет вещественные корни вида
\[
\omega=W(x) .
\]

В общем случае будет несколько таких решений с различными функциями $W(\boldsymbol{x})$. Мы будем называть их различными модами. Например, уравнение колебаний балки имеет две моды
\[
\omega=\gamma \varkappa^{2}, \quad \omega=-\gamma \varkappa^{2} .
\]

Пока мы будем изучать одну моду; в линейных задачах полное решение можно получить суперпозицией мод. Линейность позволяет нам также работать с комшлексными выражениями (11.1), имея в виду, что в случае необходимости следует взять вещественную часть. Фактическое решение имеет вид
\[
\operatorname{Re} \varphi=|A| \cos (x \cdot \mathbf{x}-\omega t+\eta), \quad \eta=\arg A .
\]

Величина
\[
\theta=x \cdot \mathbf{x}-\omega t
\]

называется фазой; она определяет положение на цикле между гребнем волны, где $\operatorname{Re} \varphi$ максимальна, и впадиной, где $\operatorname{Re} \varphi$ ми-

нимальна. Для этого решения вида плоской волны поверхности постоянной фазы $\theta$ = const являются параллельными плоскостями. Пространственный градиент фупкции $\theta$ равен волновому вектору $x$, направление которого нормально к плоскостям постоянной фазы, а величина $x$ равна среднему числу гребней на $2 \pi$ единиц расстояния в этом направлении. Аналогичным образом – $\theta_{t}$ есть частота $\omega$, или средшее число гребней на $2 \pi$ единиц времени. (Нормировка на $2 \pi$ единиц удобна при работе с тригонометрическими функциями.) Длина волшы $\lambda$ равна $2 \pi / x$, а период $\tau$ составляет $2 \pi / \omega$.

Волновой характер движения виден из формулы (11.3). Каждая конкретшая поверхность постояншой фазы движется с нормальной скоростью $\omega / \chi$ в направлении вектора $\chi$. Поэтому мы вводим фазовую скорость
\[
\mathrm{c}=\frac{\omega}{x} \hat{x}
\]

где $\hat{x}$-. единичный вектор в $x$-направлении. Для любой конкретной моды $0=W(x)$ фазовая скорость является функцией от $x$. Для волнового уравнепия $\varphi_{t t}=c_{0}^{2}
abla^{2} \varphi$ дисперсионное соотношение дает $\omega= \pm c_{0} x$ и $c= \pm c_{0}$; фазовая скорость совпадает с обычной скоростью распростратения возмущения. В общем стучае $c$ зависит от $x$. Различные волновые векторы приводят к различным фазовым скоростям. Это и выражается термином «дисперсия», В фурье-представлении решений более общето вида компопенты с разичными волновыми векторами с течением времени расплываются. Этот принципиально важный процесс будет подробно обсуждаться в стедующем параграфе.

По соображепиям классификации мы должны исключить из класса диспергирующих волн случай с — const, поскольку в этом случае дисперсия отсутствует. Ясно также, что выражения (11.2) должны быть вещественными. Например, уравнение теплопроводности $\varphi_{t}=
abla^{2} \varphi$ имеет решения вида (11.1) с $\omega=-i \chi^{2}$, но эти решепия пе описывают распространение волн. Для того чтобы исключить эти нежелательные возможности, при предварительном рассмотрении диспергирующих систем ограничимся случаями, для которых
функция $W(x)$ вещественна и определитель $\left|\frac{\partial^{2} W}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right|
eq 0$. (11.5)
Для одномерных задач второе условие попросту означает, что
\[
W^{\prime \prime}(x)
eq 0 .
\]

Это требование несколько сильнее, чем условие $c^{\prime}(x)
ot 0$, поскольку исключает также случай $W \leftrightharpoons a x+b$. Причина такого ограничения будет объяснена ниже, но для одномерного случая

можно заранее сказать, что групповая скорость $W^{\prime}(x)$ важнее, чем скорость распространения, и условие $W^{\prime \prime}(x)
eq 0$ исключает случаи, когда она постоянна.

Непосредственно видно, что в случае $W=a x+b$, исключенном нами из рассмотрения, дисперсия фактически отсутствует. Элементарное решение при этом равно
\[
e^{-i \delta t} e^{i x(x-a t)} \text {, }
\]

и при помощи преобразования Фурье получаем общее решепие
\[
e^{-i b t} f(x-a t) .
\]

Исходный волновой профиль $f(x)$ при распространении искажается, но дисперсии нет. Јегко показать, что уравнение, описывающее соответствующий процесс, является гиперболическил.

