В уравнениях, описывающих неоднородную среду, коэффициенты являются функциями от $\mathbf{x}$. Рассматриваемый метод разложения еще пригоден, но уравнения для $\sigma$ и $\Phi_{0}$ изменяются. В изотропных случаях единственное изменение уравнения эйконала состоит в том, что $c=c(\mathbf{x})$, и полезнее обсудить сначала общую ситуацию, а затем перейти к конкретным примерам. Зависимость от $\mathbf{x}$ изменяет форму уравнений для лучей. Если, как и раньше, ввести $p_{i}=\sigma_{x_{t}}$ и
\[
H \equiv \frac{1}{2} c(\mathbf{x}) p_{i}^{2}-\frac{1}{2} c^{-1}(\mathbf{x})=0,
\]

то характеристические уравнения запишутся в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{i}}{d s}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=c p_{i}, \\
\frac{d p_{i}}{d s}=-p_{i} \frac{\partial H}{\partial \sigma}-\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=-\frac{c_{x_{i}}}{c^{2}}, \\
\frac{d \sigma}{d s}=p_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{1}{c} .
\end{array}
\]

Поскольку вектор $\mathbf{p}$ является нормалью к волновому фронту $\sigma=$ const, из первого уравнения следует, что лучи все еще ортогональны волновым фронтам. Однако из второго уравнения следует, что величина $c p_{i}$ уже больше не постоянна на луче, так что лучи искривляются в соответствии с направлением градиента функции $c$. Пучи следует определять решением первых двух уравнений относительно $x_{i}(s)$ и $p_{i}(s)$, после чего третье уравнение дает
\[
\sigma=\int_{\text {луч }} \frac{d s}{c(\mathbf{x})} ;
\]

здесь $\sigma$ – время распространения волнового фронта вдоль луча.
Принцип Ферма утверждает, что это время стационарно по сравнению с соседними путями, соединяющими две данные точки. Мы можем проверить это. Пусть произвольный путь, соединяющий две точки $\mathbf{x}=\mathbf{a}$ и $\mathbf{x}=\mathbf{b}$, задан в параметрическом виде
\[
\mathbf{x}=\mathbf{x}(\mu), \quad 0<\mu<1, \quad \mathbf{x}(0)=\mathbf{a}, \quad \mathbf{x}(1)=\mathbf{b} .
\]
(Для применения обычных методов вариационного исчисления удобно нормировать параметр так, чтобы интегрирование проводилось по одному и тому же интервалу для всех путей. Поэтому переменная $s$ в данном случае неудобна в качестве параметра.) Время для каждого пути равно
\[
T=\int_{0}^{1} \frac{1}{c\{\mathbf{x}(\mu)\}} \sqrt{\left(\frac{d x_{j}}{d \mu}\right)^{2}} d \mu .
\]

В соответствии с известными результатами вариадионного исчисления функции $x_{i}(\mu)$, при которых интеграл
\[
T=\int_{0}^{1} \mathscr{F}\{\mathbf{x}(\mu), \quad \dot{\mathbf{x}}(\mu)\} d \mu, \quad \dot{\mathbf{x}}(\mu)=\frac{d \mathbf{x}}{d \mu},
\]

достигает стационарного значения, удовлетворяют уравнениям Эйлера
\[
\frac{d}{d \mu}\left(\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial \dot{x}_{i}}\right)-\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial x_{i}}=0
\]

В нашем случае уравнения имеют вид
\[
\frac{d}{d \mu}\left(\frac{1}{c} \frac{1}{\sqrt{\bar{x}_{j}^{2}}} \frac{d x_{i}}{d \mu}\right)+\frac{1}{c^{2}} \sqrt{\dot{x}_{j}^{2}} c_{x_{i}}=0 .
\]

Вернувшись на этом стационарном пути к параметру $s$ при помощи соотношения $\sqrt{\overline{\dot{x}_{j}^{2}}} d \mu=d s$, получим
\[
\frac{d}{d s}\left(\frac{1}{c} \frac{d x_{i}}{d s}\right)+\frac{1}{c^{2}} c_{x_{i}}=0 .
\]

