Уравнение
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=c^{2}
abla^{2} \varphi, \quad c=\text { const },
\]

известно как волновое уравнение, хотя бо́льшая часть волн не связана с этим уравнением. Однако уравнение (7.1) встречается во многих задачах и является простейшим уравнением, с которого можно начать обсуждение двух- и трехмерных волн. Построение более или менее полной теории явно выходит за рамки наших возможностей и, следуя главной теме книги, мы ограничимся обсуждением основных результатов, помогающих понять природу волн и существенных для обобщений на нелинейную теорию. Мы не пытаемся дать хотя бы введение в огромное количество специальных и сложных методов, созданных для решения различных граничных задач теории дифракции. Элементарные вопросы теории интерференции и дифракции хорошо изложены во многих книгах, а более развитая теория все более и более становится полем искусного применения «математического аппарата» и мало что дает для более глубокого понимания природы волн.

C другой стороны, приближенная теория геометрической оптики содержит ценные общие идеи, которые допускают обобщение на другие – как линейные, так и нелинейные – задачи. Теория развивается здесь на примере волнового уравнения, но указаны также обобщения на неоднородную среду и анизотропные волны. Эти обобщения хотя и выходят за рамки обсуждения уравнения (7.1), но естественно с ним связаны. Другие вопросы геометрической оптики и развитие аналогичных идей в нелинейной теории будут рассматриваться в следующих главах.