Определитель, входящий в условие (11.5), может обращаться в нуль для некоторых частных значений волнового вектора $x$, например при $x \rightarrow 0$ или $x \rightarrow \infty$, и окрестности таких точек доляшы быть исследованы отдельно из-за появтения особенностей в общих формулах.
Іримеры
Приведем несколько типичных примеров, которые будут использоваться в качестве итчюстрации построения общей теории:
\[
\begin{aligned}
\varphi_{t t}-\alpha^{2}
abla^{2} \varphi+\beta^{2} \varphi=0, & \omega= \pm \sqrt{\alpha^{2} \chi^{2}+\beta^{2}} ; \\
\varphi_{t t}-\alpha^{2}
abla^{2} \varphi=\beta^{2}
abla^{2} \varphi_{t t}, & \omega= \pm \frac{\alpha x}{\sqrt{1+\beta^{2} \chi^{2}}} ; \\
\varphi_{t t}+\gamma^{2} \varphi_{x x x x}=0, & \omega= \pm \gamma x^{2} ; \\
\varphi_{t}+\alpha \varphi_{x}+\beta \varphi_{x x x}=0, & \omega=\alpha x-\beta \chi^{3} .
\end{aligned}
\]

Первое из этих уравнеший гиперболическое, но тем не менее имеет диспергирующие репения, удовлетворяющие условию (11.5). Оно описывает колебания с дополнительной возвращающей силой, пропорциональюй перемещешию $\varphi$; это также уравпение КлейнаГордона квантовой теории поля. Другие уравнения негиперболические, что более типично для диспергирующих волн. Уравшение (11.7) встречается в теории упругости при описании продольных волн в стержнях, в теории волн на воде в приближении Буссинеска для длинных волн и при описании волн в плазме. Уравнение (11.8) описывает поперечные колебания балки. Уравнение (11.9) также применяется в теории длинных воли на воде и представляет собой линеаризованную форму уравнения Кортевега – де Фриза. Приближения для волн на воде будут подробно исследованы ниже, остальные уравнения считаются в какой-то степени известными.

Соответствие между уравнением и дисперсионным соотношением
Из приведенных примеров видно, что и в общем случае уравнения с вещественными коэффициентами приведут к вещественным дисперсионным соотношениям лишь тогда, когда они содержат либо только четные, либо только нечетные производные. Каждое дифференцирование вносит множитель $i$, так что у четных производных появляются вещественные коэффициенты, а у нечетных чисто мнимые коэффициенты, и они не должны смешиваться, если мы хотим, чтобы окончательное выражение было вещественным. Уравнение Шредингера
\[
i \hbar \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \varphi
\]

содержащее четные и нечетную производные, приводит к вещественному диснерсионному соотношению
\[
\hbar \omega=\frac{\hbar^{2} \varkappa^{2}}{2 m},
\]

но включает комплексный коэффициент.
Соответствие между уравнением и дисперсионным соотношением можно исследовать гораздо подробнее. Линейное уравнение с постоянными коәффициентами можно записать в виде
\[
P\left(\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}\right) \varphi=0,
\]

где $P$ – некоторый многочтен. IІри подстановке в это уравнение элементарного решения (11.1) каждое дифференцирование $\partial / \partial t$ приведет к множителю – $i \omega$, а каждое дифференцирование $\partial / \partial x_{j}$ к множителю $i x_{j}$. Поэтому дисперсионное соотношение имеет вид
\[
P\left(-i \omega, i \varkappa_{1}, i \varkappa_{2}, i \varkappa_{3}\right)=0,
\]

и мы находим прямую связь между уравнением и дисперсионным соотношением, производя замену
\[
\frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow-i \omega, \frac{\partial}{\partial x_{j}} \leftrightarrow i \chi_{j} .
\]

По соотношению (11.11) можно восстановить вид уравнения. Это служит основанием для сделанного выше замечания, что можно забыть об уравнении, если известно дисперсионное соотношение.