Это согласуется с (7.71), и мы проверили принцип Ферма для нашего случая. Принцип Ферма непосредственно и наглядно объясняет,’ почему лучи являются прямыми, когда $c$ постоянно.
Слоистая среда
Для слоистой среды, в которой $c$ зависит только от вертикальной координаты, скажем $y$, вычисление лучей можно упростить. Прежде всего луч остается в той же вертикальной плоскости, в которой он начинается. Поэтому достаточно рассмотреть двумерный случай с осью $x$, направленной по горизонтали, и осью $y$ по вертикали. Скорость имеет вид $c=c(y)$, и система (7.71) сводится к следующей:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d s}=c p_{1}, \quad \frac{d y}{d s}=c p_{2}, \\
\frac{d p_{1}}{d s}=0, \quad \frac{d p_{2}}{d s}=-\frac{c^{\prime}(y)}{c^{2}}, \quad \frac{d \sigma}{d s}=\frac{1}{c} .
\end{array}
\]

Поскольку $p_{1}$ постоянно и $d x / d s=c p_{1}$, угол $\theta$ между лучом и горизонталью определяется равенством $\cos \theta=p_{1} c(y)$, и если индекс 0 относится к некоторой исходной точке луча, то
\[
p_{1}=\frac{\cos \theta_{0}}{c_{0}}, \frac{\cos \theta}{\cos \theta_{0}}=\frac{c(y)}{c_{0}} .
\]

Это известный в оптике закон Снеллиуса.
Компоненту $p_{2}$ можно найти, решив уравнения для $y$ и $p_{2}$ или, еще лучше, заметив, что равенство $p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=1 / c^{2}$ (уравнение эйконала) дает
\[
p_{2}=\sqrt{\frac{1}{c^{2}(y)}-\frac{\cos ^{2} \theta_{0}}{c_{0}^{2}}} .
\]

Уравнения лучей дают нам
\[
\frac{d x}{d y}=\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{c(y) \cos \theta_{0} / c_{0}}{\sqrt{1-c^{2}(y) \cos ^{2} \theta_{0} / c_{0}^{2}}} .
\]

Следовательно, луч с исходным углом $\theta_{0}$ в точке $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ определяется равенством
\[
x-x_{0}=\int_{y_{0}}^{y} \frac{c(y) \cos \theta_{0} / c_{0}}{\sqrt{1-c^{2}(y) \cos ^{2} \theta_{0} / c_{0}^{2}}} d y .
\]

Время прибытия волнового фронта вычисляется по формуле
\[
\sigma=\int_{0}^{s} \frac{d s}{c}=\int_{y_{0}}^{y} \frac{d y}{c^{2} p_{2}}=\int_{y_{0}}^{y} \frac{d y}{c(y) \sqrt{1-c^{2}(y) \cos ^{2} \theta_{0} c_{0}^{2}}} .
\]

Следует отметить, что все, что мы действительно использовали при выводе этих результатов, – это закон Снеллиуса; мы рассматривали его с более общей точки зрения теории характеристик.

Кажущееся безобидным распределение скорости $c(y)$ приводит к неожиданным эффектам для лучей. Отметим два примера.
Волновод в океане
Предположим, что функция $c(y)$ имеет вид, указанный на рис. 7.10, так что $c$ изменяется только внутри слоя $|y|<Y$,
Рис. 7.10. Волновод в океане.
$c=c_{1}$ вне этого слоя и $c<c_{1}$ внутри слоя, достигая минимума $c_{0}$ при $y=0$. Рассмотрим лучи от точечного источника, расположенного в точке $x=y=0$.

Когда $c$ возрастает вдоль луча, то одновременно возрастает $\cos \theta=c \cos \theta_{0} / c_{0}$ и, следовательно, $\theta$ убывает, луч поворачивается, приближаясь к горизонтали. Если $\theta_{0}>\arccos \left(c_{0} / c_{1}\right)$, то луч проникает в область $c=c_{1}$ и дальше идет по прямой. Однако если $\theta_{0}<\operatorname{arc} \cos \left(c_{0} / c_{1}\right)$, то $\cos \theta$ возрастает до 1 и $\theta$ убывает до 0 в точке $y$, для которой
\[
c(y)=\frac{c_{0}}{\cos \theta_{0}} .
\]

В этой точке луч горизонтален, затем он пересекает минимальное значение $c$, и все повторяется симметрично относительно оси $x$. Таким образом, эти лучи осциллируют около оси $x$, как показано на рис. 7.10.

Канал $|y|<Y$ образует своего рода волновод, и через точки, лежащие внутри его и достаточно далекие от источника, может проходить несколько накладывающихся лучей. Поэтому геометрическая оптика предсказывает последовательное повторение сигналов. Кроме того, при помощи (7.76) можно показать, что сигналы, распространяющиеся по периферии, могут появиться раньше, чем сигналы, распространяющиеся вдоль центральной линии. Они проходят больший путь, но выигрывают в скорости распространения. В такой ситуации значения амплитуды, получаемые при помощи геометрической оптики, неверны и следует обратиться к более точному рассмотрению (см., например, недавнюю работу Коэна и Блюма [1]).
Зоны тени
Для источника, расположенного ниже максимума функции $c$, как изображено на рис. 7.11, аналогичным образом можно пока-
Рис. 7.11. Образование зоны тени.