Видно, однако, что уравнения такого типа могут привести только к полиномиальным дисперсионным соотношениям. Возникает естественный вопрос: операторы какого вида дают более общие дисперсионные соотношения? Одна из возможностей состоит в том, что осциллирующее волновое движение, описываемое уравнением (11.1), происходит только по части пространственных координат, в то время как по остальным координатам поведе-

ние оказывается более сложным. Типичным примером является теория волн на глубокой воде, в которой, как будет показано ниже, волны распространяются горизонтально, а зависимость от вертикальной координаты не являются осциллирующей. Вторую возможность, для которой волновое поведение имеет место по всем переменным, можно продемонстрировать на примере одномерного интегродифференциального уравнения
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}(x, t)+\int_{-\infty}^{\infty} K(x-\xi) \frac{\partial \varphi}{\partial \xi}(\xi, t) d \xi=0,
\]

где ядро $K(x)$ – заданная функция. Это уравнение имеет элементарные решения $\varphi=A e^{i \varkappa x-i \omega t}$ при условии, что
\[
-i \omega e^{i \varkappa x}+\int_{-\infty}^{\infty} K(x-\xi) i x e^{i x \xi} d \xi=0 .
\]

Это условие можно переписать в виде
\[
c=\frac{\omega}{x}=\int_{-\infty}^{\infty} K(\zeta) e^{-i{ }^{-} \zeta} d \zeta .
\]

Правая часть представляет собой преобразование Фурье заданного ядра $K(x)$, и, согласно формуле обращения, имеем
\[
K(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} c(x) e^{i \gamma x} d x .
\]

Таким образом можно построить уравнение вида (11.12) с любой желаемой функцией $c(\chi)$ и, следовательно, с любой дисперсионной функцией; надо просто положить $K(x)$ равным преобразованию Фурье (11.14) этой фазовой скорости $c(x)$. В частности, если
\[
c(x)=c_{0}+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{2 m} x^{2 m},
\]

то
\[
K(x)=c_{0} \delta(x)-c_{2} \delta^{\prime \prime}(x)+\ldots+(-1)^{m} c_{2 m} \delta^{(2 m)}(x)
\]

и (11.12) сводится к дифференциальному уравнению
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-c_{2} \frac{\partial^{3} \varphi}{\partial x^{3}}+\ldots+(-1)^{m} c_{2 m} \frac{\partial^{2 m+1} \varphi}{\partial x^{2 m+1}}=0 .
\]

Если $c(x)$ – функция более общего вида с бесконечным рядом Тейлора по степеням $x$, то можно рассматривать соответствующее дифференциальное уравнение бесконечного порядка, но лучше перейти к уравнению (11.12).
Определение диспергирующих волн
Теперь мы можем дать более четкое определение диспергирующих линейных систем как систем, имеющих решения (11.1) и (11.2), которые удовлетворяют условию (11.5). Имеется некоторое пересечение с гиперболическими системами (это видно из примера (11.6)), но обычно такие системы не являются гиперболическими. Как показывает последний раздел, не следует ограничиваться рассмотрением только дифференциальных уравнений.

Сразу ясно, что это определение слищком узкое. Даже для линейных дифференциальных уравнений оно ограничено условием постоянства коэффициентов. Например, ести в уравнении колебаний балки коэффициент $\gamma$ зависит от $x$, т. е.
\[
\varphi_{t t}+\gamma^{2}(x) \varphi_{x x x x}=0,
\]

то репений вида (11.1) не существует. Однако если $\gamma(x)$ – плавная функция от $x$, то можно ожидать, что репение будет во многом похоже на репение уравнения с постоянным коәффидиентом $\gamma$. С этим случаем можно связать общую задачу о диспергирующих волнах в неоднородной среде. Уравнение может также иметь факторизованные решения, например
\[
X(x x) e^{-i \omega t}, \quad \omega=W(x),
\]

где $X$ – некоторая осциллирующая функция типа, скажем, функции Бесселя. Такое решение будет в некотором смысле диспергирующим, но его было бы трудно включить в общее определение. По-видимому, в настоящий момент придется ограничиться следующей неконструктивной идеей: в каждом случае, когда осцилляции в пространстве и осцилляции по времени связаны дисперсионным соотношением, можно ожидать поведения, характерного для диспергирующих волн.

Аналогичная ситуация имеет место и для нелинейных систем: можно точно определить некоторый ограниченный класс уравнений, а затем естественным образом вводить обобщения.

Более содержательный ответ, возможно, дают вариационные формулировки, о которых пойдет речь ниже. Эти формулировки позволяют развить общую теорию решений требуемого вида и, видимо, обеспечивают надлежащий общий взгляд на многие вопросы, включая классификацию. Пока этот вопрос остается открытым.