зать возможность образования зоны тени, в которую лучи не проникают. Такой случай приведен на рис. 7.11.

Модификации уравнения (7.66) зависят от конкретной задачи и от того, какая физическая величина обозначена символом $\varphi$. Замечательно, что в любом случае поток энергии вдоль трубки лучей остается постоянным. Мы проверим это для акустики в неоднородной среде.

Чтобы не усложнять анализ, рассмотрим первоначально неподвижную жидкость с постоянным давлением при отсутствии массовых сил, но с произвольным распределением плотности $\rho(\mathbf{x})$. Можно представить себе нагретый слой жидкости, в котором гравитационные эффекты имеют высший порядок, и ими можно пренебречь. Линеаризованные уравнения ${ }^{1}$ ) для возмущения давления $P$, возмущения плотности $R$ и возмущения скорости $\mathbf{V}$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
R_{t}+
abla \cdot(\rho \mathbf{V}) & =0, \\
\rho \mathbf{V}_{t}+
abla P & =0, \\
P_{t}-c^{2}\left(R_{t}+\mathbf{V} \cdot
abla \rho\right) & =0,
\end{aligned}
\]

где $c^{2}(\mathbf{x})$ – скорость звука. Для $P$ имеем уравнение
\[
P_{t t}=c^{2}\left(
abla^{2} P-\frac{
abla \rho}{\rho} \cdot
abla P\right) .
\]

Используя два первых члена разложения .
\[
P=\sum_{0}^{\infty} P_{n}(\mathbf{x}) f_{n}\{t-\sigma(\mathbf{x})\},
\]

находим
\[
\sigma_{x_{i}}^{2}=\frac{1}{c^{2}}, \quad 2 \sigma_{x_{i}} \frac{\partial P_{0}}{\partial x_{i}}+\left(\sigma_{x_{i} x_{i}}-\sigma_{x_{i}} \frac{\rho_{x_{i}}}{\rho}\right) P_{0}=0 .
\]

Если $\mathbf{V}$ и $R$ разложены в аналогичные ряды, то коэффициенты $\mathbf{V}_{n}$ и $R_{n}$ можно определить по $P_{n}$ и $\sigma$, возвратившись к исходным трем уравнениям первого порядка в (7.77). В частности,
\[
\mathbf{V}_{0}=\frac{P_{0}
abla \sigma}{\rho}, \quad R_{0}=\frac{P_{0}}{c^{2}} .
\]

Уравнение для $P_{0}(\mathbf{x})$ можно записать в дивергентной форме
\[
\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\frac{P_{0}^{2} \sigma_{x_{i}}}{\rho}\right)=0 .
\]
1) Обозначения, принятые в § 6.6 , здесь изменены. Это сделано для того, чтобы избежать недоразумений при использовании индексов, нумерующих члены разложения вблизи волнового фронта.

Интегрирование по тонкой трубке лучей, как и в случае, рассмотренном перед формулой (7.70), дает
\[
\frac{P_{0}^{2}}{\rho c} \Delta \mathcal{A}=\text { const. }
\]

За счет дополнительного множителя $\rho c$, зависящего от $\mathbf{x}$, происходит изменение амплитуды давления, которое добавляется к изменению, связанному с расхождением лучей.

Интерпретацию левой части (7.79) как потока энергии нам удобней провести для высокочастотного варианта геометрической оптики. Осредненная работа, которую совершают за единицу времени силы давления, действующие на элемент жидкости с поперечной площадью $\Delta \mathcal{A}$, равна
\[
P_{0} V_{0 n} \Delta \mathcal{A},
\]

где $V_{0 n}$ – компонента вектора $V$, нормальная к $\Delta \mathcal{A}$. Согласно (7.78),
\[
V_{0 n}=\frac{P_{0}}{\rho} \mathbf{n} \cdot
abla \sigma=\frac{P_{0}}{\rho c},
\]

откуда
\[
P_{0} V_{0 \pi} \Delta \mathcal{A}=\frac{P_{0}^{2}}{\rho c} \Delta \mathcal{A} .
\]

Таким образом, равенство (7.79) показывает, что поток энергии остается постоянным вдоль трубки лучей.